Diplomarbeit von Daniel Tameling Betreuer: Dipl.-Ing. Stephan Wulfinghoff

1. AlgorithmenfürnichtlokaleMaterialgesetze in derGradienten-Einkristall-Plastizität • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Diplomarbeit von Daniel Tameling Betreuer: Dipl.-Ing. Stephan Wulfinghoff Prof. Dr.-Ing. Thomas Böhlke Bereich Kontinuumsmechanik Institut für Technische Mechanik D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie16. September 2011 TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAAAAAAAAAA

2. Inhalt • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011 Einleitung Mathematische Grundlagen Vorstellung verschiedener Algorithmen Vergleich der Algorithmen anhand der Rechnung Zusammenfassung

3. Einleitung • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Fleck et al. (1994) Bei Abmessungen kleiner als ca. 10 µm zeigt sich eine Größenabhängigkeit besonders bei inhomogener Belastung wie Torsion d2 <d1 d1 Widerspruch zu klassischer Theorie Gewählte Lösung: Finite Elemente Methode mit Newton-Verfahren Active-set-search Methode Gradiententheorie mit Verbindung zu Versetzungen Nichtlineare Variations- formulierung D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011

4. KinematikeinesEinkristalls • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Gurtin, Needleman (2005) Zerlegung des Deformationsgradienten Kleine Deformationen beim Einkristall ein Gleitsystem: Gleitebenen- normale Slip-Parameter Gleitrichtung Schmid-Tensor Elastischer Anteil des Verschiebungsgradienten Rotation + Streckung Scherung D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011

5. Motivation Versetzungsdichtetensor • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Nye (1953) Nach plastischer Verformung Anfangs- platzierung Gitter Kontinuum Burgers-Vektor: Versetzungsdichte Satz von Stokes D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011

6. FreieHelmholtzenergie • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Steifigkeitstensor Elastischer Anteil Verfestigungsmodul Isotroper Verfestigungsanteil Konstante Vesetzungsanteil mit Versetzungsdichtetensor Insgesamt: D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011

7. Umsetzung • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Leistungsbilanz Nichtlineare Variationsformulierung Wie lösen? Nichtlineare Finite Elemente Methode Was sind die plastisch aktiven Knoten? Newton-Verfahren Linearisieren Diskretisieren Für inaktive Knoten Gleichungen mit Slip-Parameter im linearen Gleichungssystem entfernen Lineares Gleichungssystem Bestimmung der aktiven Knoten mit Active-set-search Methode D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011

8. LinearesGleichungssystem Active Set Search • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung • Algorithmen • Simulation • Vergleich • Algorithmen • Zusammen-fassung Miehe, Schröder (2001) Lineares Gleichungssystem: symmetrisch + positiv definit Active-set-search: Diskrete Nebenbedingungen Passiver Knoten Aktiver Knoten Wird aktiv bei Wird passiv bei Active Set: Menge der aktiven Knoten Ziel der Diplomarbeit: Verschiedene Möglichkeiten der Kombination von Active-set-search und Newton-Verfahren D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie16. September 2011

9. AblaufderAlgorithmen, die miteinanderverglichenwurden • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Methode 3 Methode 1 Methode 2 D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011

10. Rechengebiet • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Randbedingungen Untere Fläche fest Obere Fläche wird verschoben Rest spannungsfrei Slip-Parameter verschwindet auf dem Rand Netze Hexaeder Elemente 11x11x6 =726 Knoten 26x26x14 =9464 Knoten D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie16. September 2011

11. Simulation • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Anforderungen: Robuster und stabiler Algorithmus hohe Geschwindigkeit Durchgeführte Simulationen umax=0,03µm mit 10 Zeitschritten und feinem Netz umax=0,3µm mit 4 und 10 Zeitschritten und grobem und feinem Netz Ausgangskonfiguration d.h. unverformt 10 Zeitschritte:letzter Zeitschritt D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie16. September 2011 11

12. Simulation 10 Zeitschritte, xz-Ebene • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Verschiebung 100 fach überzeichnet Verschiebung 20 fach überzeichnet D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011

13. VergleichderAlgorithmen • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Zahl der Newton-Schritte bestimmt den Zeitaufwand einer Methode Summe der Zahl der Newton- Schritte aus allen Simulationen Methode 1 Methode 2 Methode 3 Methode 1 ist am langsamsten D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011

14. VergleichderAlgorithmen • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung Bei Methode 2 nur erforderlich wenn keine Änderung am Active Set Aufstellen des linearen Gleichungssystems ist teuer Warum bestimmt Zahl der Newton-Schritte den Zeitaufwand? Summe der Zahl der Änderungen am Active Set aus allen Simulationen Methode 1 Methode 2 Methode 3 Bei Methode 2 nur 51 mal LGS aufstellen statt 101 wie bei Methode 3 Methode 2 ist die schnellste D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011

15. Zusammenfassung • Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011

16. Inhalt • Einleitung • Mathematische • Grundlagen • Vorstellung der • Algorithmen • Vergleich der • Algorithmen • Zusammen-fassung D. Tameling KIT KarlsruherInstitutfürTechnologie 16. September 2011 Vielen Dank fürIhre Aufmerksamkeit