A differenciálszámítás alkalmazásai

1. A differenciálszámítás alkalmazásai A diasorozat az Analízis 2. (Mozaik Kiadó 2005.) c. könyvhöz készült. Készítette: Dr. Ábrahám István

2. A differenciálszámítás segítségével egzakt módon leírhatunk minden mozgást. Így széleskörű a deriválás felhasználása különböző tudományágakban. Leggyakrabban a függvények (azaz a társadalmi és természeti törvények) külön- böző jellemzőit határozzák meg a differenciálszámítással. A differenciálható függvények vizsgálata A függvények optimális értékeit számolhatjuk ki, a növekedés és csökkenés szakaszait adhatjuk meg és még sok más információt nyerhetünk a függvényekről a deriválással. A függvény növekedése, fogyása Vizsgáljuk az x0-ban és környezetében folytonos f(x) függvényt. Ha f’(x0)>0, akkor f(x) növekedően halad át az x0 ponton. Az indoklás: felvesszük a pontbeli deriváltat, a differenciálhányadost: Ha egy szám (f’(x0)) pozitív, akkor a vele egyenlő tört számlálója és nevezőjeazonos előjelű. Ha viszont a x negatív (az x0-tól balra vettük fel), akkor a y is, ami szintén növekedést jelent: Ha x pozitív, akkor a y is az, a függvény növekvő:

3. Példa: az f(x)=x2–2x+3 függvénynél vizsgáljuk meg a derivált előjelét az x0=2 pontban. Deriválás: f’(x)=2x–2, így tehát: f(2)=4–2=2>0. Ez azt jelenti, hogy a függvény növekvően halad át az x0=2 abszcisszájú ponton. Tudjuk: x2–2x+3=(x–1)2+2 és „elhittük”: a függvényünk (1;2) csúcspontú egyenes állású parabola, amely a P0(2;3) ponton növekvően halad át. A differenciálhányados előjele viszont bizonyítja ezt! A differenciálhányados értéke azt is jelenti, hogy a ponthoz tartozó érintő iránytangense 2 (pozitív, tehát az érintő „emelkedő” egyenes). Megjegyzés: a differenciálhányados képzésnél x0. Ha a függvény folytonos az x0 környezetében, akkor a yelőjele a határérték képzésnél változatlan marad. Ha f’(x0)< 0, akkor f(x) csökkenően halad át az x0 ponton. Az állítás indoklása teljesen analóg a növekvő függvénynél látottal. Példa: legyen ismét f(x)=x2–2x+3, és most az x0=0,5. Az f’(x)=2x–2, tehát: f(0,5)=–1<0, ami csökkenést jelent. A függvény adott pontjához húzott érintő iránytangense negatív, az érintő „lejtős” egyenes.

4. Tétel: az [a;b]-on a (deriválható) f(x) függvény akkor és csak akkor monoton növekvő, ha a szakasz minden pontjában az első derivált nem negatív: f’(x) 0. Csökkenő a függvény, ha minden pontban f’(x)  0. Példa: adjuk meg az f(x)=x2–2x+3 függvény monotonitási szakaszait! A derivált: f’(x)=2x–2, ahol f’(x)>0, ott növekvő a függvény: 2x–2>0, azaz x>1. Tehát az x>1 intervallumon a függvény végig (szigorúan monoton) növekvő. o Ahol f’(x)<0, ott csökkenő a függvény, azaz az x<1 intervallumon. o Definíció: az x0 pontot a függvény stacionárius pontjának nevezzük, ha f’(x0)=0. A stacionárius pontban az érintő iránytangense 0, azaz az érintő párhuzamos az x tengellyel. Példa: az f(x)=x2–2x+3 deriváltja: f’(x)=2x–2, ott van stacionárius pont, ahol 2x–2=0. Tehát az x0=1 helyen a függvénynek stacionáriuspontja van. A Ps stacionárius pont y=2 „magasságban” van: Ps(1;2), az érintő iránytangense 0. Tétel: ha az f(x) függvény az x0környezetében deriválható és az x0 stacionárius pont, akkor: ha a derivált függvény az x0-ban előjelet vált, az f(x) függvénynek ebben a pontban helyi szélsőértékevan. A helyi szélsőértéket általában lehet „fordulópont értelemben vett” szélsőértéknek is nevezni. Ugyanis ebben a pontban „fordul át” a függvény csökkenőbőlnövekvőbe, vagy növekvőből csökkenőbe.

5. Belátni a tétel igazát egyszerű: Ha az x0 „előtt”, azaz az x0-nál kisebb számok esetén a derivált negatív, az x0 után pozitív, akkor a függvény az x0-ba csökkenőenérkezik és növekvően megy tovább, tehát minimuma van. x0 Ha viszont az x0 „előtt” a derivált pozitív, az x0 után negatív, akkor az f(x)-nek az x0-ban helyi maximuma van. Példa: az f(x)=x2–2x+3 függvénynek az x0 =1 helyen stacionárius pontja van. Az x0 „előtt” (tőle balra) az f’(x) negatív, így az eredeti f(x) csökkenően érkezik ide. Az x0után (tőle jobbra) az f’(x) pozitív, tehát az eredeti f(x) növekvően halad tovább, így az x0-ban helyi minimum van. A minimum értéke, azaz az x0 pontban felvett függvényérték2. Írhatjuk így is: a helyi szélsőérték a függvényünknél: Pmin(1;2). Megjegyzések 1. A stacionárius pontban nincs mindig szélsőérték! Szükséges a szélsőértékhez a derivált előjelváltása az x0-ban. Például az f(x)=x3 esetén f’(x)=3x2, így az x0=0 stacionárius pont. A derivált előjele az x0=0 előttis és után ispozitív, tehát a 0 helyen nincs szélsőérték! Érdekesség: az érintő iránytangense a 0 helyen 0, az érintő maga az x tengely.

6. 2. Lehet helyi szélsőérték olyan pontban is, ahol a függvény nem differenciálható. Például az f(x)=lxl-nek az x0=0 pontban lokális szélsőértéke van. Az lxl függvény – mint tudjuk – az x0=0 helyen nem differenciálható. Példa: adott az függvény. Határozzuk meg az f(x) helyi szélsőértékéit és monotonitási szakaszait! Szélsőértéke egy mindenütt deriválható függvénynek ott lehet, ahol f’(x)=0. Megkeressük a stacionárius pontokat: f’(x)=x2+2x–3=0, ebből: x1=–3 és x2=1. Helyi szélsőérték lehet az x1=–3 és x2=1 pontokban. A derivált előjele –3-tól balra, például –4 helyen: f’(–4)>0, tehát az f(x) a –3-hoz növekvően érkezik, –3 után, például a –2 helyen: f’(–2)<0, azaz f(x) –3 után csökkenően halad tovább. Így az x1=–3 helyen lokális maximum van, értéke=4. Írható így is: Pmax(–3;4). Az x2=1 előtt f’(x)<0 (láttuk: f’(–2)<0 ), az x2-től jobbra, például a 2 helyen: f’(2)>0. Így x2-ben a függvénynek helyi minimuma van. A minimum értéke: A függvény képe: A függvény folytonos (hatványfüggvény), így a „fordulópontjai”, a helyi szélsőértékek határozzák meg a monotonitási szakaszokat: ] –;–3]: az f(x) növekvő, [–3;1]: az f(x) csökkenő, [1;  [: az f(x) növekvő.

7. Szélsőérték keresés a második deriválttal Tétel: ha az f(x) az x0 pontban kétszerderiválható, szélsőértéke x0-ban akkor lehet, ha az első derivált értéke itt 0, azaz: f’(x0)=0, és ha ebben a pontban a második derivált nem nulla, azaz: f’’(x0)0, akkor van szélsőérték. A szélsőérték minősége: ha f’’(x0)>0, akkor x0–ban helyi minimum van; ha f’’(x0)<0, akkor x0–ban helyi maximum van. Bizonyítás: ha f’’(x0)>0, akkor f’(x) az x0-ban növekvő. Mivel f’(x0)=0, ezért az f’(x) az x0 előtt negatív, az x0 után pozitív (az f’(x) az x0–ban „megy át” az x tengelyen, azaz vált előjelet). Tehát itt az f(x)-nek helyi minimuma van. A helyi maximumra teljesen analóg a bizonyítás Példa: az függvénynél az első derivált: f’(x)=x2+2x–3. Ennek zérushelyei: –3 és 1. A második derivált függvény: f”(x)=2x+2. y’ A második derivált értéke a –3 he- lyen negatív, így az első derivált a –3-ban csökkenő. Az első derivált a –3-nál megy át az x tengelyen (azaz f’(–3)=0), így –3 előtt pozitívak az első derivált függvényértékei, utána negatívak. Tehát a stacionárius pontban az első derivált előjelet vált. Így az eredeti f(x) függvénynek a –3 helyen szélsőértéke van, ami helyi maximum.

8. A második deriváltakat felhasználó szélsőérték keresés nem túl egyszerű. Megfigyelhetjük, hogy tulajdonképpen „visszafelé” haladunk, a második derivált előjeléből az első derivált függvénymenetére következtetünk először. Példa: adjuk meg az függvény szélsőértékeit és monotonitási szakaszait! Felhasználjuk az első és a második deriváltakat: Ott lehet szélsőérték, ahol f’(x)=0, azaz: Ebből: x1=–1, x2=0 és x3=1. Akkor van szélsőérték ezeken a helyeken, ha a második derivált értéke nem nulla. A második derivált pontbeli előjeléből a szélsőérték minőségét is meg tudjuk adni. f”(–1)<0, tehát az x1=–1 helyen van szélsőérték és ez maximum, értéke: f(–1)0,3679. f”(0)>0, azaz az x2=0-nál minimum van, értéke 0. Összefoglalva : Pmax(–1; e-1), Pmin (0;0), Pmax(1; e-1). f”(1)<0, így az x3=1-nél is maximum van értéke e-1. A monotonitási szakaszok: A függvény képe: ]–;–1] szakaszon f(x) növekvő, [–1;0]: csökkenő, A függvényünk folytonos, így a helyi szélsőértékek határozzák meg a monotonitásiszakaszokat. [0;1] : szintén növekvő, [1; [ : csökkenő.

9. Megjegyzések 1. A monotonitás vizsgálatánál intervallum határpontként az xo szakadási helyet is figyelembe kell venni, ha ott nem megszűntethető szakadása van a függvénynek. A nem megszűntethető szakadás helyén lehet a függvénynek „tágabb értelemben vett” szélsőértéke és ekkor monotonitást válthat a függvény a szakadási helyen. Példa: az esetén: Viszont az függvénynél: Tudjuk: a tágabb értelemben vett határérték egy x0 helyen baloldali és/vagy jobboldalivégtelen, vagy mínuszvégtelen lehet. Tágabb értelemben a -ben, vagy a - -ben vehetjük a határértéket. A függvényünk az x=0-nál nem vált monotonitást, 0-ig is, és 0-tól is csökkenő. A 0 helyen „tágabb értelem- ben vett” határértéke van a függvényünknek, a 0-nál f(x)monotonitást vált. 2. Ha a folytonos függvény egy intervallumon konstans (azaz a gráfja párhuzamos az x tengellyel), akkor f’(x)=0 az egész szakaszon. Fordítva: ha egy folytonos függvény első deriváltja egy szakaszon 0, akkor ez legtöbb- szörkonstans függvényt jelez. A „legtöbbször”, „általában” szavakat a kivételek miatt használjuk. Például az f(x)=x3 szigo- rúan monoton nő a [–1;1] szakaszon, holott: f’(0)=0.

10. A függvény görbülete, inflexiós pontja A függvény görbületét mindig „alulról nézve” határozzuk meg, a domborútkonvexnek, a homorútkonkávnak nevezzük. Példa: A felrajzolt függvény az [a;b] szakaszon konkáv (homorú alulról nézve), a [b;c] szakaszon konvex (domború). A Pi pontban a függvény görbülete megváltozik, ezt a pontot inflexiós pontnak nevezzük. A görbület a gráfhoz húzott érintőkkel is meghatározható. Tétel: ha az f(x) függvény az értelmezési tartományának egy szakaszán differenciálható és ezen a szakaszon a derivált függvény növekvő, akkor az f(x) függvény az intervallumon konvex. Ha viszont az f’(x)derivált függvény csökkenő, akkor az adott szakaszon az f(x)konkáv. „A derivált növekvő” geometriailag azt jelenti, hogy az érintőkiránytangenseinőnek. Rajzon: A „lejtős” érintők jobbra haladva „emelkedők” lesznek. Következmény: ha egy intervallumon az f”(x)>0, akkor az f’(x) növekvő, tehát az eredeti f(x) konvex. Ha pedig az f”(x)<0, akkor az f(x) konkáv. Az inflexiós pontban a második derivált előjelet vált, így ott f”(x0)=0, de f’’’(x§)0.

11. Példa: adjuk meg az f(x)=x3/3+x2–3x–5 inflexiós pontjait, konvex és konkáv szakaszait! Az f(x)-nek abban az xo pontban lehet inflexiós pontja, ahol f”(xo)=0. Ebben az xo pontban akkor van inflexiós pont, ha f”’(xo)0. (Ha létezik az f’’’(xo).) Szükség van az első és a második deriváltra: f’(x)=x2+2x–3 és f”(x)=2x+2. Ha f”(x)=2x+2=0, akkor x=–1. A harmadik derivált: f”’(x)=2  0, így x=–1-nél f(x)-nek inflexiós pontja van. A függvényérték itt: –7/3 , tehát Pi(–1; –7/3). A görbületi szakaszok: az f”(x)>0, ha 2x+2>0, azaz x>–1. Ha x<–1, akkorf”(x)<0. A függvényünk tehát a ]–;–1] intervallumon konkáv, a [–1;[ szakaszon konvex. Példa: adjuk meg a monotonitás szempontjából már vizsgált függvény inflexiós pontjait. A második derivált: Inflexiós pont ott lehet, ahol f”(x)=0. Megoldandó: 2x4–5x2+1=0. Innen: A gyökök: x1=–1,51; x2=–0,47; x3=0,47 és x4=1,51. Belátható, hogy a harmadik derivált egyik pontban sem 0 (azaz f”’(xi)  0), így négy inflexiós pont van. A függvény gráfját már láthattuk.

12. Megjegyzések 1. A függvény nem megszűntethető szakadási helye lehet tágabb értelemben vett inflexiós pont (görbületváltási hely). Példa: az görbületeit vizsgáljuk. Ehhez: Az f”(x)<0, ha x<0, azaz a ]–; 0[ intervallumon a függvény konkáv és f”(x)>0, ha x>0, azaz nullától jobbra a függvény végig konvex. 2. Szoktunk beszélni tágabb értelemben vett görbületről: egy függvény tágabb értelem- ben konvex, ha az adott szakaszon nem konkáv. Példa: vizsgáljuk meg görbület szempontjából a következő függvényt: Az abszolútérték függvényt átírhatjuk abszolút érték mentes alakba, így az ábrázolás egyszerűbb lehet. A függvény képe: A függvény tágabb értelemben konvex, hiszen a töréspontok kivételével f”(x)0.

13. 3. Határérték számolás különleges esetekben A bonyolultabb határérték számításokhoz gyakran trükköket kell kitalálnunk. A l’Hospital szabály alkalmazása ezt elkerülhetővé teheti. A l’Hospital szabály Ha az alakú, akkor: függvény helyettesítési értéke az xo helyen Vigyázat: nem a törtet kell deriválni! Példa: adjuk meg az határértékét az 1, a 2, a 3 helyeken, illetve a -ben! A kifejezést tekinthetjük racionális törtfüggvénynek, amely –3 és 3 kivételével folytonos, így: (a számláló és a nevező helyettesítési értéke is 0, így a l’Hospital szabály alkalmazható) (a számláló és a nevező helyettesítési értéke is , így a l’Hospital szabály alkalmazható) A szabályt mégegyszer alkalmaztuk. A l’Hospital szabály a határérték számolásra csak az adott feltételekkel használható!

14. A feladatban tulajdonképpen az exponenciális és a hatvány- függvény „növekedési sebességét” hasonlítjuk össze. Példa: A l’Hospital szabály alkalmazható, hiszen a helyettesítési érték: Az ex minden deriváltja önmaga, az xk k-adik deriváltja k!, ami konstans. Tehát az exponenciális függvény „dominánsabb” a hatványfüggvénynél. 4. „Bonyolultabb” függvények közelítése hatványfüggvényekkel A függvények sorfejtése Tétel: ha az f(x) függvény tetszőlegesen sokszor deriválható, akkor az hatványsort az f(x) függvény xo-hoz tartozó Taylor sorának nevezzük. Ha az xo=0, akkor a sort MacLaurin sornak nevezzük. Tehát az f(x) MacLaurin sora: Ezek a formulák teszik lehetővé a „bonyolult” függvények közelítését egyszerű hatványfüggvényekkel.

15. Példa: írjuk fel az f(x)=sinxMacLaurin sorát. A deriváltak helyettesítési értékeit külön kiszámoljuk: f’(x)=cosx f’(0)=1. f’’(x)=–sinx f’’(0)=0. f’’’(x)=–cosx f’’’(0)=–1. f(0)=sin0=0. f””(x)=sinx f””(0)=0, és minden kezdődik elölről. Helyettesítünk a MacLaurin sor képletébe: Tehát a sinx MacLaurin sora: Ha ábrázoljuk az függvényt (a sorfejtésnek az első 3 tagját vesszük): Láthatjuk, hogy a szakaszon ez a függvény jól közelíti a sinx függvényt. Pontos formulák léteznek a közelítés hibájának megadására. Ha nem a nulla környezetében (MacLaurin sor) akarjuk köze- líteni a függvényt, hanem tetszőlegesxo-nál, akkor az általá- nosabb Taylorsort használjuk. Hasonlóan egyszerűen levezethető, érdemes (célszerű) „fejből” tudni a következőket: Az lnx függvény hatványsorát (mivel a függvénynek és deri- váltjának a 0 helyen nincs helyettesítési értéke) valamely pozitív xo helyen képezzük. A fejezet tárgyalását befejeztük.