ELEKTROMOTORNI POGON KAO DINAMIČKI SISTEM

1. ELEKTROMOTORNI POGONKAO DINAMIČKI SISTEM Elektromotorni pogon je jedan DINAMIČKI SISTEM, koji se može podeliti na više DINAMIČKIH PODSISTEMA između kojih postoji INTERAKCIJA.

2. Zajedničko za sve dinamičke sisteme – podsisteme je da oni predstavljaju skup uzajamno zavisnih, vremenskih promenljivih veličina. Ove zavisnosti mogu se izraziti: - skupom diferencijalnih jednačina prvog reda; i - skupom algebarskih jednačina; koje se mogu napisati: gde su: u1,...,uk– ulazne veličine u sistem, koje se po svojoj funkciji mogu podeliti na upravljačke veličine i poremećaje; x1,...,xk– promenljive stanja; y1,...,yk – izlazi, izlazne veličine.

3. POREMEĆAJI uh+1 uh+2 uk . . . . y1 { } u1 SISTEM x1, x2, ..., xn ULAZI UPRAVLJAČKI y2 u2 IZLAZI . . . . . . uh ym Važna osobina dinamičkog sistema: Ustaljenost dejstva, ulazi deluju na proces (promenljive stanja) i izlaze, proces deluje na izlaze a izlazi i proces ne deluju na ulaze! Možemo razlikovati: - fizički pristupačne veličine, ili merljive; - nepristupačne veličine, ili nemerljive.

4. ANALIZA DINAMIČKIH SISTEMA Dve metode: 1. Analiza u operatorskom domenu (frekventnom) 2. Analiza u prostoru stanja.

5. Operatorska metoda analize Može se primeniti na sisteme: - koji su linearni; - imaju konstantne parametre; i - imaju jedan ulaz i jedan izlaz, ili u slučaju većeg broja ulaza i izlaza posmatrani slučaj se može svesti na slučaj sa jednim ulazom i jednim izlazom. Zasniva se na LAPLASOVOJ transformaciji: Umesto promenljive t – vreme uvodi se promenljiva “p” – Laplasov operator, koji je kompleksna promenljiva. Gde je:σ – prigušenje; ω – sopstvena učestanost; ξ – relativno prigušenje; ωn– prirodna učestanost.

6. Primenom ove metode analize posmatrani sistem se svodi na: u (p) y (p) G(p) Funkcija prenosa. Funkcija prenosa svodi se na odnos dva polinoma po operatoru p. Drugi način označavanja funkcije prenosa, pogodan kod analize sistema sa više ulaza i izlaza jer eksplicitno pokazuje na koji par ulaza i izlaza se odnosi data funkcija. Funkcija prenosa predstavlja odnos Laplasovih transformacija izlaza i ulaza.

7. D(p) – polinom naziva se KARAKTERISTIČNIM POLINOMOM. D(p) = 0 – je KARAKTERISTIČNA JEDNAČINA. Red karakterističnog polinoma je jednak broju promenljivih stanja u dinamičkom sistemu. Na osnovu rešenja karakteristične jednačine pi, gde je i = 1n, mogu se dobiti vrlo važne informacije o ponašanju sistema. 1o Ako je: Re[pi ] < 0 za svako i = 1 n sistem je stabilan, algebarski kriterijum stabilnosti. 2oAko je: Im[pi ] = 0 za svako i = 1 n i ako je sistem stabilan, promene promenljivih u prelaznim režimima biće APERIODIČNE(nema oscilacija). 3o Ako je: Im[pi ]≠ 0 makar za jedno i = 1 n i ako je sistem stabilan, promene promenljivih sistema u prelaznim režimima biće PERIODIČNO PRIGUŠENE.

8. N (p) = 0 – Rešenja ove jednačine nazivaju se NULAMA SISTEMA. Broj POLOVA je veći ili jednak broju NULA sistema. DOMINANTNI POL (polovi u slučaju konjugovano – kompleksnog para) je pol koji je najbliži imaginarnoj osi posmatrano u kompleksnoj ravni, odnosno pol sa najmanjom apsolutnom vrednošću realnog dela. DOMINANTNI POL ima najveći uticaj na prelazne procese. NEDOMINANTNI POLOVI su polovi čija je apsolutna vrednost realnog dela više od DESET puta veća od apsolutne vrednosti DOMINANTNOG POLA. Uticaj NEDOMINANTNIH POLOVA na prelazne procese je zanemarljiv. DIPOLI su parovi bliskih polova i nula, posmatrano u kompleksnoj ravni. Uticaj polova koji grade DIPOLE na prelazne procese je zanemarljiv.

9. Pozicija polova u kompleksnoj ravni Im p4 p2 x x p1 Re x x x p3 p5 p4 i p5 su DOMINANTNI

10. Iz Njutnove jednačine Iz jednačine indukta Blok dijagram Motora JS u operatorskom domenu:

11. Funkcije prenosa koje se dobijaju pomoću blok dijagrama:

12. Im f max = f nom -1/2Ta -1/Ta 0 -Re f = 0 f = 0 fkr f min 0 f min 0 f max = f nom Uticaj fluksa na raspored polova - sopstvenih vrednosti.

13. Kritična vrednost fluksa je kada se sa dva realna prelazi na kompleksan par polova - sopstvenih vrednosti.

14. Tm min -1/Ta -1/2Ta 0 Tmkr -Re Tm Tm Tm max Tm max Tm min Uticaj momenta inercije ( mehaničke vremenske konstante Tm ) na raspored polova - sopstvenih vrednosti. N:

16. BLOK DIJAGRAM MODELA POGONA SA NEZAVISNO POBUDJENIM JEDNOSMERNIM MOTOROM, ZA SIMULACIJE U normalizovanim veličinama – relativnim jedinicama:

17. Slika 1: start pogona u praznom hodu Struja polaska ograničena dodatnim otporom Prelazni proces periodično - prigušen

18. Slika 2: start pogona pod opterećenjem Struja polaska ograničena kao na slici 1 Prelazni proces aperiodičan

19. Slika 3: start pogona pod opterećenjemi manjom inercijom Struja polaska ograničena kao na slici 1 Prelazni proces periodično - prigušen

20. Slika 4: opterećenje i potpuno rasterećenje rasterećenje opterećenje Prelazni procesi su periodični sa jakim prigušenjem

21. ASINHRONI MOTOR - DINAMIKA Ako uvedemo smenu:

22. (s- )'dr sds r'r s 'r rs i'qr iqs uqs u'qr M EKVIVALENTNE ŠEME MOTORA Ekvi šema po q-osi:

23. (s- )'qr sqs r'r s 'r rs i'dr ids uds u'dr M Ekvi šema po d-osi:

24. JEDNAČINE MOMENTA Ako se pođe od izvedene jednačine: mogu se dobiti sledeći izrazi: itd.

25. fs= fn=50Hz, s=314 me  'qr 'dr Slika A1: Start motora u praznom hodu, direktno na mrežu

26. opterećenje  me 'qr 'dr Slika A2: Start motora u praznom hodu i opterećenje

27. ANALIZA U PROSTORU STANJA Ovo je analiza u VREMENSKOM domenu! Matematički aparat koji se koristi u bilo kom vidu ove analize skoro po pravilu ZAHTEVA PRIMENU RAČUNARA. Može se primeniti na sisteme: - linearne i nelinearne; - sa konstantni i promenljivim parametrima; - sa više ulaza i izlaza.

28. Dva sistema jednačina (DIFERENCIJALNIH I ALGEBARSKIH)koji opisuju ponašanje dinamičkog sistema uvođenjem: VEKTOR STANJA VEKTOR ULAZA VEKTOR IZLAZA Dobijaju oblik: Potpuno definisanje određenog režima u sistemu postiže se definisanjem početnih uslova:

29. LINEARAN DINAMIČKI SISTEM Matematički model sistema može se predstaviti: Odnosno: gde su: A – matrica sistema, B – matrica ulaza, C – matrica izlaza, D – nema posebno ime, jer je u većini realnih sistema ova matrica “nula” matrica.

30. D + + + Σ Σ ∫ C B + A Grafički prikaz.

31. Funkcije prenosa linearnog dinamičkog sistema Kod linearnih sistema moguće je izvesti promene funkcije, kao što smo već videli. Primenom Laplasove transformacije na sistem jednačina koje opisuju dinamički sistem dobija se: Gde je I – jedinična matrica. Iz prve jednačine dobija se: Smenom u drugu jednačinu dobija se: Funkcija prenosa sistema je: gde je: H(p) – matrica prenosa, čiji su koeficijenti funkcije prenosa od svih ulaza ka svim izlazima.

32. Ako je D = [ 0 ] tada je: U matrici prenosa: broj kolona = broju ulaza, broj redova = broju izlaza. Na osnovu prethodnog izraza očigledno je da se u imeniocu svake od funkcija prenosa Fji(p) nalazi polinom: Ovo je zapravo KARAKTERISTIČNI POLINOM!

33. KARAKTERISTIČNA JEDNAČINAje: njena rešenja su POLOVI SISTEMA. Iz matematike je poznato: SOPSTVENE VREDNOSTI MATRICE SU REŠENJA SLEDEĆE JEDNAČINE: Prema tome: POLOVI SISTEMA = SOPSTVENIM VREDNOSTIMA MATRICE SISTEMA

34. NELINEARNI DINAMIČKI SISTEM sa konstantnim parametrima Kod ovih sistema vrši se linearizacija modela u okolini radne tačke stacionarnog stanja, a zatim se mogu primenjivati metode analize kao kod linearnih sistema. Postupkom linearizacijedobija se linearni modelsistema koji VAŽIsamo u okolini posmatrane radne tačkei kod koga umesto promenljivihfigurišu priraštaji promenljivih. Kod linearizovanog modela je: VEKTOR STANJA VEKTOR ULAZA VEKTOR IZLAZA

35. u1 + x x - + Σ y ∫ z (t) Σ x + u2 - q (u) t - vreme a NELINEARNI DINAMIČKI SISTEM SA PROMENLJIVIM PARAMETRIMA Kod ovih sistema analiza se sprovodi modelovanjem. Danas se to radi sa digitalnim računarima pomoću odgovarajućih programskih paketa namenjenih modelovanju. Ilustracije radi poslužimo se primerom. Model sistema prvog reda je: Grafički prikaz ovog modela na osnovu koga se vrši postavljanje modela na računar je:

36. Oznake korišćene na slici: x – množač; Σ – sumator; ∫ - integrator; a – konstanta a; z – nelinearna funkcija od vremena; q – nelinearna funkcija od ulaza u2; – nelinearni blokovi.