Introduction to Numerical Analysis

1. Introduction to NumericalAnalysis Marek Kręglewski

2. Course content

3. Coursecontent 2 LABORATORY CLASSES • MS Excel – general introduction • Application of the MS Excel insolvingnumericalproblems MANUALS: • E. Steiner, Mathematics for chemists, Oxford. • A. Ralston, Introduction to numericalanalysis.

4. Solution of equation in one variable x=f(x) START READ x , ε, A y=x x=y y=½(x+A/x) |x-y|< ε NO YES WRITE y STOP Trace of operations

5. Algorithm notation START and STOP of a sequential algorithm INPUT and OUTPUT operations SUBSTITUTION operations CONDITIONAL operation = LOOP ? SUBSTITUTION variable = expression Calculate the value of the expression and save it under the name of the variable

6. Convergent process: x=½(x+4/x) Iteration process

7. Divergent process: x=6-x*x

8. Solution of equation in one variable Bisection method Solution of an equation f(x)=0, i.e. search for zero points of the function f(x). Search for the a zero point in the range <a,b>, in which: 1) the function f(x) is continuous 2) f(x) changes the sign in the range <a,b>, i.e. f(a)*f(b)<0 y zero point x p2 a p3 p4 p1 b b a a b

9. Bisection Algorithm START READ a, b, ε NO f(a)*f(b)<0 WRITE: incorrect range YES p=(a+b)/2 NO f(a)*f(p)<0 YES b=p a=p |a-b|<ε NO YES WRITE a,b STOP Trace of operations

10. Differential Calculus Derivative of a function – a measure how rapidly the dependent variable changes with changes of the independent variable y=y(x) Tangent line tan(α) (slope) y2 y = y2-y1 α y1 x = x2-x1 x2 x1 derivative

11. Differential Calculus Find the derivative of the function y = a x2 Let x = x2-x1and y = y(x2)-y(x1) y = a(x2)2-a(x1)2 = a(x1+x)2-a(x1)2 = a[(x1)2+2x1x+(x)2]-a(x1)2 = = a[2x1x+(x)2] After dividing by x In the limit as x2 → x1(i.e. x → 0) The derivative of the functiony=ax2is dy/dx=2ax

12. Differential Calculus Derivatives of some elementary functions (a is a constant): Let y(x) and z(x) are differentiable functions of x: Composite function f(u(x))

13. Solution of equation in one variable Newton-Raphson method The search of a zero point begins at any point x0, if: 1) the function f(x) and its first derivative are continuous 2) the first derivative is different from zero y zero point x x3 x1 x2 x0 The expansion inTaylor series:

14. Newton-Raphson algorithm START READ x0 , ε x0=x1 x1=x0 - f(x0) / f ’(x0) |x0-x1|< ε NO YES WRITE x1 STOP Trace of operations

15. Solution of equation in one variable Secant Method The search for the zero point begins from a pair of points(x0, x1), if: 1) the function f(x) is continuous 2) f(x0) f(x1), when x0x1 y zero point x x2 x3 x1 x0 The first derivative from the Newton-Raphson method approximated with an expression:

16. Secant method algorithm START READ x0 , x1 , ε q0=f(x0) q1=f(x1) x0=x1; x1=x2 q0=q1 ; q1=f(x2) x2=x1 – q1(x1-x0) /(q1-q0) |x2-x1|< ε NO YES WRITE x2 Trace of operations STOP

17. IntegralCalculus – principal facts • TheantiderivativeF(x) of f(x)isthefunctionsuchthatdF(x)/dx=f(x) • Theindefiniteintegralisthe same thing as theantiderivativefunction • A definiteintegralisthe limit of a sum of termsf(x)x

18. Integral Calculus - examples A car moves with constant velocity v(t)=50 km/h. Calculate the distance it covers in 2 hours. A stone is falling with the acceleration g(t) = 10 m/s2. At the begining its velocity is 0 m/s. Calculate the distance the stone covers between 2nd and 4th second of the fall.

19. Numerical integration Trapezoidal rule h T2 Tm a b

20. Numerical integration Simpson’s rule m must be even Sm/2 a b

21. Analytical integration – an example f(x)=x3 f(x)=x4

22. Numerical integration – an example Calculation results f(x)=x3 f(x)=x4 Errors of the trapezoidal rule error ~ h2

23. Geometrical series When a=1 i) The sum is equal to ii) is a series expansion of the function

24. Taylor series expansion at x=0 constants Thus

25. Taylor series expansion constants Thus

26. Series expansion of a function Calculate the value f(6) using the Taylorseries expansion Call the Taylorseries

27. Różniczkowanie numeryczne Przybliżenia jednostronne: Średnia P i L (różnica centralna):

28. Różniczkowanie – błąd metody _ Pochodna centralna Pochodna jednostronna błąd ~ h1 pochodna pochodna błąd ~ h2

29. Przykład – obliczenie pochodnej Oblicz pochodną ln(x) w punkcie x=3 metodą pochodnej centralnej oraz jednostronnej dla różnych długości kroków: Zmniejszenie kroku zmniejsza błąd, przy czym szybciej błąd maleje w metodzie różnic centralnych

30. Równanie różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe opisujące rozpad promieniotwórczy Propozycja rozwiązania: Sprawdzanie poprawności: Podstawienie do równania: Lewa strona równa prawej, gdy: Wartość a wyznaczana z warunku początkowego: Ostateczne rozwiązanie analityczne: k – stała szybkości rozpadu promieniotwórczego

31. Rozpad promieniotwórczy Równanie różniczkowe opisujące rozpad promieniotwórczy Rozwiązanie analityczne: Okres połowicznego rozpadu :

32. Równanie różniczkowe – metoda Eulera Równanie (f jest znaną funkcją): Wzór przybliżony na pochodną: Po przekształceniu: Uproszczony zapis: Ostatni wzór pozwala na obliczanie wartości funkcji y punkt po punkcie. Wartość funkcji w punkcie zerowym y0 określają warunki początkowe.

33. Równanie różniczkowe I rzędu

34. Równanie różniczkowe II rzędu F Drgania harmoniczne Fp = ma a - przyspieszenie Fw= -kx x - wychylenie Przyjmijmy: m=1 k=1 Równowaga sił Fp = Fw a=-x x 0 Rozwiązania szczególne równania: Rozwiązanie ogólne równania: Stałe c1 i c2 wyznaczane z warunków początkowych

35. Równanie różniczkowe II rzędu x -1 0 1 Warunki początkowe: Rozwiązanie ogólne z uwzględnieniem warunków początkowych:

36. Rozwiązanie numeryczne I Korzystamy z przybliżonych wzorów na pochodne: Oznaczamy: Z postaci równania wynika:

37. Rozwiązanie numeryczne I c.d. Gdy t=0 :

38. Rozwiązanie numeryczne II Korzystamy z przybliżonych wzorów na pochodne centralne: Oznaczamy: Z postaci równania wynika:

39. Rozwiązanie numeryczne II c.d. Gdy t=0 :

40. Ekstrapolacja Richardsona Czy wykonując obliczenia ze skończona długością kroku h można oszacować wynika graniczny dla h  0 ? F(h) – wartość obliczona dla długości kroku h a0 = F(0) hipotetyczna wartość dla zerowej długości kroku p – rząd błędu metody numerycznej Obliczamy wynik numeryczny F dla dwóch różnych kroków h i (qh)

41. Ekstrapolacja Richardsona c.d. odejmujemy stronami a0 też jest obarczone błędem i postępowanie można prowadzić dalej. Najczęściej ekstrapolację stosujemy dla q=2, a wtedy:

42. Ekstrapolacja Richardsonaprzykład 1 Wyniki numeryczne metodą trapezów:

43. Ekstrapolacja Richardsona przykład 2 błąd metody różnic centralnych  h2, czyli p=2.  = P(h)-P(2h)

44. Interpolacja wielomianem • Dana jest funkcja f(x) w postaci tablicy, tzn. znamy jej wartości w (n+1) punktach (węzłach) • f(x0), f(x1), f(x2), ..., f(xn). • Zadanie: znaleźć wielomian n-tego stopnia taki, że: • w(x0)= f(x0) • w(x1)= f(x1) • ... • w(xn)= f(xn) • wn(x) nazywamy wielomianem interpolacyjnym. • Cele interpolacji: • łatwe zapamiętanie postaci funkcji (współczynniki) • wykonywanie operacji matematycznych na wielomianie • wyznaczanie pośrednich wartości funkcji

45. Obliczanie wartości wielomianu Postać naturalna wielomianu Obliczanie wartości wielomianu wg schematu Hornera

46. Obliczanie wartości wielomianu START Algorytm Wczytaj n , {ai}, x w=an i=n-1 w=w*x+ai i=i-1 TAK i≥0 NIE Wypisz w STOP

47. Ślad działań w3(x)=1+3x-2x2+4x3 n=3 a0=1 a1=3 a2=-2 a3=4 Oblicz wartość wielomianu w punkcie x=3. Wartość wielomianu w punkcie x=3 wynosi 100.

48. Postać Newtona wielomianu Niech x0, x1, x2,..., xn-1 są danymi liczbami, dla których wartości wielomianu są określone (dane). Tworzymy wielomiany pomocnicze pk (k=0,1,2,...,n) takie, że p0(x) = 1 p1(x) = x-x0 p2(x) = (x-x0)(x-x1) ... pk(x)= (x-x0)(x-x1)... (x-xk-1) Wielomian wn(x) przedstawiamy jako Jak wyznaczyć współczynniki bk?

49. Wyznaczanie współczynników bk

50. Przykład b0 = 100 b1 = 183 b2 = 58 b3 = 4