ROZMYTE BAZY DANYCH

1. ROZMYTE BAZY DANYCH

2. DEFINICJE

3. ZBIORY ROZMYTE Definicja.Niech X oznacza obszar odniesienia (uniwersum). Zbiorem rozmytym A elementów obszaru X o funkcji przynależności A(x) nazywamy zbiór uporządkowanych par: A = {<x, A(x)>, xX, A(x):X [0,1]}

4. ZBIORY ROZMYTE • Elementy należące do A w stopniu niezerowym tworzą nośnik zbioru : supp (A) = {x: A(x) > 0} • Elementy należące w pełni do A tworzą rdzeń zbioru : Ker (A) = {x: A(x) = 1} • Elementy należące do A w stopniu większym lub równym pewnej wartości   [0,1] tworzą  - przekrój zbioru: A= {x: A(x) > }

5. ZBIORY ROZMYTE • Jeśli xX A(x) = 0, to A jest zbiorem pustym. • Maksymalną wartość funkcji przynależności nazywamy wysokością zbioru: hgt (A) = sup xX A(x) • Jeśli hgt (A) = 1, to zbiór nazywamy normalnym. • Sumę wartości funkcji przynależności nazywamy licznością zbioru: card(A) =  xX A(x)

6. OPERACJE MNOGOŚCIOWE Suma: AB(x) = max(A(x), B(x)) Iloczyn: AB(x) = min(A(x), B(x)) Dopełnienie: -A(x) = 1 – A(x) Różnica: A – B(x) = min(A(x), 1 – B(x)) Operacje max i min są często oznaczane przez  i .

7. ZBIORY ROZMYTE Zbiory rozmyte A i B są równe, jeśli xX A(x) = B(x) Zbiór A zawiera się w B, jeśli xX A(x)  B(x)

8. ZBIORY ROZMYTE Równość zbiorów rozmytych A i B można ocenić za pomocą miary bliskości  (A, B). Jedną z miar bliskości jest wysokość iloczynu, czyli:  (A, B) = supx min (A (x), B (x)).

9. Liczba rozmyta (7.8, 8.2, 0.2, 0.2) μ 1 0 7.6 7.8 8.2 8.4 x

10. Liczby rozmyte (7.7, 7.7, 0.2, 0.2) i (7.9, 7.9, 0.2, 0.2) μ 1 0.5 0 7.5 7.7 7.9 8.1 x

11. W logice dwuwartościowej operator implikacji I (implikator) jest odwzorowaniem: {0, 1} {0, 1} {0, 1}. Parze liczb (a, b) należących do {0, 1} odpowiada wartość I (a, b), taka że: I (a, b) = 1, dla a = 0 oraz I (a, b) = 0, dla a =1 ib = 0. Zaproponowano różne wersje rozszerzenia implikacji do postaci [0, 1] [0, 1] [0, 1]. Jednym z nich jest implikator Gödela. IMPLIKATORY

12. Jego definicję można przedstawić formalnie w sposób podobny do zapisu definicji implikacji klasycznej, z tą różnicą, że obie liczby a i b mogą przyjmować dowolne wartości z przedziału [0, 1]: IG (a, b) = 1 dla a  b, IG (a, b) = b dla a > b Implikator Gödela spełnia warunki wynikające z implikacji klasycznej, czyli: IG (0, 0) = 1, IG (0, 1) = 1, IG (1, 1) = 1 oraz IG (1, 0) = 0. IMPLIKATORY

13. Ponadto IG ma następujące własności: a  c  IG (a, b)  IG (c, b) – implikator IG (a, b) jest funkcją nierosnącą a, b  c  IG (a, b)  IG (a, d) – implikator IG (a, b) jest funkcją niemalejącą b, IG (1, b) = b, IG (0, b) = 1, IG (a, 1) = 1, IG (a, IG (b, c)) = IG (b, IG (a, c)), IG (a, b)  min (a, b) IMPLIKATORY

14. Implikatory Inne implikatory: Łukasiewicz I = min(1, 1-a+b) Kleene-Dienes I=max(1-a, b) Mamdani I=min(a,b) Zadeha I = max(1-a, min(a,b))

15. Implikatory • Rozmyty implikator można wykorzystać przy określaniu stopnia zawierania się zbiorów rozmytych,  (A, B), czyli określeniu w jakim stopniu jest prawdziwe twierdzenie: jeśli x  A, to x  B:  (A, B) = infx I (A (x), B (x)) • Zbiory A i B są równe, jeśli A  B i B  A. Mamy więc: • (A, B) = min (infx I (A (x), B (x)), infx I (B (x), A (x))) Przy zastosowaniu implikatora Łukasiewicza otrzymujemy:  (A, B) = infx (1 – A(x) – B (x) ).

16. MODEL ZWIĄZKÓW ENCJI

17. MODEL ZWIĄZKÓW ENCJI M = {E, R, A} E – zbiór typów encji E R – zbiór typów związków R A = {AE, AR} – zbiór atrybutów encji AE i związków AR

18. POZIOMY ROZMYTOŚCI Model związków encji składa się z trzech poziomów. Na każdym z nich może występować konieczność zastosowania zbiorów rozmytych. I – Zbiory E, R, A II – Zbiory wystąpień encji i związków III – Atrybuty

19. POZIOM I i II E= {E(E)/E} R= {R(R)/R} AE = {AE(A)/A} AR = {AR(A)/A} Przyklad E = {1/Pracownik, 1/Projekt, 0.9/Klient} E = {E(e)/e}, R = {R(r)/r} , e – encja, r - związek

20. ZWIĄKI ISA Jeżeli e E2  e E1 , to E2 jest podzbiorem E1, czyli E2  E1  E2(e)  E1(e) Jeżeli E1 , E2 , ... , En są podzbiorami E, to E1  E2  ...  En  E  max(E1(e), E2(e), ... , En(e))  E(e)

21. ZWIĄZKI ISA Jeśli podzbiory E1 , E2 , ... , En są rozłączne, to supp(E1)  supp(E2)  ...  supp(En)= Ø Przynależność częściowa e E(e) > max(E1(e), E2(e), ... , En(e)) = 0 Przynależność całkowita e E(e) > max(E1(e), E2(e), ... , En(e)) > 0

22. ZWIĄZKI ISA Niech A=X będzie warunkiem przynależności do zbioru niższego rzędu. Wtedy E1(e)= E(e)  Truth(A=X), gdzie Truth(A=X) – stopień spełnienia warunku A=X Ponadto E1(e)= E(e)  AE(A)  Truth(A=X)

23. ZWIĄZKI ISA Dziedziczenie wielokrotne F  E1  E2  ...  En F(e)  min(E1(e), E2(e), ... , En(e))

24. DZIEDZICZENIE Zbiór atrybutów zbioru encji Ei składa się ze zbioru atrybutów AE dziedziczonych od zbioru nadrzędnego E i zbioru atrybutów własnych AOi: AEi= AE  AOi AE(A) AEi(A)

25. DZIEDZICZENIE ZWIĄZKÓW R: EF[0,1] <ei, fj, R(i,j)> ei dziedziczy związek między ei oraz fj Stopień przynależności R(i,j)  Truth(p)

26. DZIEDZICZENIE ZWIĄZKÓW STUDENT, STUD_MAG, STUD_INZ STUDENT – PRZEDMIOT <s1, p7, 0,9>, Truth(TYP=MAG) = 0,8 <s1, p7, min (0,9, 0,8)>

27. ZWIĄZKI Definicja związku rozmytego: R={(u, v, ) u  E, v  F,   <0,1>} Uczestnictwo całkowite: e  E e  {u(u, v, )  R,  > 0} Uczestnictwo częściowe e  E e  {u(u, v, )  R,  > 0}

30. PODEJŚCIE PODSTAWOWE

31. TRZY PODEJŚCIA • Podejście podstawowe: wartości atrybutów są precyzyjne, przynależność krotki do relacji jest liczbą z przedziału [0,1] • Podejście oparte na teorii możliwości: wartości atrybutów są podane za pomocą rozkładów możliwości • Podejście oparte na podobieństwie: dla dziedzin atrybutów definiuje się macierz podobieństwa, wartości atrybutów są podzbiorami swoich dziedzin

32. RELACJE ROZMYTE Definicja.Niech X i Yoznaczają obszary odniesienia (uniwersum). Relacją rozmytą R nazywamy zbiór rozmyty na iloczynie kartezjańskim X  Y : R = {<x, y, A(x,y) >, xX, yY, A(x,y): X  Y [0,1]}

33. RELACJE ROZMYTE • Klasyczna relacja jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego dziedzin jej atrybutów D1D2… Dn. Przynależność krotek jest liczbą należącą do zbioru {0,1}. • Relacja rozmyta jest zbiorem rozmytym na D1D2… Dn. Każdej krotce r = (d1 , d2 , ... , dn), gdzie di  Di, przyporządkowano liczbę z przedziału [0, 1] określającą, w jakim stopniu należy ona do relacji lub, inaczej mówiąc, w jakim stopniu są przez nią spełnione warunki integralności. Zbiór {0,1} został zastąpiony przedziałem [0,1].

34. RELACJE ROZMYTE DUŻE_PROJEKTY

35. RELACJE ROZMYTE Wartości funkcji przynależności mogą być zadane z góry lub wynikać z przeprowadzonych operacji. Relacja DUŻE_PROJEKTY mogła powstać w wyniku selekcji wykonanej na relacji PROJEKTY warunkiem rozmytym BUDŻET = ‘DUŻY’.

36. ALGEBRA RELACJI ROZMYTYCH

37. ALGEBRA RELACJI ROZMYTYCH Definicje operacji algebraicznych na rozmytych relacjach są rozszerzeniem operacji klasycznych o sposób obliczania funkcji przynależności.

38. OPERACJE MNOGOŚCIOWE R, S – relacje, r, s, t - krotki Suma: RS(t) = max(R(t), S(t)) Iloczyn: RS(t) = min(R(t), S(t)) Różnica: R-S(t) = min(R(t), 1 – S(t)) Iloczyn kartezjański: RS(r, s) = min(R(r), S(s))

39. OPERACJE RELACYJNE Selekcja: F(R)(r) = min(R(r), F(r)), gdzie F(r) oznacza stopień spełnienia warunku selekcji F Projekcja: X (t) = sup r(X) = t(X)R (r). Złaczenie: R*S (t) = min(R (r), S (s))

40. OPERACJE RELACYJNEPRZYKŁAD PRACOWNICY

41. OPERACJE RELACYJNEPRZYKŁAD Precyzyjny warunek selekcji

42. OPERACJE RELACYJNEPRZYKŁAD Rozmyty warunek selekcji: WIEK = ‘Młody’ Młody 1 0 24 34 WIEK

43. OPERACJE RELACYJNEPRZYKŁAD 1 Rozmyty warunek selekcji: WIEK = ‘Młody’

45. OPERACJE RELACYJNEPRZYKŁAD 2 - PROJEKCJA DUŻE_PROJEKTY

46. OPERACJE RELACYJNEPRZYKŁAD 2 - PROJEKCJA

49. OPERACJE RELACYJNEPRZYKŁAD 3 - ZŁĄCZENIE

50. OPERACJE RELACYJNEPRZYKŁAD 3 - ZŁĄCZENIE