Warszawa, 12.01.2005

1. Warszawa, 12.01.2005 Modeling Market Mechanism with Minority GameDamien Challet, Matteo Marsili, Yi-Cheng ZhangModelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

2. Gra Mniejszościowa N graczy wybiera niezależnie jedną z dwóch pozycji ( 0 lub 1) Gracze znajdujący się w mniejszości wygrywają Gracze posługują się strategiami wynikającymi z przeszłych posunięć „Pamięć” gracza jest ograniczona – gracz pamięta M poprzednich gier Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

3. Gra Mniejszościowa Przykład: ilość możliwych strategii przyjęcia jednej z pozycji w zależności od M Przykładowa strategia: M=3 Mamy 2M = 8 możliwych posunięć w zależności od 3 bitowej pamięci Przy M=3 strategii jest zatem 22M = 256 Odpowiednio dla M= 2,3,4,5 będzie 16, 256, 65536, 655362 strategii Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

4. Gra Mniejszościowa Po ustaleniu wielkości „pamięci” graczy losujemy każdemu S strategii Gracz może „próbować” strategie bądź trzymać się jednej Strategie mogą być analizowane tj. po każdej grze gracz może analizować która strategia przyniosłaby zysk Aby grać efektywnie gracz musi analizować cały czas strategie Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

5. Modelowanie Rynku – Główne założenia 1. Zróżnicowanie strategii - wiele alternatywnych strategii nie występują znaczne korelacje 2. Dwa typy agentów: producenci i spekulanci. Producenci nie maja alternatywnych strategii; spekulanci - standardowy model gracza MG. Producenci dostarczają informacji na rynek 3. Agenci nie są zobowiązane, by grać, jeśli nie widzą możliwości zysku 4. „Kupcy szumiący” – agenci posługujący się przypadkowymi strategiami 5. Są lepsi i gorsi agenci a ich rozkład jest nie Gaussowski 6. Pamięć M każdego z graczy może ulegać zmianom 7. Agentom opłaca się posiadanie wielu strategii choć wykorzystują niewiele z nich 8. Niektórzy agenci mogą dostać nielegalną informację o innych agentach Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

6. Modelowanie Rynku – Podstawa N agentów mogących w danej chwili t kupować bądź sprzedawać - kupno - sprzedaż Wygrana agenta i-tego będzie dana wzorem: gdzie Wzór ten pokazuje podstawową zależność kiedy to wypłata agenta zależy od posunięć wszystkich graczy. Mniejszość graczy zyskuje w ten sposób |A(t)| ; większość traci -|A(t)| Zawsze jest więcej przegranych niż wygranych Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

7. Modelowanie Rynku – Podstawa Agenci mają dostęp do danych historycznych – μ(t) μ(t) – liczba całkowita przyjmująca jedną z P wartości gdzie P = 2M M w tym przypadku to M wartości znaku A(t) Czyli np.: M=2 P=4 Przyjmujemy zapis: P 1 2 3 4 M -- -+ +- ++ Jeżeli w chwili t mamy do czynienia z historią A(t) w postaci +- to P = 3 czyli μ(t)=3 Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

8. Modelowanie Rynku – Podstawa W zależności od wartości μ(t) agenci mogą się różnie zachowywać przez co A(t) zależy także od μ(t) czyli Aμ(t)(t) Pod wpływem informacji μ(t) agenci rozważają prognozy które dla każdego μ(t) sugerują decyzje aμ Jest 2P takich prognozowanych strategii Agenci losują spośród nich S strategii które będą wykorzystywali Decyzje i-tego agenta można przedstawić jako: Gdzie si(t) to jedna spośród strategii S Wygraną można zatem teraz przedstawić jako: gdzie Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

9. Modelowanie Rynku – Podstawa Dla uproszczenia przyjmuje się S=2 (↑,↓) Wprowadzamy nowe zmienne Reakcja agenta i na historie jest zatem wyrażona: A co za tym idzie: Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

10. Modelowanie Rynku – Wypłata wirtualna W celu przewidywania efektywności strategii agent posługuje się tzw. „indeksem wiarygodności” strategii : Indeks ten mówi agentowi jaką wypłatę otrzymałby gdyby cały czas grał daną strategią. U(t) – jest skumulowaną wirtualną wypłatą Agent musi brać jednak pod uwagę że w rzeczywistości grając jedną strategią zmieniło by się A(t) Biorąc pod uwagę wirtualną wypłatę agenci będą posługiwali się najbardziej efektywną strategią czyli tą dla której U(t) będzie największe : Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

11. Modelowanie Rynku – Wypłata wirtualna Której zmienność w czasie: Alternatywnie w celu wyznaczenia najbardziej efektywnej strategii wprowadza się: A najefektywniejsza strategia: Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

12. Modelowanie Rynku – Notacja Średnich Zapis średnich stosowany w dalszej części: Uwzględniając historie czyli także zmienną zależną od czasu: Uśredniając R po historii: Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

13. Modelowanie Rynku – wielkości charakteryzujące stany stacjonarne Wprowadzamy parametr: Wyprowadzamy wariancje: Będzie to całkowita średnia strata wszystkich agentów: Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

14. Modelowanie Rynku – wielkości charakteryzujące stany stacjonarne W modelu standardowym MG średnie A będzie wynosić 0, jednak dla pewnych μ zdarza się: Aby uwzględnić tą asymetrie wprowadzamy: Na tej podstawie możemy napisać że: Dla H>0 gra będzie asymetryczna Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

15. Modelowanie Rynku – wielkości charakteryzujące stany stacjonarne Dla długich szeregów czasowych, wcześniej wprowadzony parametr opisujący efektywność strategii przybiera postać: Gdzie: Jeżeli teraz vi≠0 to agent będzie się trzymać jednej strategii Jeżeli natomiast vi=0 będzie się posługiwał obiema strategiami na zmianę Globalną miarą fluktuacji w wyborze strategii przez agentów jest: gdzie Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

16. Modelowanie Rynku – Spekulanci z zróżnicowanymi strategiami W modelu standardowym MG agenci wybierają strategie losowo i niezależnie. Komplikując model przyjmujemy że dla S=2 agent losuje pierwszą strategie natomiast drugą obarcza kryteriami które uważa za najlepsze. Np. agent może wybrać tylko jedną strategie uważając ją za wystarczającą. W naszym modelu przyjmujemy że każdy agent wybiera drugą strategie stosując zasadę: Gdzie parametr c można określić jako średnią korelację między obiema strategiami Przypadek gdy c=1/2 to standardowy model MG gdy obie strategie są niezależne Gdy c=1 agent po prostu wybrał tylko jedną strategie (faza asymetryczna) Gdy c=0 agent ma dwie przeciwne strategie (faza symetryczna) Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

17. Modelowanie Rynku – Spekulanci z zróżnicowanymi strategiami W zależności od parametru alfa możemy wyznaczyć diagram fazowy Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

18. Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci Agentów dzielimy na dwie grupy: Producenci – agenci posiadający jedną strategie gry, uczestniczą w rynku w celu zabezpieczenia swych inwestycji i nie spekulują na rynku Spekulanci – uczestniczą w rynku aby wygrać jak najwięcej Obie grupy żyją w symbiozie: producenci sprawiają że rynek jest bardziej stabilny, dostarczają informacje na rynek, spekulanci zaś wykorzystują informacje jednak znając reguły gry nie podejmują pochopnych decyzji sprawiając że producenci czują się bezpieczniej. Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

19. Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci W modelu producenci to agenci o jednej strategii, spekulanci normalni agenci MG Producenci mają ustalony wzór zachowania się na rynku przez co obserwując ich spekulanci mogą wykorzystywać te informacje do planowania kolejnych ruchów. W dalszej części przyjmujemy: N spekulantów ρN producentów Rezultat takiej gry możemy zapisać jako: Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

20. Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci Chcemy sprawdzić zyski agentów gdy c≠0 Wprowadzamy: Co pozwala nam wyprowadzić po kilku prostych przekształceniach  średnie zyski producentów i spekulantów: Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

21. Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci Ustalamy N=641 c=0 M=8 S=2 α=0.4 i wykreślamy zysk agentów w zależności od liczby producentów Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

22. Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci Podobnie tworzymy wykresy w zależności od liczby spekulantów: l.prod.=64 c=0 M=8 S=2 l.prod.=256 c=0 M=6 S=2 Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

23. Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci Diagram fazowy zależności α((1+ρ)/(1-c)) Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

24. Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci Diagram fazowy zależności zysku spekulantów w zależności o liczby spekulantów i liczby producentów przy założeniu c=0 Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

25. Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci Średni zysk na agenta w zależności od liczby producentów przy założeniach N=107, M=5, α=0.3, S=2, c=1/2 Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

26. Modelowanie Rynku – Spekulanci i Producenci Średnia ilość spekulantów zależności od liczby producentów przy założeniach N=107, M=5, alfa=0.3, S=2, c=1/2 Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

27. Modelowanie Rynku – Spekulanci, Producenci i „Kupcy szumiący” „Kupcy szumiący” to tacy spekulanci opierający swoje decyzje zamiast na obserwacjach rynku (tak jak spekulanci) na np. astrologii  Ich decyzje podejmowane są całkowici przypadkowo przez co wariancja σ2 wzrasta, czyli ogólne straty wszystkich agentów zwiększają się Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

28. Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani • Rozpatrzymy trzy typy uprzywilejowania agenta: • gdy agent ma do dyspozycji więcej strategii • gdy agent ma większą pamięć M • gdy agent ma dostęp do nielegalnych informacji Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

29. Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani Agent ma do dyspozycji więcej strategii Zakładamy że agent ma S’ strategii S’>S Skupiamy się na fazie asymetrycznej (w fazie symetrycznej nie ma znaczenia ile agent posiada strategii) Wprowadzamy wirtualny zysk dla każdej strategii agenta: Rozkład Gaussa dla tej zmiennej przy średniej 0 będzie miał wariancje: Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

30. Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani Średnia liczba wykorzystywanych strategii w funkcji S’ Średnie i rzeczywiste zyski w funkcji S’ dla H/P = 0.5 Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

31. Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani Średnia liczba wykorzystywanych strategii w funkcji S’ Średnie i rzeczywiste zyski w funkcji S’ dla H/P = 1 Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

32. Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani Agent z większą pamięć niż pozostali agenci M’>M Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

33. Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

34. Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani Agenci z dostępem do nielegalnych informacji Zakładamy że agent b zna znak skumulowanych akcji agentów ze zbioru β Niech B=| β | liczba agentów zbioru β wtedy W zależności od znaku agent posiada dla każdej ze swoich strategii dwie możliwości Jeżeli agent wie ze =+1 wybiera a na tej podstawie wybiera strategie Analogicznie dla =-1 Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

35. Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani Wypłaty agentów szpiegującego i pozostałych N=1001 NB=3 Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

36. Modelowanie Rynku – Agenci uprzywilejowani Wypłaty agenta szpiegującego w zależności od liczby szpiegowanych agentów N=1001 α=0.15 Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .

37. Modelowanie Rynku KONIEC Patryk Bąkowski . . : Modelowanie Mechanizmów Rynkowych za pomocą Gry Mniejszościowej : . .