Soustava tří rovnic o třech neznámých

1. Název projektu: Moderní škola Soustava tří rovnic o třech neznámých Mgr. Martin Krajíc 25.4.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Soustava třech rovnic o třech neznámých Základní tvar: ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + kz = l a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l…reálná čísla x,y,z…neznámé

3. Soustava třech rovnic o třech neznámých Soustavu tří rovnic o třech neznámých můžeme řešit několika různými metodami. My se zaměříme na dva postupy: • kombinace dosazovací a sčítací metody • metoda úpravou na trojúhelníkový tvar

4. Soustava třech rovnic o třech neznámých – kombinovaná metoda Postup řešení: • z jedné z rovnic si vyjádříme jednu neznámou • dosadíme za ni do zbylých dvou rovnic • tyto dvě rovnice řešíme sčítací metodou – zjistíme dvě neznámé • třetí neznámou dořešíme dosazením do vyjádřeného tvaru • zkoušku provedeme dosazením výsledků do všech tří rovnic

5. Soustava třech rovnic o třech neznámých – kombinovaná metoda Př: Řešte soustavu rovnic v R: x + 2y – 3z = -8 -3x + y + 2z = 10 2x – 3y + 2z = 5 x = -2y + 3z – 8 -3(-2y + 3z – 8) + y + 2z = 10 2(-2y + 3z – 8) – 3y + 2z = 5 6y – 9z + 24 + y + 2z = 10 -4y + 6z – 16 – 3y + 2z = 5 Z první rovnice si vyjádříme neznámou x. Ve druhé a třetí rovnici dosadíme místo neznámé x vyjádřený trojčlen. Druhou a třetí rovnici dořešíme sčítací metodou.

6. Soustava třech rovnic o třech neznámých – kombinovaná metoda 7y – 7z = -14 -7y + 8z = 21 z = 7 7y – 7.7 = -14 7y = 35 y = 5 x = -2y + 3z – 8 = -2.5 + 3.7 – 8 x = 3 [x ; y ; z] = [3 ; 5 ; 7] Neznámou y dopočteme dosazením čísla 7 za neznámou z do první rovnice. Nyní dosadíme do vyjádření x = -2y + 3z – 8 za neznámé y,z a dopočteme x.

7. Soustava třech rovnic o třech neznámých – trojúhelníková metoda Postup řešení: • první rovnici opíšeme bez změny • k druhé a třetí rovnici přičteme takový násobek první rovnice, aby v obou rovnicích zmizela neznámá x • poté opíšeme první a druhou rovnici bez změny • k třetí rovnici přičteme takový násobek druhé rovnice, aby v ní zmizela neznámá y • v třetí rovnici vznikne rovnice o jedné neznámé – dopočteme • dosazením do druhé rovnice dopočteme druhou neznámou a poté dosazením do první rovnice i poslední neznámou • zkoušku provedeme dosazením výsledků do všech tří rovnic

8. Soustava třech rovnic o třech neznámých – trojúhelníková metoda Př: Řešte soustavu rovnic v R: x + 2y – 3z = -8 -3x + y + 2z = 10 2x – 3y + 2z = 5 x + 2y – 3z = -8 7y – 7z = -14 -7y + 8z = 21 x + 2y – 3z = -8 7y – 7z = -14 z = 7 První rovnici opíšeme. K druhé rovnici přičteme trojnásobek první. Od třetí rovnice odečteme dvojnásobek první. První rovnici opíšeme. Druhou rovnici opíšeme. K třetí rovnici přičteme druhou.

9. Soustava třech rovnic o třech neznámých – trojúhelníková metoda z = 7 7y – 7z = -14 7y – 7.7 = -14 7y = 35 y = 5 x + 2y – 3z = -8 x + 2.5 – 3.7 = -8 x = 3 [x ; y ; z] = [3 ; 5 ; 7] V třetí rovnici nám vyjde jedna z neznámých. Dosadíme do druhé rovnice a dopočteme další neznámou. Na závěr dosadíme do první rovnice a dopočteme poslední neznámou.

10. Soustava třech rovnic o třech neznámých - příklady Př: Řešte soustavy rovnic a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Gabriel Laub:„n + x . 0 = n tato rovnice ukazuje, že nikdy nelze zjistit, kolik ……. se paraziticky přisálo ke každému n.“ 1) x + y – z = 0 2x + y – z = 1 4x + 2y – 3z = 0 a) S = [x ; y ; z] = [1 ; -1 ; 0] b) N = [x ; y ; z] = [1 ; 1 ; 2]

11. Soustava třech rovnic o třech neznámých - příklady 2) x + 2y + 3z = 0 x - y + z = 0 x + y – 2z = 0 a) I = [x ; y ; z] = [1 ; 1 ; -1] b) U = [x ; y ; z] = [0 ; 0 ; 0] 3) 4x - 5y - 2z = 0 -0,2x + 0,6z = 1 x - y - z = -1 a) L = nekonečně mnoho řešení b) T = nemá řešení

12. Soustava třech rovnic o třech neznámých – správné řešení Správné řešení: Gabriel Laub:„n + x . 0 = n tato rovnice ukazuje, že nikdy nelze zjistit, kolik ……. se paraziticky přisálo ke každému n.“ NUL

13. Soustava třech rovnic o třech neznámých Použité zdroje: OZOGÁN, Michal. Citáty slavných. [online]. [cit. 2013-04-25]. Dostupné z: http://citaty.fabulator.cz/autor/laub - gabriel