3. HIDROSTATIKA

1. 3. HIDROSTATIKA

2. Hidrostatika predstavlja posebnu oblast hidraulike u okviru koje se izučavaju tečnosti u mirovanju, odnosno tečnosti u ravnotežnom stanju. Pod ravnotežnim stanjemse podrazumeva stanje u kome se svaki delić tečnosti nalazi u mirovanju, odnosno stanje gde nema relativnog kretanja delića tečnosti u odnosu na druge deliće. Pošto nema relativnog kretanja delića tečnosti tangencijalninaponi kod tečnosti u mirovanju su jednaki nuli. Zbog toga se kod tečnosti u mirovanju javljaju samo normalni naponi, odnosno pritisci.

3. U okviru hidrostatike razmatraće se dve posebne oblasti. 1. analizapritisaka i njihove promene unutar posmatrane zapremine tečnosti u mirovanju 2. analiza dejstvasila pritisaka na konačne površine.

4. Za sva razmatranja u hidrostatici važe sledeće predpos-tavke: 1)Gustina tečnosti je konstantna, tj. tečnost se smatra nestišljivim za vodu =1 kg/dm3 2)Od zapreminskih sila (sila proporcionalna masi) deluje samo težina tečnosti G=V G=gV =const 3)Od površinskih sila deluje samo sila pritiska

5. 3.1. Pritisak u tečnosti

6. Pritisak Pritisak u tački predstavlja graničnu vrednost odnosa normalne sile na površinu kada površina teži nekoj beskonačno maloj vrednosti dA. Označava se sa p Intenzitet pritiska, ili jednostavno pritisak, predstavlja silu koja deluje po jedinici realne ili imaginarne površine unutar tečnosti. Njegova dimenzija je FL-2 , odnosno ML-1T-2 . Jedinica mere za pritisak je Paskal (Pa) i izražava dejstvo sile od 1N na površinu od 1m2. 1 Pa = 1 Nm-2 U upotrebi je još: 1 Bar = 105Pa = 100 kPa = 1,103 Atm  1 Atm

7. Pritisak u tački je granična vrednost odnosa normalne sile na površinu i same površine, kada površina teži nuli. 1.Sila na granične površine koja je prouzrokovana dejstvom pritiska tečnosti mora biti upravna na površinu u svim tačkama jer tečnost u mirovanju ne može prenositi tangencijalne napone. OSOBINE PRITISKA SU:

8. 2. U XVII veku Paskal je na osnovu ogleda (sl.) utvrdio: Pritisak na zatvoreni fluid se istim intenzitetom prenosi na sve zidove suda - nazvan Paskalov zakon. Vrednost pritiska u jednoj tacki fluida koji miruje je ista bez obzira na smer. Šta npr. radi na tom principu? Na prethodnom zakonu bazira princip rada hidrauličke prese.

9. 3. Hidrostatički pritisak u jednoj tački tečnosti u mirovanju delujeu svim pravcima podjednako. DOKAZ za prethodnu konstataciju je: posmatraćemo malu trougaonu prizmu tečnosti koja okružuje neku tačku tečnosti u mirovanju. Pošto je tečnost u mirovanju, tangencijalni naponi su =0, pa deluju samo normalni naponi, tj. pritisci. Usled uticaja zemljine teže pojavljuje se i sila težine posmatrane zapremine tečnosti koja deluje u suprotnom pravcu od vertikalne koordinate y.

10. Dokaz Paskalovog zakona: Zbog mirovanja, sile koje deluju na trougaonu prizmu tečnosti moraju biti u ravnoteži. Sumiranjem sila u x i y pravcu, respektivno, dobijaju se izrazi gde su px , py ,pzsrednji pritisci na tri površine prizme, a g predstavlja specifičnu težinu tečnosti. Iz geometrijskih karakteristika posmatrane prizme proizilazi da jedssin =dy pa se ravnoteža sila u x-pravcu svodi na izraz: ps=px

11. Kada stranice, odnosno zapremina posmatrane prizme teže nuli, težina prizme postaje zanemarljiva u odnosu na sile pritisaka, pa se korišćenjem geometrijske relacije dscos =dx, jednačina sila u y pravcu svodi na izraz ps=py . Kombinacijom izraza za ravnotežu sila u x i y pravcu dobija se izraz ps= px= py=p Pošto ugao  može biti bilo koji proizvoljni ugao prethodnom jednačinom je dokazano da je pritisak u tački tečnosti u mirovanju jednak u svim pravcima. Prema tome pritisak je skalarna veličina.

12. U praktičnim proračunima obično se koristi pojam sred-njeg pritiska: Srednji pritisak predstavlja odnos normalne sile koja deluje upravno na ravnu površinu i same površine.

13. 3.2 Osnovna jednačina hidrostatike

14. Zakon promene pritiska neke tečnosti u mirovanju može biti utvrđen analizom promene pritiska duž horizontalne i vertikalne linije. Izdvojićemo najpre jedan horizontalni cilindar neke tečnosti u mirovanju: L pMdA pNdA dA M N Ako se posmatra ravnoteža sila u horizontalnom pravcu, jedine sile koje deluju na cilindar su sile pritisaka pMdA i pNdA, gde su pM i pN pritisci na osnove cilindra površine dA.

15. Pošto su pritisci normalni na površinu i kako se cilindar nalazi u ravnoteži (jer celokupna masa tečnosti nalazi u ravnoteži) sledi da je pMdA = pNdA odnosno pM= pN Dve tačke u horizontalnoj ravni neke tečnosti u mirovanju moraju imati isti pritisak. Pošto ovo važi za bilo koje dve tačke u horizontalnoj ravni sledi da sve tačke u horizontalnoj ravni neke tečnosti u mirovanju imaju isti pritisak. * * * Posmatraćemo sada vertikalni cilindar izdvojen u nekoj tečnosti u mirovanju. Neka je dA površina poprečnog preseka prizme a z visina prizme.

16. -zapremina cilindra dV=dAz z -težina cilindra dV z dAz -sile pritiska: p dA pdA z z=0 Pošto je tečnost u mirovanju, nema tangencijalnih sila, pa sve tri sile moraju biti u ravnoteži:

17. / : dV=dAz dp=-dz ( =   g) Osnovna jednačina hidrostatike u diferencijalnom obliku Videli smo da se pritisak ne menja duž x i y ose (znači u datoj horizontalnoj ravni) a da se menja samo po visini (vertikalne z ose). Kako bi glasila jednačina za konačnu zapreminu?

18. z Posmatrajmo sud ispunjen tečnošću i nađimo dve tačke A i B sa različitim visinskim položajem. o B ( označava površinu vode) o A z=0 Ako osnovnu jednačinu hidrostatike napišemo u obliku: dp+gdz=0 i izvršimo njeno integraljenje od tačke A do tačke B, uz uslov da je fluid nestišljiv (=konstantna gustina, =const) i da je gravitaciono ubrzanje g=9,81ms-2=const

19. PRITISAK U JEDNOJ NEPREKIDNOJ FLUIDNOJ SREDINI KONSTANTNE GUSTINE, POD DEJSTVOM TEŽINE, ZAVISI SAMO OD VISINSKOG POLOŽAJA - SMANJENJE PRITISKA JE SRAZMERNO PORASTU VISINE. pB – pA +  g ( zB – zA ) = 0 odnosno pA +  g zA = pB +  g zB = const ili p+  g z = const OSNOVNA JEDNAČINA HIDROSTATIKE je visina pritiska i ima dimenziju dužine, najčešće se izražava u (m) je položajna kota i predstavlja odstojanje od kote z=0. Kota z=0 bira se tako da se dati zadatak najlakše reši. z

20. Zbir visine pritiska, , (odn. p/), i položajne kote, z, predstavlja pijezometarsku kotu, i obeležava se sa oznakom (Pi ) Za sve tačke neke fluidne sredine u mirovanju pijezometarska kota je ista (konstantna). pijezometarska kota pijezometarska cev, služi za merenje nivoa tečnosti, odnosno pijezometarskih kota

21. Slobodna površina tečnosti ≡ hidrostatički pritisak = 0 ∏ (pijezometarska) kota

22. Veoma često se u inženjerskoj praksi kota z=0 usvaja na slobodnoj površini tečnosti u nekom sudu, a dubina vode u nekoj tački u sudu označava se sa h=-z. Na površini suda p=0, z=0 =0 OSNOVNA JEDNAČINA HIDROSTATIKE zA=-hA pA=hA p=h raspored hidrostatičkog pritiska

23. Izračunajmo pA , pB i pc ako je H=10m , zB=3m 1 Šta bi bilo da je umesto vode ulje? H  Nacrtajmo dobijene pritiske u obliku dijagrama ! 1kPa=x cm pA=0 o A C uljaH zA vodeH vodeH o B Hidrostatički pritisak u nekoj tački je proporcionalan visini vodenog stuba iznad te tačke. Koeficijent proporcional-nosti je specifična težina tečnosti  (=g). Visina pritiska ima dimenziju dužine, i u hidraulici se nejčešće izražava u metrima vodenog stuba. zB z=0

24. 3.3 Atmosferski pritisak. Apsolutni pritisak. Merenje pritiska.

25. U dosadašnjem izlaganju uticaj atmosferskog pritiska nije uopšte bilo spominjan pri razmatranju delovanja pritiska u tečnostima. Atmosferski pritisak deluje na sva materijalna tela na Zemlji pa se u skladu sa tom činjenicom pritisak u bilo kojoj tački neke fluidne sredine može izraziti kao zbir atmosferskog i hidrostatičkog pritiska. Taj ukupni pritisak naziva se apsolutni pritisak: paps = patm + p apsolutni pritisak atmosferski pritisak hidrostatički pritisak

26. Toričelijev eksperiment (1643) Staklenu cev dužine oko 1m , čiji je jedan kraj zatvoren, napunio živom i zagnjurio njen otvoren kraj u širi sud sa živom. Kad je sklonio prst u cevi je ostao stub žive visok 76cm (na nivou mora). patm =gh=13600 kg/m39,81m/s2 0,76m= 101396 Pa

27. Barometar Barometar je instrument za merenje apsolutnog pritiska. Sastoji se od staklene cevi zatvorene sa gornje strane koja se ispuni tečnošću, potopi u sud sa istom tečnošću i pažljivo podigne u vertikalu. Ako je cev dovoljno dugačka, u zatvorenom prostoru iznad tečnosti će se pojaviti prostor gde nema vazduha (idealan barometar), gde je paps=0. Tečnost je najčešće živa, zbog  i malog pritiska živine pare (Toričelijev eksperiment)

28. OTVOREN SUD SA JEDNOM TEČNOŠĆU 2 • izabere se referentna nulta kota z=0 • na slobodnoj površini tečnosti se uvek nalazi  kota • hidrostatički pritisak u bilo kojoj tački tečnosti može se izračunati primenom osnovne jednačine hidrostatike

29. U praksi se najčešće teži da se izbegne korišćenje pojma apsolutni pritisak zbog toga što atmosferski pritisak varira od mesta do mesta (najveći je na nivou mora i opada sa nadmorskom visinom) ali da čak i za istu lokaciju varira u zavisnosti od vremenskih prilika. Zbog toga u inženjerskoj praksi pri rešavanju praktičnih problema najčešće uzima u obzir samo hidrostatički pritisak dok se uticaj atmosferskog pritiska zanemaruje. Ako je ipak neophodno da se i atmosferski pritisak uzme u obzir onda se pretpostavlja da je on približno jednak pritisku koji stvara stub vode visine 10m: patm /=10 mvs patm = 10 9,81 kN/m3 =98,1kPa  100kPa

30. Tečnost u zatvorenom sudu u kome je pumpanjem stvoren nad-pritisak u odnosu na atmosferski pritisak PIJEZOMETARSKA KOTA JE HORIZONTALNA RAVAN GDE JE PRITISAK (HIDROSTATIČKI) = 0, A TO JE I SLOBODNA POVRŠINA TEČNOSTI. POVRŠINA TEČNOSTI NE MORA DA BUDE UJEDNO I PIJEZOMETARSKA KOTA!!!!! • izabere se nulta kota z=0 • zanemaruje se gustina vazduha, pa je pritisak u vazduhu konstantan. Pritisak na kontaktu između vazduha i tečnosti jednak je pritisku u bilo kojoj tački u vazduhu: pA=pvaz • na osnovu poznatog pritiska u tački A računa • se  kota za tečnost; 3

31. paps = patm + p patm 100 k Pa Da li apsolutni (barometarski) pritisak može biti negativan? Da li pritisak (hidrostatički pritisak) može biti negativan? Koliki može biti podpritisak maksimalno teorijski?

32. Merenje pritiska Za merenje pritiska u fluidu koriste se direktne i indirektne metode. • Pijezometri • Korišćenje pijezometara predstavlja najstariji i najjednos-tavniji metod za merenje pritiska. • Pijezometar je cev koja je jednim krajem povezana sa sudom u kome se želi izmeriti pritisak a na drugom kraju je otvorena ka atmosferi: • cev kroz koju protiče fluid • rezervoar za naftu • pijezometri se izuzetno mnogo koriste za • merenje nivoa podzemnih voda

34. Ukoliko je potrebno meriti pritisak u sudovima pod pritis-kom primena pijezometra nije praktična jer bi zahtevala izuzetno dugačke cevi: Predpostavimo da se u nekom cevovodu nalazi voda pod pritiskom p=300kPa. Kolika je visina pritiska, odnosno koliko je potrebna da bude dugačka pijezometarska cev?  zc=0 z=0 o C Dužina pijezometarske cevi trebalo bi da bude oko 30m.

35. 2)Manometri Da bi se proširio opseg merenja pritiska pomoću pijezome-tara razvijen je poseban merni uređaj: manometar. Manometar meri razliku pritisaka između dve tačke. Prvi princip: U osnovi manometra je pijezometarska cev koja ima krivinu u obliku latiničnog slova U. U toj krivini se nalazi fluid sa većom gustinom od gustine vode (najčešće živa čija gustina je 13,6 puta veća od gustine vode)

36. Drugi princip se zasniva na merenju sile ili deformacije elastične membrane koja je u kontaktu sa mernim fluidom, pri čemu sam način merenja može biti mehanički , električni ili čak optički. Burdonov manometar membranskimanometar

40. =hB H  hB pA=0 o A H o B pB=(-zB)=hB zB z=0 Hidrostatički pritisak u nekoj tački proporcionalan je dubini vode u toj tački. Koeficijent proporcionalnosti je specifična težina tečnosti  (=g).