La aritmetización de la sintaxis

1. La aritmetización de la sintaxis • Capítulo 15

2. INTRODUCCIón • El objetivo será establecer una relación entre las expresiones de una teoría formal y un código numérico. • En particular, vamos a intentar asociar las expresiones del lenguaje de la aritmética LA con números. Luego lo haremos para secuencias de expresiones. • Veremos, entonces, que existe un correlato entre ciertas propiedades sintácticas y ciertas propiedades numéricas. • ¿Podremos decir que ciertas propiedades sintácticas “son” propiedades numéricas? Disctutir.

3. Existe más de una forma de asociar expresiones sintácticas con números. • Sin embargo, vamos a presentar la idea original de Gödel. • Ésta es la clave para “hacer hablar” a la matemática de sí misma. • Pero antes, vamos a contar algunos resultados matemáticos involucrados en la idea original de Gödel.

4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA • Todo número natural mayor que 1 se puede representar de forma única (salvo por el orden de los factores) como el producto de números primos. Llamaremos a dicha representación: factorización de un número. • 6936 = 2 . 2 . 2 . 3 . 17 . 17 = 23 . 31 . 172 • 1200 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 24 . 31 . 52 • Este teorema requiere dos demostraciones clásicas: existencia y unicidad.

5. ¿qué es un número primo? • Se dice que un número natural p es primo si y sólo si tiene exactamente dos divisores: 1 y p (uno y sí mismo) • ¿El número 1 es primo? • ¿Cuántos primos pares hay? • ¿Cuántos números primos hay? ¿Por qué? • La propiedad de ser primo es verificable en una serie finita de pasos mecánicos. (11.8 R3. Prime(n) es p.r)

6. Algoritmo: • Dado un número natural n • Si n = 1: • Responder: n no es primo • Terminar • Si no: • Para cada número primo pi ≤ √n: • Realizar la división entera de n por pi • Si el resto de dividir n por pi es igual a 0: • Responder: n no es primo • Terminar • Si no: • Continuar • Responder: n es primo • Terminar

7. A partir del algoritmo anterior, podemos construir otro algoritmo que genere la lista de todos los números primos. (11.8 R4. π(n)es p. r.) • La factorización de un número se puede obtener en una serie finita de pasos mecánicos.

8. Algoritmo: • Dado un número natural n ≥ 2 • Para cada número primo pi ≤ √n: • c = 0 • Mientras n sea divisible por pi: • n = n div pi • c = c + 1 • Si c > 0: • Responder: pic. • Continuar • Si no: • Continuar • Responder: 1 • Terminar

9. Numeración de Gödel • Sea el lenguaje de la aritmética LAcon los símbolos lógicos usuales (conectivas, cuantificadores, identidad, paréntesis), los símbolos de cero y sucesor y las funciones suma y multiplicación. • Vamos a codificar a los símbolos anteriores con números impares. • Además, en el lenguaje de la aritmética, tenemos una cantidad inagotable de variables. • A estas últimas las vamos a numerar con números pares. • Entonces, obtenemos el siguiente esquema de codificación:

10. ESQUEMA DE CODIFICACIÓN Sea la expresión e una secuencia de k+1 símbolos de LAs0, s1, s2,… sk. El número de Gödel (g. n.) de la expresión e se calcula multiplicando los primeros k+1 números primos πi, cada uno elevado a la potencia ci, donde ci es el código del símbolo si (con i desde 0 hasta k).

11. S tiene g. n. 223 = 8388608 • SS0 tiene g. n. 223 . 323 . 521 = (no llega la calculadora) • ∃y(S0+y)=SS0 tiene g. n. 213 . 34 . 517 . 723 . 1121 . 1325 . 174 . 1919 . 2315 . 2923 . 3123 . 3721 = (un número muy grande)

12. Otra forma de verlo: • Dada una expresión del lenguaje, considerar la cadena de símbolos involucrada. • Utilizar los números primos para codificar la posición de cada símbolo dentro de la cadena. • Elevar cada número primo a la potencia correspondiente según el esquema de codificación. • Multiplicar.

13. En forma análoga, se pueden asociar expresiones de distintos lenguajes formales con números modificando el esquema de codificación. • Tenemos un procedimiento mecánico para ver si un número es primo o no. • Tenemos un procedimiento mecánico para factorizar números. • Tenemos un procedimiento mecánico para codificar expresiones de un lenguaje formal.

14. A partir de nuestro esquema de codificación anterior, tenemos dos algoritmos: • Uno para transformar una expresión en un número. • Otro para transformar un número en una expresión.

15. CODIFICANDO SECUENCIAS de expresiones • Dada una secuencia de expresiones de un lenguaje: • e0, e1, e2,… en • Codificarlas con su número de Gödel correspondiente: • g0, g1, g2,… gn • Y luego volver a utilizar los números primos: • 2g0 . 3g1 . 5g2 … πgn • ¿Podemos codificar secuencias de secuencias?

16. Propiedades sintácticas como propiedades numéricas. • Ahora vamos a intentar definir algunas propiedades sintácticas como propiedades numéricas. • Term(n) es verdadero sii la expresión de código n es un término de LA. • Atom(n) es verdadera sii la expresión de código n es una fórmula atómica de LA. • Wff(n) es verdadera sii la expresión de código n es una fórmula bien formada de LA. • Sent(n) es verdadera sii la expresión de código n es una sentencia de LA. • Prf(m, n) es verdadera sii m es el código de la demostración de la sentencia de código n. • ¿Las funciones anteriores son verificables en un número finito de pasos mecánicos? ¿Cómo?

17. Comencemos con Term(n). • Recordemos del capítulo 4.3: • Los símbolos no lógicos de LA son {S, 0, +, ×} • 0 es una constante. • S es una función de ariadad 1. • + y × son funciones de aridad 2. • +(a, b) • ×(a, b) • Luego, por comodidad, nos permitimos escribir cosas como (a+b) o (a×b). • Luego, la definición recursiva: • 0 es un término • Las variables son términos • Si φ y ψ son términos, entonces +(φ, ψ) y ×(φ, ψ) son términos. • Nada más es un término.

18. Term(n): • Decodificar n y obtener e = s0s1s2…sk, dónde cada si es un símbolo de LA y la longitud de e es k+1 • Si k = 0 y s0 es 0 o s0 es una variable (x, y, z…): • Responder: true • Terminar • Si no: • Si s0 es S: • Sea e’ = s1s2…sk • Responder: Term(⎡e’⎤) • Terminar

19. Si s0 es + o s0 es ×: • Sea e’’ = s2s3…sk-1 • Para símbolo s de e’’: • Si sj es ,: • Sea a = s2s3…sj-1 y sea b = sj+1sj+2…sk-1 • Responder: Term(⎡a⎤) ∧ Term(⎡b⎤) • Terminar • Si no: • Continuar • Responder: false • Terminar

20. El único símbolo de predicado de LA es la identidad, por lo cual las fórmulas atómicas son todas de la forma (φ = ψ). Suponemos que siempre aparecen los paréntesis. • Atom(n): • Decodificar n y obtener e = s0s1s2…sk, dónde cada si es un símbolo de LA y la longitud de e es k+1 • Sea e’ = s1s2s3…sk-1 • Para cada simbolo s de e’: • Si sj es =: • Sea a = s1s2…sj-1 y sea b = sj+1sj+2…sk-1 • Responder: Term(⎡a⎤) ∧ Term(⎡b⎤) • Terminar • Si no: • Continuar • Responder: false • Terminar

21. Las fórmulas bien formadas de LA se construyen a partir de las fórmulas atómicas y la aplicación de conectivas lógicas y cuantificadores. De nuevo, suponemos todos los paréntesis. • Wff(n): • Decodificar n y obtener e = s0s1s2…sk, dónde cada si es un símbolo de LA y la longitud de e es k+1 • Si s0 es ∀ o s0 es ∃ o s0 es ¬: • Sea e’ = s1s2…sk • Para cada simbolo s de e’: • Si sj no es una variable: • Responder: Wff(⎡e’⎤) • Terminar • Si no: • Continuar

22. Si no: • Si Atom(e): • Responder: true • Terminar • Si no: • Recorrer los símbolos de e contando los paréntesis para deducir cuál es la conectiva principal: ∧ ∨ → ↔ • Sacar los paréntesis exteriores. • Separar la expresión en dos partes a partir de la conectiva principal. • Responder: Wff(a) ∧ Wff(b) • Terminar

23. Hasta ahora, con las fórmulas bien formadas, permitimos variables libres. • Las sentencias son fórmulas bien formadas cerradas, es decir, sin variables libres. • Free(n) es verdadera sii la expresión de código n no tiene variables libres: el algoritmo deberá recorrer los símbolos de la expresión, contar las variables y los paréntesis. • Sent(n): • Responder: ¬Free(n) ∧ Wff(n) • Terminar

24. Falta la más importante: • Prf(m, n) es verdadera sii m es el código de la demostración de la sentencia de código n. • Una demostración es una secuencia finita de sentencias donde cada una de ellas es: • Una instancia de un esquema de axioma. • El resultado de la aplicación del modus ponens en sentencias anteriores. • El resultado de la instanciación de un cuantificador universal. • Ya mostramos antes cómo codificar secuencias de expresiones.

25. Axiom(n): es verdadera sii n es el código de una sentencia que es una instancia de un esquema de axioma. • Axiom(n) es computable porque los axiomas son recursivos. • MP(m, n): es verdadera sii la sentencia de código n se puede obtener a partir de aplicar modus ponens a por lo menos dos sentencias de la secuencia de sentencias de código m. • Univ(m, n): es verdadera sii la sentencia de código n se puede obtener a partir de instanciar un cuantificador universal de alguna sentencia de la secuencia de sentencias de código m.

26. MP(m, n): • Decodificar m y obtener los códigos de las sentencias de la secuencia g0,g1,g2...gk • Decodificar n y obtener t • Para cada gi: • Decodificar gi y obtener ei • Para cada gj: • Decodificar gj y obtener ej • Si se puede aplicar modus ponens en ei y ej de manera tal de obtener t: • Responder: true • Terminar • Si no: • Continuar • Responder: false • Terminar

27. Univ(m, n): • Decodificar m y obtener los códigos de las sentencias de la secuencia g0,g1,g2...gk • Decodificar n y obtener t • Para cada gi: • Decodificar gi y obtener ei • Si a partir de ei se puede obtener t por instanciación de un cuantificador universal: • Responder: true • Terminar • Si no: • Continuar • Responder: false • Terminar

28. Prf(m, n): • Decodificar m los códigos de las sentencias de la demostración d = g0,g1,g2...gk • Para cada gi de d: • Si ¬(Axiom(gi) ∨ MP(∏(πi-1gi-1), gi)∨ Univ(∏(πi-1gi-1), gi)): • Responder: false • Terminar • Si gk = n: • Responder: true • Terminar • Si no: • Responder: false • Terminar

29. Hasta ahora • Teorema: Term(n), Atom(n), Wff(n), Sent(n) y Prf(m, n) son funciones primitivas recursivas. • Demostramos que son computables sólo utilizando ciclos. • La demostración rigurosa es bastante más compleja.

30. UN POCO DE Notación • Si φ es una expresión del lenguaje formal L, entonces ⎡φ⎤ es el número de Gödel (g. n.) de la expresión φ. • Dentro de una fórmula ⎡φ⎤ va a ser igual a escribir el numeral correspondiente a ⎡φ⎤. Por ejemplo: • Para la expresión S, ⎡S⎤= 223 = 8388608. • Ahora bien, si escribimos ⎡S⎤dentro de una fórmula, ⎡S⎤es equivalente a escribir su numeral: SSSSS…0, con 8388608 apariciones de S.

31. Diagonalización • La diagonalización de φ es ∃y(y=⎡φ⎤∧ φ) • Teorema: existe una función primitiva recursiva diag(n) que devuelve el número de Gödel de la diagonalización de la fórmula bien formada de código n.