Wybrane zastosowania programowania liniowego

1. Wybrane zastosowania programowania liniowego Katarzyna Kujawska Studium Nauczania Matematyki PG Katarzyna.Kujawska@pg.gda.pl

2. Plan wystąpienia • 1. Czym jest programowanie liniowe? • 2. Podstawowe pojęcia i definicje • 3. Przykłady zastosowania modelu pierwotnego • 4. Zagadnienie dualne • 5. Wytęskniony koniec... 

3. Sytuacja decyzyjna... W wielu sytuacjach życia codziennego jesteśmy zmuszeni do podejmowania decyzji Stajemy wówczas przed dylematem: co jest dla nas lepsze, co jest bardziej opłacalne? Sytuacje takie nazywamy sytuacjami decyzyjnymi, a osobę podejmującą decyzję nazywamy decydentem Warunki, w jakich działa decydent nie pozwalają na wybór dowolnej decyzji, gdyż każdy decydent podlega pewnym ograniczeniom Taką decyzję, która jest zgodna z warunkami ograniczającymi nazywamy decyzją dopuszczalną Jednak...

4. Decyzja optymalna, kryterium wyboru... Nie każda decyzja dopuszczalna jest jednakowo dobra dla decydenta W zależności od powziętych celów, jedne sytuacje mogą być lepsze, inne gorsze W taki sposób pojawia się problem wyboru decyzji najlepszej, zwanej decyzją optymalną Wybór decyzji optymalnej wymaga przyjęcia określonego kryterium, wg którego możliwa jest ocena decyzji jako lepszych lub gorszych Takie kryterium umożliwiające ocenę decyzji w kategorii lepsza/gorsza nazywamy kryterium wyboru

5. Problem decyzyjny, model decyzyjny... Opis określonej sytuacji decyzyjnej nazywamy problemem decyzyjnym Nasze zainteresowanie ograniczymy do sytuacji, w których warunki ograniczające, kryterium wyboru i decyzje można opisać językiem matematyki Powiemy wówczas, że formułujemy matematyczny model problemu decyzyjnego W matematycznym modelu problemu decyzyjnego warunki ograniczające opisywane są za pomocą układów równań lub układów nierówności

6. Warunek brzegowy, funkcja celu... W układach tych występować będą wielkości dane, zwane parametrami modelu, oraz zmienne, zwane zmiennymi decyzyjnymi Oprócz warunków ograniczających występować mogą warunki dotyczące znaku zmiennych (np. nieujemności) lub typu zmiennych (np. całkowitoliczbowości), te dodatkowe warunki (mnogie) określamy pojedynczym sformułowaniem warunek brzegowy W modelu rolę kryterium wyboru pełni pewna funkcja zmiennych decyzyjnych, mierząca cel, jaki chce osiągnąć decydent Funkcję tę nazywamy funkcją celu

7. Liniowy model decyzyjny... Opisanie sytuacji decyzyjnej językiem matematyki ma na celu sprowadzenie problemu wyboru najlepszej decyzji do rozwiązania pewnego zagadnienia W tym celu należy: • zdefiniować zmienne decyzyjne (oraz co niebagatelne, ustalić sposób ich notacji) • określić wielkości dane, czyli określić parametry modelu • zidentyfikować warunki ograniczające • określić cel decydenta i zapisać go w postaci funkcji celu

8. Liniowy model decyzyjny... Jeżeli dla danej sytuacji decyzyjnej warunki ograniczające i funkcja celu mogą przyjąć postać funkcji liniowych, to mówimy, że wyboru najlepszej decyzji dokonamy poprzez rozwiązanie zagadnienia programowania liniowego lub inaczej, że sytuacja decyzyjna może zostać opisana (przybliżona, uproszczona) liniowym modelem decyzyjnym

9. Postać standardowa liniowego modelu decyzyjnego... (maksymalizacja funkcji celu)

10. Postać standardowa liniowego modelu decyzyjnego... (minimalizacja funkcji celu)

11. Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego Przedsiębiorstwo produkuje dwa rodzaje wyrobów A i B W procesie produkcji wykorzystywane są trzy środki produkcji S1, S2, S3 dane w ograniczonych ilościach 2000, 4200, 1200 jednostek odpowiednio Do wytworzenia jednego wyrobu A należy zużyć 4, 6 i 3 jednostki środków produkcji S1,S2,S3 Do wytworzenia jednego wyrobu B zużywa się 2 i 6 jednostek środków S1 i S2 Jednostkowe zyski ze sprzedaży wyrobów A i B wynoszą odpowiednio 70 i 50 jednostek pieniężnych Zapisać i rozwiązać odpowiedni model decyzyjny (czyli ustalić optymalną strukturę produkcji maksymalizującą zysk)

12. Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego

13. Przykład zastosowania...

14. Twierdzenia... Twierdzenie1Zbiór wszystkich rozwiązań dopuszczalnych niesprzecznego liniowego modelu decyzyjnego zadanego skończoną liczbą warunków ograniczających jest zbiorem wielościennym wypukłym Twierdzenie2Funkcja celu przyjmuje wartość optymalną w punkcie wierzchołkowym zbioru określonego w Twierdzeniu 1

15. Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego Załóżmy, że dieta składa się z trzech składników odżywczych: białka, tłuszczu i węglowodanów W celu dostarczenia organizmowi tych składników kupujemy dwa produkty: chleb i mięso W j.w. chleba są 2 j. białka, 1 j. tłuszczu i 4 j. węglowodanów, a dla mięsa odpowiednio 3, 5 i 1 Minimalne dzienne ilości białka, tłuszczu i węglowodanów, jakie powinien otrzymać organizm wynoszą 6, 5 i 4j odp Cena j.w. chleba wynosi 1, a mięsa 2 Jakie ilości chleba i mięsa należy kupować dziennie, by koszt diety był najniższy?

16. Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego Przedsiębiorstwo wytwarza wyroby: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch rodzajach maszyn: M1 i M2 Jednostkowe czasy pracy maszyn przypadające na obróbkę poszczególnych wyrobów zawarte są w tabeli Zyski jednostkowe z produkcji wyrobów A,B,C,D wynoszą odpowiednio: 2; 2,5; 4; 1,5 (PLN) Maszyna M1 może pracować tygodniowo nie więcej niż 100 godzin, maszyna M2 nie więcej niż 50 godzin Ustalić optymalny asortyment produkcji umożliwiający maksymalizację zysku

17. Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego

18. Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnegoZagadnienie dualne 6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min, i odwrotnie 1. W ZD liczba zmiennych objaśniających jest równa liczbie nierówności ZP 2. W ZD liczba warunków ograniczających jest równa liczbie zmiennych decyzyjnych w ZP 3. Parametry funkcji celu w ZP są wyrazami wolnymi w ZD 4. Wyrazy wolne ZP są parametrami funkcji celu ZD 5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP

19. Szczęśliwy koniec  Dziękuję za uwagę