Vektoren Grundbegriffe für das Information Retrieval

1. VektorenGrundbegriffe für das Information Retrieval Karin Haenelt 13.10.2013

2. Analytische Geometrie und Lineare Algebra Bosch. 2006: 1 • Geometrie: Konstruktionsverfahren mit Zirkel und Lineal • Analytische Geometrie: • Umsetzung geometrischer Fragen in rechnerische Probleme, um durch „Ausrechnen“ zu Lösungen gelangen • 1637 von René Descartes begründet in „La Géométrie“ • Lineare Algebra • fasst einen Großteil der rechnerischen Methoden der Analytischen Geometrie in erweiterter Form zusammen

3. Lineare AlgebraDefinition Vektorraum Artin 1998, 95/96 Definition: ein VektorraumVüber einem Körper Kist eine Menge V mit zwei Verknüpfungen der Form unddie man Addition (+) und Skalarmultiplikation() nennt, und für die folgende Axiome gelten:

4. Lineare AlgebraDefinition Vektorraum Artin 1998, 95/96 • Definition (Fortsetzung) • Bezüglich der Addition bildet Veine Abelsche Gruppe • Abgeschlossenheit v + w∊ V, für alle v,w∊ V • Assoziativität(v+w)+u = v+(w+u) , für alle u,v,w∊ V • Neutrales Element ees gibt ein neutrales Element e:v+e = v, für e∊ V und alle v ∊ V(hier: e ist der Nullvektor ) • Inverses Element i es gibt ein inverses Element i:v + i = i + v = e, für alle v∊ V • Kommutativitätv+w = w+v, für alle v,w∊ V

5. Lineare AlgebraDefinition Vektorraum Artin 1998, 95/96 • Definition (Fortsetzung): • Die Skalarmultiplikation ist assoziativ mit der Multiplikation in K:(ab)v = a(bv) für alle a, b∊ K, v∊ V • Die Skalarmultiplikation mit der reellen Zahl 1 wirkt als identische Abbildung auf V: 1v = v, für alle v∊ V • Es gelten zwei Distributivgesetze(a+b)v = av+bva(v+w) = av + awfür alle a, b∊ K, v,w∊ V und

6. Lineare AlgebraDefinition Vektor Bosch 2006: 26 Definition: Elemente eines Vektorraums werden auch als Vektoren bezeichnet

7. Lineare AlgebraBeispiel eines Vektorraumes: n-facheskartesisches Produkt Bosch 2006: 28 • n-faches kartesisches Produkt: Kn = {(α1, …, αn); αi∊ K für i = 1, …,n} • die Addition Kn⨁Kn Kn werde erklärt durch (α1, …, αn) + (β1, …, βn) = (α1+ β1, …, αn+ βn) • die skalare Multiplikation K⨂Kn Kn werde erklärt durch α(α1, …, αn) = (α α1, …, α αn)

8. Lineare AlgebraDefinitionen und Satz Linearkombination und Basis Hefferon, 2012, 2 Artin, 1998, 97 Artin, 1998, 100 • Definition: Eine lineare Kombination von x1, …, xn hat die Forma1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxnwobeia1, …, an ∊  die Koeffizienten der Kombination sind. • Definition: Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, und sei (v1,…,vn) eine geordnete Menge von Elementen von V. Eine Linearkombination von (v1,…,vn) ist ein Vektor der Formw = c1v1 + c2v2 + …+cnvn, ci∊ K • Satz: eine Menge B = (v1,…,vn) ist genau dann eine Basis, wenn jeder Vektor w∊ V auf eindeutige Weise als Linearkombination von B geschrieben werden kann

9. GeometrieVektoren in der mehrdimensionalen Geometrie Bosch, 2006:51 • Reeller n-dimensionaler Raum • 1eindimensionaler Raum, Zahlengerade • 2zweidimensionaler Raum, Ebene • 3 dreidimensionaler Raum • nn-dimensionaler Raum • geometrische Auffassung eines Vektorraumes, Beispiel 2 • 2 (Menge aller Paare reeller Zahlen) als Modell einer Ebene E auffassen, indem man in E einen Nullpunkt und ein Koordinatensystem mit den Achsen x und y auszeichnet • einem Punkt P∊ E ordnet man das Paar (x1,y1) ∊ 2 zu

10. GeometrieVektor Hefferon, 2012, 34 • Eine Vektor ist ein Objekt, das eine Größe und eine Richtung hat. • Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Größe und die gleiche Richtung haben • beschreibt den „eins nach rechts, zwei nach oben“-Vektor • im Raum 2 • wenn der Vektor in kanonischer Position ist (beginnend am Punkt (0,0) des Koordinatensystems), erstreckt er sich bis zum Endpunkt (1,2) des Koordinatensystems

11. az z a ay y ax KurzfassungBasis, Komponentendarstellung, Dimension Linearkombination: Summe von Vielfachender kombinierten Elemente Eine Basis eines Vektorraumes ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt(Beispiel: kartesisches Basissystem: drei Vektoren vom Größenwert 1, die senkrecht aufeinander stehen) Eine Komponentendarstellungeines Vektors ist die Darstellung eines Vektors durch Komponenten der Basis Komponenten eines Vektors sind die senkrechten Projektionen auf die Basis Dimension eines Vektors ist die Anzahl der benötigten Komponenten

12. az z a ay y ax Darstellung von Vektoren Linearkombination Komponentendarstellung

13. y x a c a b Länge bzw. Betrag eines Vektors „Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypothenuse“ Betrag = „Länge des Pfeils“ Satz des Pythagoras

14. b a a Skalarprodukt: Geometrische Deutung Skalarprodukt: - Multiplikation der Beträge zweier Vektoren unter Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit der Vektoren - ergibt eine skalare Größe

15. Skalarprodukt: Komponentendarstellung (Weltner, 1999, 41) Skalares Produkt der Einheitsvektoren (hier: ex und ey) Herleitung

16. Skalarprodukt: Beispiel (Weltner, 1999, 42)

17. Literatur Michael Artin (1998). Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A‘Campo. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser Verlag. Siegfried Bosch (2006). Lineare Algebra. Heidelberg: Springer Verlag. Jim Hefferon(2012). Linear Algebra. 29.2.2012. http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra Klaus Weltner(1999). Mathematik für Physiker. Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik. Wiesbaden: Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH. 11. Aufl. 1999