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3. Asistentes de Pruebas para Programadores C álculo de Construcciones

3. Asistentes de Pruebas para Programadores C álculo de Construcciones. 1. Cálculo  simplemente tipado Sintaxis. Términos e ::= x | x.e | (e 1 e 2 ) | c x Var c Const Tipos  ::= t |  1  2 t TConst Contextos G ::= [ ] | G ,x:

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3. Asistentes de Pruebas para Programadores C álculo de Construcciones

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  1. 3. Asistentes de Pruebaspara ProgramadoresCálculo de Construcciones TPPSF

  2. 1. Cálculo  simplemente tipadoSintaxis Términos e ::= x | x.e | (e1 e2) | cx Var c Const Tipos ::= t | 12 t TConst Contextos G ::= [ ] | G,x: (o directamenteG ::= x1:1... xn:n (n 0)) TPPSF

  3. Reglas: ctx G, x:a|- x: a G, x:a|- e: b G|- e1:a b G |- e2: a abs app G |- lx.e: a b G |- (e1 e2): b Sistema de tipos Juicios de la forma: G|- e: a “la expresión e tiene tipo a bajo el contextoG” TPPSF

  4. Ejemplos de términos tipados • x.x: ? • x.y. x: ? • x.y.z.((x y) z): ? • x.y.z.((x z) (z y)): ? • ? : () • ? : (())(()) TPPSF

  5. Reducciones • Reducción  ((x.e1) e2)  e1[xe2] -redex • Reducción  x.(f x)  f -redex • Reducción  Si c:= d entonces c d -redex (unfold) TPPSF

  6. Ejemplos de reducciones • (((x.y.(x y)) (z.z)) w) (((x.y.(x y)) (z.z)) w)  ((y.((z.z) y) w) ((y.((z.z) y) w)  ((z.z) w) ((z.z) w)  w • ((x.((z.z) x)) y) ((x.((z.z) x)) y)  ((z.z) y) ((z.z) y)  y TPPSF

  7. Reducciones infinitas No siempre una cadena de reducciones  y tiene fin. Ejemplos: • Definimos  = x.(x x) • Entonces ( )  ( )  ( )  ...... • Definimos 3= x.(x x x) • Entonces (3 3)  (3 3 3)  ...... Propiedad importante: tener tipo garantiza que no haya computaciones infinitas Dado un término e, si existe a tal que G|- e:a , entonces e es --normalizable (toda cadena de reducciones temina en una forma normal) TPPSF

  8. Cálculo  simplemente tipado en Coq • Constantes de tipo: nat, bool, etc. • El tipo de las variables aparece en las abstracciones: • [x: nat] x : nat  nat • [x:bool] x : bool  bool • [f:natbool][x:nat] (f x) : bool • [g:natnatbool][n:nat] ((g n) n) : bool TPPSF

  9. Variable de tipo!! 2. Polimorfismo Paramétrico • En los lenguajes funcionales (ML, Haskell, Gopher) escribimos: x. x :   • En Coq, abstraemos el tipo. Los tipos de datos pertenecen a la clase Set: • [X:Set][x:X] x : X X (X:Set) Abstrayendo en la clase Set obtenemos polimorfismo paramétrico TPPSF

  10. 3. Tipos dependientes • Polimorfismo paramétrico = abstraer variables de tipo (de Set). • En general: podemos abstraer variables de cualquier tipo. Tipos dependientes: un tipo puede depender no solo de otro tipo, sino también de un objetode cierto tipo. TPPSF

  11. Ejemplos • Array: Set  nat  Set • Array bool 3 • zip: (A:Set)(k:nat)(Array A k)(Array A k)(Array A K) • Matrix: Set natnatSet • Matrix nat 5 4 • prod:(n,m,k:nat) (Matrix nat n k)(Matrix nat k m)(Matrix nat n m) TPPSF

  12. Lenguaje de programación de Coq • Es un lambda cálculo tipado con las siguientes características: • es de orden superior • permite definir funciones paramétricas • tiene tipos dependientes • permite definir tipos inductivos • permite definir tipos coinductivos CC CCI CCI Cálculo de Construcciones (CC) Cálculo de Construcciones Inductivas = CC + tipos inductivos (CCI) Cálculo de Construcciones Inductivas y Coinductivos = CCI+tipos coinductivos (CCI) TPPSF

  13. 4. Cálculo de ConstruccionesSintaxis 1. Términos T ::= Set | Prop | Type | x variables | ( T T ) aplicación | [ x : T ]T abstracción | ( x : T) T producto | T  T tipo de las funciones* * A  B abrevia (x:A)B cuando x no ocurre libre en B Ejemplos: [A:Set][x:A]x [f: A  A  A][a:A](f a a) TPPSF

  14. Sintaxis (cont.) 2. Contextos  ::=[ ]|  , x:T 3. Definiciones def ::= C:= T TPPSF

  15. Alcance La lambda abstracción y el producto son operadores que ligan (son cuantificadores) Definición [alcance] -en el término [x:A]B el alcance de la abstracción [x:A] es B. - en el tipo (x:A) B el alcance del cuantificador (x:A) es B. Las nociones de variable libre y ligada son las usuales. TPPSF

  16. Sustitución Definición [sustitución] sean t y u dos términos y x una variable. t[xu] denota el término que resulta de sustituir todas las ocurrencias libres de x en t por el término u. Otras notaciones: t[u/x], [u/x]t, t[x:=u], t{x:=u} Asumiremos que la operación de sustitución evita la captura de variables renombrando adecuadamente las variables ligadas. TPPSF

  17. Reglas de Reducción Definición [reducción beta y eta] • ([x:T]f a)  f [x  a] • [x:T] (f x) f Definición • Se define como ylas relaciones correspondientes a la reescritura de un subtérmino utilizando y .. Se definecomo la unión de ambas relaciones. • Se define como *y*la clausura reflexiva, transitiva de  yrespectivamente. • Idem para * TPPSF

  18. Reglas Reducción (cont.) Definición [beta y eta conversión] • Se definen como la clausura reflexiva, transitiva y simétrica de * • Si t u se dice que t y u son -convertibles Definición [redex, forma normal] • Un término t es un -redex si tu y es un -redex si tu • Un término t está en -forma normal si ninguno de sus terminos es un -redex (idem para -forma normal y -forma normal). TPPSF

  19. Juicio de tipabilidad en CC Definición [juicio de tipado] Los juicios t tiene tipo T en el contexto  (  |- t:T ) y  es un contexto bien formado se definen en forma mutuamente recursiva El conjunto S de clases de objetos se define como : S = {Set, Prop, Type, Type1, Type2, ...} El conjunto R de reglas de formación de productos es: R = { <Prop,Prop,Prop>, <Set, Prop, Prop>, <Typei, Prop, Prop>, <Set, Set, Set>, <Prop, Set, Set >, <Typei, Set, Set>, <Set,Typei,Typei>, <Prop,Typei,Typei>, <Typei, Typej, Typemax{i,j} > | iN } TPPSF

  20. Juicio de Tipabilidad (cont)Reglas de Buena formación de Contextos [ ] bien formado  |- T:s x  DECLARACION DE VARIABLES , x:T bien formado TPPSF

  21. Juicio de Tipabilidad (cont)Reglas de Tipado AX1 [ ] |- Set:Type AX2 [ ] |- Prop:Type AXi [ ] |- Tipei:Type i+1  , x:T|- U:s2  |- T:s1 <s1,s2,s3>R ( PROD)  |- (x:T)U : s3 TPPSF

  22. Juicio de Tipabilidad (cont)Reglas de Tipado  bien formado x:t  VAR  |- x : t  |- (x:T)U:s  , x:T|- t:U ABSTR  |- [x:T]t : (x:T)U  |- f:(x:T)U  |- t:T APP  |- (f t) : U [xt] TPPSF

  23. Juicio de Tipabilidad (cont)Reglas de Tipado  |- t:T  |- U:s TU (CONV)  |- t: U Ejercicio: sabiendo que AB puede definirse como una abreviación sintáctica del producto (x:A)B en donde x no ocurre en B. Derivar a partir de la regla para el producto, la regla de tipado de la AB. TPPSF

  24. Coq: Tácticas vinculadas a la reducción • Estrategias de reducción • Cbvflag1 flag2 • Lazy flag1 flag2 • donde flagi es el nombre de la reducción ( o  ) • Reducción Delta • Unfold id1... Idn • Fold term • Estrategias de reducción • Compute calcula la forma normal • Simpl aplica y luego d a constantes transparentes TPPSF

  25. Propiedades del Cálculo de Construcciones Normalización Si el juicio |-A:B es derivable entonces A tiene forma normal. Confluencia Si |-A:B yA* A1 y A* A2 entonces existe C tal que A1* C y A2* C . TPPSF

  26. Más Propiedades del Cálculo de Construcciones Decidibilidad del tipado Existe un algoritmo que dado un término U y un contexto : • devuelve un término V tal que |-U:V sea derivable • reporta un error si no existe un término V tal que |-U:V. TPPSF

  27. Problemas ligados al tipado 1. Chequeo de tipos: |-U:V ? 2. Inferencia de tipos: Dados  yU existe V tal que |-U:V ? 3. Vacuidad de un tipo: Dados  yV existe U tal que |-U:V ? Los problemas 1 y 2 son decidibles en el cálculo de construcciones, 3 no lo es. TPPSF

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