Matematički modeli u ekologiji Logistički model

1. Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologijeZavod za matematikuPoslijediplomski studij: Kemijsko inženjerstvoKolegij: Elementi inženjerske matematikeAkademska godina: 2009./2010.Postdiplomant: Ivana Ćosić Matematički modeli u ekologiji Logistički model Elementi inženjerske matematike

2. Sadržaj 1. Matematički modeli u ekologiji 1.1 Uvod 1.2 Klasifikacija matematičkih modela u ekologiji 1.2.1 Izomorfni i homomorfmi modeli 1.2.2 Vremenski ovisni i stacionarni modeli 1.2.3 Modeli s usredotočenim i raspodijeljenim parametrima 1.2.4 Modeli budućeg i prošlog vremena 1.2.5 Kontinuirani i diskretni modeli 1.2.6 Deterministički i stohastički modeli 1.2.7 Analitički i numerički modeli 1.2.8 Dominantni i subdominantni modeli 2. Logistički model 2.1 Uvod 2.1.2 Korekcija modela. Iseljavanje i useljavanje. 2.1.3 Prihvaćanje, odbacivanje ili korigiranje modela. 2.2 Logistički model s konstantnim izlovom 2.2.1 Analitičko rješenje jednadžbe 2.2.2 Kvalitativno rješenje jednadžbe. Modeliranje u paketu MatLab 7.0 3. Literatura Elementi inženjerske matematike

3. 1.Matematički modeli u ekologiji1.1 Uvod Matematički modeli čine naše procjene i predviđanja u ekologiji objektivnijim i pouzdanijim. Matematički model stvarnog objekta čini ukupnost logičkih veza, ovisnosti i jednadžbi koje omogućuju proučavanje populacija, zajednica i ekosustava. Eksperimenti na takvim objektima nisu mogući, jer mogu dovesti do promjena ili čak uništenja ekološkog objekta. U takvim situacijama je očito da matematičko modeliranje igra ključnu ulogu u istraživanju ekosustava. Elementi inženjerske matematike

4. 1.2 Klasifikacijamatematičkih modela u ekologiji 1.2.1 Izomorfni i homomorfmi modeli Matematički model je izomorfan kada su zadovoljeni sljedeći uvjeti: Svaki element objekta predstavljen je odgovarajućim elementom modela i obratno. Svaka funkcija definirana elementom objekta opisana je odgovarajućom funkcijom, definirana odgovarajućim elementom modela i obratno. Svaki odnos elemenata objekta je predstavljen odgovarajućim odnosima elemenata modela i obratno. Elementi inženjerske matematike

5. Cijeli ekosustav je vrlo kompleksan i nemoguće je opisati sve značajke takvih objekata modelom. Za homomorfni model vrijedi: sve komponente modela imaju analogne komponente u objektu, ali ne obratno! Jasno je da su svi matematički modeli u ekologiji homomorfni. Elementi inženjerske matematike

6. 1.2.2 Vremenski ovisni i stacionarni modeli U procesu modeliranja neke od sljedećih komponenti će biti argumenti, a ostali funkcije koje ovise o tim argumentima: Gi = f(G1,G2, . . .,Gi−1,Gi+1, . . .,Gn) (1) Gi- parametar koji želimo predvidjeti G1,G2 ,Gi−1, Gi+1 ,Gn- argumenti koji definiraju predviđeni parametar Gi Pojednostavljeno: G = f(g) (2) Pošto su ekološki objekti raspoređeni na određeni način u svemiru s prostornim koordinatama x,y i z i pošto se mijenjaju u vremenu t možemo pisati: G = f [g(x, y, z, t)] (3) Kada parametar G ovisi o prostornim koordinatama i vremenu kao što je prikazano u jednadžbi (3) govorimo o vremenski ovisnom modelu. Kada parametar G ovisi samo prostornim koordinatama kao što je prikazano u jednadžbi (4) govorimo o stacionarnom modelu. G = f [g(x, y, z)] (4) Elementi inženjerske matematike

7. 1.2.3 Modeli s usredotočenim i raspodijeljenim parametrima Ako generalizirani argument g ovisi samo o vremenu, ne o prostornim koordinatama, kažemo da se radi o točkastom modelu ili modelu s usredotočenim parametrima. G = f [g(t)] (5) Ako generalizirani argument g ovisi o vremenu i o prostornim koordinatama, kažemo da se radi o modelu s raspodijeljenim parametrima. Možemo reći da: model s raspodijeljenim parametrima ~vremenski ovisan model Elementi inženjerske matematike

8. 1.2.4 Modeli budućeg i prošlog vremena Većina se modela u ekologiji koristi za predviđanje budućih stanja ekoloških objekata, takve modele možemo nazvati modelima budućeg vremena. U takvom slučaju nađemo predviđeni parametar G iz izraza (3) u vremenu t=0 (početak modeliranja) i onda ga definiramo u određenom trenutku u budućem vremenu tk. Istraživanje ekoloških objekata u prošlosti relativno prema početku modeliranja je od velikog značaja. Kada govorimo o modelima prošlog vremena: razmotrit ćemo sadašnji trenutak u vremenu tkkao početak modeliranja i definirati predviđeni parametar G za taj trenutak u vremenu; koristeći jednadžbu (3) možemo definirati predviđeni parametar g u vremenu t=0koji leži u prošlosti prema vremenu tk. Elementi inženjerske matematike

9. 1.2.5 Kontinuirani i diskretni modeli Kontinuirani modeli predstavljaju kontinuiranu promjenu objekta u vremenu. Ovakav tip modela nam dopušta definirati generalizirani argument g i predviđeni parametar G u izrazu (3) u svakoj točki u vremenskom intervalu [t0, tn] koji je modeliran. Diskretni modeli koriste diskretne vremenske korake t0 < t1 < ... < ti < ... < tn za opisivanje promjene objekta modeliranja tijekom istog vremenskog intervala [t0, tn]. Elementi inženjerske matematike

10. 1.2.6 Deterministički i stohastički modeli Deterministički model: tijekom procesa modeliranja generalizirani argument g u jednadžbi (3) je postavljen tako da ima jedno značenje, ali nije procijenjen u pogledu statističke raspodjele i možemo definirati egzaktnu vrijednost predviđenog parametra G. Stohastički model: kada generalizirani argument daje raspodjelu mogućih vrijednosti karakteriziranih statističkim indeksima kao što je raspodjela, standardna devijacija itd. Predviđena vrijednost u ovom slučaju nema jedno rješenje, već čitav spektar mogućih rješenja. Elementi inženjerske matematike

11. 1.2.7 Analitički i numerički modeli U nekim slučajevima predviđeni parametar G iz izraza (3) može se definirati kao analitička funkcija generaliziranog argumenta g, takve modele zovemo analitičkim. Pošto su ponašanja nekih matematičkih jednadžbi dobro poznata, analitički model koji opisuje stvarni objekt s jednom ili više jednadžbi dopušta nam pronalazak točne vrijednosti za svaki argument u vremenu. Često je vrlo teško čak nemoguće naći analitički izraz za funkciju (3). Moramo naći predviđeni parametar G iz niza izraza koji predstavljaju ovisnosti između nekih komponenti generaliziranog argumenta. Sustav jednadžbi koje moramo simultano rješavati najčešće uz pomoć kompjutera zovemo numeričkim modelom. Elementi inženjerske matematike

12. 1.2.8 Dominantni i subdomianatni modeli Svaki matematički model se mora temeljiti na stvarnim podacima dobivenih promatranjem objekta od interesa! Dominantni model: najprije razvijamo matematički model, a zatim promatramo objekt od interesa i validiramo model. Subdominantni model: najprije promatramo objekt od interesa, skupljamo podatke i zatim na osnovu podataka razvijamo model. Elementi inženjerske matematike

13. Elementi inženjerske matematike

14. 2. Logistički model2.1 Uvod Veličina populacije (P) koja se mijenja s vremenom (t) ne može rasti konstantnom stopom rasta. Stopa rađanja populacije s vremenom počinje padati, a stopa umiranja rasti. Najjednostavniji model smanjenja stope rađanja i povećanja stope umiranja predložio je 1838. godine Pierre Verhulst: r = r0 – aP (6) u = u0 + bP (7) r = stopa rađanja u = stopa umiranja Stopa rađanja pada proporcionalno napučenosti (tj. veličini populacije P), dok stopa umiranja raste proporcionalno napučenosti. U tom modelu za rast populacije vrijedi: Elementi inženjerske matematike

15. Elementi inženjerske matematike r0 = početna konstanta rađanja u0 = početna konstanta umiranja r0 – u0 = k0 k0 = početna stopa rasta a = konstanta po kojoj stopa rađanja pada b = konstanta po kojoj stopa umiranja raste NOSIVI KAPACITET Uvrštavanjem u (9) dobivamo jednadžbu logističkog rasta:

16. Krivulja logističkog rasta

17. Elementi inženjerske matematike Koristeći se tehnikama integralnoga računa dolazimo do egzaktne formule rasta za populaciju čija stopa opada po Verhulstovom načelu:

18. Elementi inženjerske matematike • 2.1.2 Korekcija modela. Iseljavanje i useljavanje. • Logistička jednadžba nije primjerena ako je u zadanoj populaciji prisutno useljavanje i iseljavanje. • Zbog toga je potrebna daljnja korekcija modela. • Pretpostavimo da je iseljavanje linearno tj. uz stalnu brzinu a. • Tada vrijedi pripadajuća korigirana logistička jednadžba: • Ako je a > 0 → iseljavanje • Ako je a < 0 → useljavanje • Ako je a = 0 → dobivamo običnu logističku jednadžbu

19. 2.1.3 Prihvaćanje, odbacivanje ili korigiranje modela. • Kao globalna mjera bliskosti eksperimentalnih i teorijskih podataka služi zbroj kvadrata odstupanja dobivenih mjerenjem iz pogodno odabranih n trenutaka t1; t2; :::; tn. • To je tzv. funkcija cilja i želimo da njena vrijednost bude što manja. • Naravno,tu se postavlja pitanje što to znači da je ta vrijednost dovoljno mala (pa da model možemo prihvatiti). • Jedna od standardnih metoda za korigiranje modela jest metoda najmanjih kvadrata. • Ona se zasniva na tome da parametre u modelu izaberemo tako da zbroj kvadrata odstupanja bude minimalan (prilagodba parametara modelu). Elementi inženjerske matematike

20. 2.2 Logistički model s konstantnim izlovom Elementi inženjerske matematike Jednadžba prikazuje logistički model rasta populacije sa konstantnim izlovom opisanim parametrom a. Ukoliko je a = 0.16 što će se dogoditi ribljoj populaciji za različte početne uvjete? k=0.2 K=5 Pretpostavke: a) ako je populacija toliko velika tako da ju okolina ne može podržavati resursima i prostorom, tada će se populacija smanjivati(za P > K⇒ dP/dt < 0), b) kada je populacija mala, stopa rasta populacije dP/dt je približno jednaka veličini populacije P (dP/dt ≈ kP za mali P), c) model predviđa da će se populacija riba konstantno izlovljavati bez obzira na veličinu populacije, a zapisan je u obliku konstantog faktora a.

21. Analitičko rješenje jednadžbe Elementi inženjerske matematike Budući da je jednadžba ovog modela autonomna, slijedi da je i separabilna pa možemo napraviti separaciju varijabli i nakon sređivanja dobivenog izraza i uvrštavanja zadanih parametara dobivamo:

22. Kvalitativno rješenje jednadžbe Elementi inženjerske matematike Modeliranje u paketu MatLab 7.0 clc clear all %eksperimentalne vrijednosti Pexp = [0.5 0.33 0.10 -0.25 -0.79 -1.71 -3.56 -8.85 -113.30]; pexp = [3 3.15 3.30 3.41 3.52 3.61 3.68 3.74 3.80 3.84 3.87 3.90 3.92 3.94 3.95 3.96 3.97 3.97 3.98 3.98 3.99 3.99 3.99 3.99 3.99 3.99 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00; 5 4.73 4.55 4.42 4.32 4.24 4.19 4.15 4.11 4.09 4.07 4.05 4.04 4.03 4.03 4.02 4.02 4.01 4.01 4.01 4.01 4.01 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00]; %racunanje ravnoteznih tocaka modela syms dP P dP = 0.2*P*(1 - P/5) - 0.16; P = solve(dP);

23. Elementi inženjerske matematike P = subs(P,P); dimP = size(P, 1); %broj nul-tocaka fprintf('Ravnotezne tocke modela su:\n'); for i = 1:dimP fprintf('P(%g)= %g\t', i, P(i)); end fprintf('\n\nUnos pocetnih uvjeta\n'); for i = 1:dimP+1 if i == 1 fprintf('Unesite pocetni uvijet izmedju 0 i %g\n', P(i)); P1(i) = input(''); elseif i == dimP+1 fprintf('Unesite pocetni uvijet veci od %g\n', P(i-1)); P1(i) = input(''); else fprintf('Unesite pocetni uvijet izmedju %g i %g\n', P(i-1), P(i)); P1(i) = input(''); end end

24. %simboličko rješavanje diferencijalne jednadžbesyms x dP = dsolve('DP = 0.2*P*(1 - P/5) - 0.16','P(0)=x');P = subs(dP, x, P1(:))syms tbr = 0;for tn = 0:2:60 br = br + 1; Pn(:,br) = subs(P, t, tn);end for i = 1:3 • s = 0; • if i == 1 • for j = 1:9 • s = s + (Pn(i,j) - Pexp(j))^2; • end • rms(i) = s; • else • for j = 1:31 • s = s + (Pn(i,j) - pexp(i-1,j))^2; • end • rms(i) = s; • end • end Elementi inženjerske matematike

25. figure(1) • ezplot(P(1), [0 18]); xlabel('t'); ylabel('P'); grid • figure(2) • ezplot(P(2), [0 60]); xlabel('t'); ylabel('P'); grid • figure(3) • ezplot(P(3), [0 60]); xlabel('t'); ylabel('P'); grid • Ravnotezne tocke modela su: P(1)= 1 P(2)= 4 • Nultočke P(1)=1 i P(2)=4 su i ravnotežna rješenja zadanog modela, a to znači da ukoliko je početna populacija P(0) u trenutku t =0 jednaka nultočkama P(1) ili P(2), da je tada dP/dt = 0 i da se broj jedinki promatrane populacije (riba) neće promjeniti protokom vremena. • P = • (4/7*exp(3/25*t)-1)/(-1+1/7*exp(3/25*t)) • (-8*exp(3/25*t)-1)/(-1-2*exp(3/25*t)) • (16*exp(3/25*t)-1)/(-1+4*exp(3/25*t)) Elementi inženjerske matematike

26. Kada se početna veličina populacije nalazi ispod donjeg ravnotežnog položaja, tj. kada je P(0)<1 iz grafa je očito da će populacija nakon nekog vremena isčeznuti. Elementi inženjerske matematike

27. Početna populacija riba je između nultočaka P(1) i P(2), dP/dt >0 što znači da se populacija postepeno povećava i asimptotski približava gornjem ravnotežnom položaju. Elementi inženjerske matematike

28. Ako se početna veličina populacije nalazi iznad gornjeg ravnotežnog položaja, tj. kada je P(0)>4, populacija se smanjuje (dP/dt<0) i to tako da se asimtotski približava gornjrm ravnotežnom položaju. Elementi inženjerske matematike

29. 3. Literatura Classification of mathematical models in ecology, V.I. Gertsev, V.V. Gertseva, Ecological modelling, 178 (2004) 329-334 Uvod u matematičke metode u inženjerstvu- Eksponencijalni i logistički model Eksponencijalni i logistički rast, Z. Šikić (http://www.fsb.hr/matematika/download/ZS/razno/eksponencijalni_i_logisticki_rast.pdf), 4. http://ivanzub.fizika.org/labos111.pdf 5.www.wikipedija.org Elementi inženjerske matematike

30. Hvala na pažnji!!!