Základní postuláty STR

1. Základní postuláty STR Albert Einstein 1879 - 1955 Hendrik Antoon Lorentz 1853-1928 Princip relativity : Ve všech inerciálních vztažných soustavách platí stejné fyzikální zákony. Princip stálé rychlosti světla : Ve všech inerciálních vztažných soustavách má rychlost světla ve vakuu stejnou velikost, a to nezávisle na pohybu zdroje. Rychlost světla v libovolné inerciální soustavě je ve všech směrech stejná. Speciální teorie relativity vychází ze dvou základních Einsteinových postulátů. Z prin-cipu stálé rychlosti světla lze odvodit Lorent-zovy transformace. V rámci projektu „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (vladimir.pospisil@fjfi.cvut.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci GNU GPL (www.gnu.org).

2. Vzdálenosti v teorii relativity V newtonovské mechanice je vzdálenost dvou bodů invariantní veličina – nemění se při přechodu z jedné soustavy do druhé. V STR tomu tak není – již známe efekt kontrakce délek. Definujeme-li vzdálenost dvou bodů klasicky jako získáme něco, co bude záviset na volně vztažné soustavy. Známe ovšem nějaký jiný vztah, který se při přechodu mezi vztažnými soustavami v STR nemění? Správně, je to Můžeme tedy definovat jinou veličinu, podobnou délce, která bude relativisticky (Lorentzovsky) invariantní, a to Veličina s je nazývá relativistický interval, má rozměr délky a nemění se při přechodu mezi vztažnými soustavami.

3. Vlastnosti relativistického intervalu Kvadrát délky vektoru v R3 můžeme získat pomocí skalárního součinu vektoru sama se sebou: Relativistický interval ovšem na první pohled skalárním součinem není. Na druhý pohled (a kratší zamyšlení) zjistíme, že to možné je, pokud si správně nadefinujeme polohový vektor. Tj., skalární součin jakého vektoru sama se sebou dá výraz Správně, je to vektor Provedeme-li skalární součin vektoru x sama se sebou, získáme V STR lze tedy zavést čtyřrozměrný polohový vektor, kde ovšem první složka bude ryze imaginární a bude vyjadřovat čas jako čtvrtý rozměr. S komplexními čísly jsme sice obeznámeni, ale nejsou nám příliš blízká. Zkusíme se jim tedy raději vyhnout a zavést vektor nějakým způsobem reálně – to ovšem znamená, že si musíme upravit algebru .

4. Algebra v STR kovariantní vektor kontravariantní vektor invariant čtyřvektoru Abychom získali reálný polohový vektor s invariantním kvadrátem, musíme si trochu poupravit pojem skalárního součinu. Vektor zůstane čtyřrozměrný (a bude se nazývat čtyřvektor), nicméně z jednoho vektoru uděláme dvě varianty : Skalární součin si pak předefinujeme a přejmenujeme jako Invariant můžeme vytvořit pro libovolný čtyřvektor (čtyřrychlost, čtyřhybnost, čtyřsíla) a tento vždy bude invariantní – zůstane stejný ve všech vztažných soustavách.

5. Algebra v STR Einsteinovo sumační pravidlo Abychom neustále nemuseli vypisovat sumu (a součtů přes všechny čtyři souřadnice je v STR požehnaně), zavedl Einstein zjednodušení : Pravidlo říká, že v každém součinovém výrazu sčítáme přes stejné řecké indexy, které jsou nahoře i dole (kontravariantní i kovariantní vektor). Tedy například Výraz gμν v posledním příkladu je matice 4x4.

6. Algebra v STR Za výše uvedených pravidel si můžeme elegantněji zapsat i samotné Lorentzovy transformace : Zadefinujme si symboly pro relativistické členy a Lorentzovy transformace zapišme jako Toto je transformace vektoru xμ1 na xμ2 ve vektorovém prostoru R4, což je ale operátor! Najděme jeho matici.

7. Algebra v STR Matici operátoru (ve standardních bázi) snadno najdeme, dosadíme-li za x1 postupně e1, … e4 a výsledné souřadnice sepíšeme do sloupců. Označme Lorentzovu transformaci písmenem L a potom a výsledná matice bude Toto je Lorentzova transformace v maticovém zápisu. Transformaci můžeme aplikovat na libovolný čtyřvektor vynásobením matice a čtyřvektoru. Za použití Einsteinova sumačního pravidla to bude vypadat takto :

8. Minkowského časoprostor Prostor R4 kovariantních vektorů Prostor R4 kontravariantních vektorů Na základě předchozích úvah si teď můžeme zavést vektorový prostor pro STR: Minkowského časoprostor (prostoročas) Invariant čtyřvektoru Metrický tenzor převádějící kovariantní čtyřvektory na kontravariantní a naopak : Lorentzova transformace - ortogonální operátor (det L = 1) na obou součástech Minkowského časoprostoru. Matice mohou vypadat i jinak (různé směry rychlosti pohybu soustav, zůstává však ortogonální.

9. Čtyřrychlost Podívejme se, jak vypadají v STR základní vektorové veličiny. Zavés čtyřrychlost vztahem je sice relativně přirozené, ale je nutné dát pozor na to, že čas není v STR invariantní. Je tedy nutné vždy derivovat podle vnitřního času částice (soustavy). Víme, že a proto Spočítáme-li invariant, vyjde V posledním kroku jsme předpokládali, že soustava s rychlostí V je ztotožněna s částicí, jejíž rychlost zkoumáme. Pro v << c přechází čtyřrychlost na

10. Čtyřzrychlení Pozn. : pokud se vám nezdá, že by mělo platit pak uvažte, že v STR se vždy bavíme o rovno-měrném přímočarém pohybu. Stejně lze definovat čtyřzrychlení. Výpočet je pracný a dlouhý, protože nyní je třeba derivovat i člen γ. Tedy jen výsledek: Spočítáme-li invariant, vyjde Dá se rovněž ukázat (za pomocí časové derivace invariantu), že čtyřrychlost a čtyřzrychlení jsou na sebe vždy „čtyřkolmé“ – jejich skalární součin je nulový. Pro v << c přechází čtyřzrychlení na

11. Čtyřsíla Mnohem zajímavější je ovšem definice čtyřsíly. Jelikož Newtonův zákon síly vypadá takto : udělejme to stejně i v STR : Veličinu m0 nazýváme klidovou hmotností – tedy hmotnost tělesa, kterou naměříme v jeho klidové soustavě. Podívejme se na jednotlivé složky čtyřsíly:

12. Čtyřsíla Na tento člen se můžeme dívat jako na i-tou složku klasické síly. Pro v << c je člen ve jmenovateli 1 a pak dojdeme opravdu ke klasické Newtonově definici. Tedy Pro ozřejmení prvního členu využijeme faktu, že m0 je invariantní a čtyřrychlost a čtyřzrychlení jsou na sebe kolmé. Tedy Zjevně i čtyřsíla a čtyřrychlost jsou na sebe kolmé.

13. Čtyřsíla Dosaďme za Ki a v již vypočítané složky : Vyjádříme-li z rovnice K0, získáme Celá čtyřsíla tedy vypadá takto : Její nultá složka (až na konstantu 1/c) má zjevně význam výkonu standardní síly.

14. Relativistická změna hmotnosti m m0 c v Z definice čtyřsíly ale plynou závažné důsledky. Předně jsme byli nuceni poopravit Newtonův zákon síly na Veličinu m nazveme relativistickou hmotností tělesa. Tato veličina není invariantní a závisí na tom, ze které soustavy těleso sledujeme. Se vzrůstající rychlostí bude hmotnost tělesa rovněž vzrůstat a při rychlostech blízkých c neomezeně poroste. Dá se rovněž ukázat, že pohybové rovnice se v STR změní na Jinými slovy – čím je těleso rychlejší, tím obtížnější je dále jej urychlovat (neboť roste jeho hmotnost). Toto je také důvod, proč žádný hmotný objekt (m0 > 0) nemůže dosáhnout rychlosti světla.

15. Velikost relativistických efektů v [ms-1] % chůze 1 5.6 x 10-16 jízda autem 27.8 4.3 x 10-13 let boeingem 280 4.3 x 10-11 1. kosmická 7 912 3.5 x 10-8 2. kosmická 11 180 6.9 x 10-8 3. kosmická 16 600 1.5 x 10-7 oběh Země 42 100 9.8 x 10-7 0.1 x C 3 x 107 0.5 0.5 x C v [c] 1.5 x 108 15.47 0.9 x C 2.7 x 108 129.42 0.95 x C 2.85 x 108 220.26 0.99 x C 2.85 x 108 608.88 Při nízkých rychlostech jsou relativistické efekty velmi malé – při běžných rychlostech neměřitelné. Pro zajímavost je zde tabulka ná-růstu hmotnosti tělesa při běžných, středních a vysokých rychlostech.

16. Světelný kužel a princip kauzality čas přímka x = ct prostor Existence mezní rychlosti (c) má důsledky na princip kauzality. Události se mohou navzájem ovlivnit jen v tom případě, že si vymění nějaký signál – a ten nemůže letět rychleji než světlo. Vyznačíme-li si graf, kde v počátku je pozorovatel, na svislé ose čas a na vodorovné ose prostor, získáme tzv. světelný kužel – prostor ohraničený přímkami danými mezní rychlostí x = ± c.t . Od pozorovatele se žádná informace nemůže dostat vně kuželu nad osou, a naopak pouze signály z vnitřku kuželu pod osou můžou ovlivnit pozorovatele. Tedy : Příčina jakékoliv události leží v jejím minulém světelném kuželu. Následek jakékoliv události leží v jejím budoucím světelném kuželu. Cokoliv, co se nyní děje na druhém konci galaxie nás nemůže ovlivnit dříve, než světlo dorazí odtamtud k nám. Exploduje-li slunce, zůstaneme v blažené nevědomosti ještě dalších osm minut…

17. Světelný kužel a princip kauzality Dráha každého hmotného objektu musí vždy ležet uvnitř jeho vlastního světelného kužele, a to v libovolném bodě. Sklon trajektorie na obrázku tedy nikde nesmí být větší než sklon povrchu kužele. Červená dráha na obrázku je zakázána, světle modrá povolena. Trajektorie v prostoročase se někdy nazývají světločáry. Aby se dvě události mohly ovlivnit, musí platit, že čas prostor Pokud pro dvě události platí, že nemají spolu žádnou souvislost.

18. Ekvivalence hmoty a energie Nyní prozkoumejme vztah pro K0 : Víme, že skalární součin je výkon, tedy změna energie za čas. Tedy Známý Einsteinův vzorec, který tvrdí, že hmota a energie jsou dvě jména pro jednu a tu samou věc, získáme integrací a položením integrační konstant rovné nule.

19. Kinetická energie v STR Vztah E = mc2 se týká celkové energie. Převedeme-li m na klidovou hmotnost, získáme což nám o složkách energie samo o sobě mnoho neřekne – jen to, že při v->c energie neomezeně roste. Vztah ale můžeme rozložit do Taylorovy řady v proměnné v2/c2. Tedy Ve výrazu se zjevně vyskytuje tzv. klidová energie E = m0c2, dále klasická kinetická energie a potom ještě nějaký zbytek, který je pro nízké rychlosti nesmírně malý. Zanedbáme-li jej, pak máme kinetická energie pro volnou částici v nulovém potenciálu klidová energie Relativistickou kinetickou energii pak můžeme obecně zavést vztahem

20. Čtyřhybnost Prozkoumejme vlastnosti ještě jednoho čtyř vektoru, a to čtyřhybnosti. Definujeme ji pomocí a platí Pro složky čtyřhybnosti tedy platí Invariant čtyřhybnosti tedy je a zároveň platí . Odtud plyne výraz což je spolu s E=mc2 jeden z nejpoužívanějších vztahů v jaderné a částicové fyzice.

21. Paradox dvojčat Je spočítáno a experimentálně prokázáno, že během kosmické cesty, probíhající vysokou rychlostí, běží čas jinak. Po návratu na Zemi jsou kosmonauti mladší, než jejich vrstevníci, kteří zůstali doma. Tento jev zjevně souvisí s dilatací času, ale na první zamyšlení je velice paradoxní. Proč?

22. Paradox dvojčat Proberme nejprve pohled pozorovatele, který zůstává na Zemi. Z jeho pohledu se kosmická loď nejprve vzdaluje vysokou rychlostí v, a pro čas na její palubě platí kde t0 je čas na palubě rakety a t čas na Zemi. Na konci cesty se loď obrátí a vyrazí zpět opět rychlostí v. Pro pozorovatele na Zemi platí stejný vztah. Po návratu pak bude rozdíl v časech pozorovatele T = 2t a kosmonautů činit Pro v->c se poslední člen blíží jedné a časový rozdíl bude téměř roven celému času, který uplynul na Zemi. Naopak pro v << c je poslední člen téměř nula a rozdíl časů také. Z pohledu pozorovatele na Zemi tedy kosmonaut opravdu zestárne podstatně méně.

23. Paradox dvojčat Nyní se zamysleme nad tím, co vidí kosmonaut. Z jeho pohledu se nejprve Země vzdaluje rychlostí v, a pak se toutéž rychlostí přibližuje. To znamená, že dle dilatace času by měla nastat situace přesně obrácená – zestárnout by měl kosmonaut a ne dvojče na Zemi! Jejich vzájemný věk ale po přistání přestává být relativní a dá se snadno porovnat. Nemůže být jeden zároveň starší i mladší než druhý! Kde je problém? ? Správně – klíčem je zde věta „raketa se otočí“. Otočit raketu totiž znamená zrychlovat a soustava tak přestává být inerciální. Spokojíme se ale s tvrzením, že v neinerciální soustavě STR neplatí a šmytec? Nemůžeme jev vysvětlit i v rámci STR?

24. Paradox dvojčat v v Podívejme se na situaci, která je v zásadě stejná, ale zrychlení v ní nefiguruje. Dvoje hodinky letí proti sobě rychlostí v tak, aby se minuly se Zemí i mezi sebou a mohly si předávat čas. a) První hodinky synchronizují čas se Zemí b) Druhé hodinky synchronizují čas s prvními c) Druhé hodinky porovnávají svůj čas se Zemí Zde žádné zrychlení není – a paradox je zpět. Takže znovu – kde je problém?

25. Paradox dvojčat Zakresleme si do grafu celou situaci. Stejně jako při konstrukci světelného kuželu je na vodorovné ose vzdálenost a na svislé čas. Zakresleme dráhu rakety s kosmonautem a dívejme se jeho očima. Díky dilataci času se současnost na zemi „opožďuje“ – čas na Zemi jde pomaleji a zeměplazi opravdu stárnou méně. ct Země dráha mé rakety na cestě zpět Raketa dosáhne bodu obrátky (C), což na zemi odpovídá události A. B Wow! Co se to přihodilo? V okamžiku obrátky čas na Zemi udělal obrovský skok kupředu! Jak je to možné? Při obrátce raketa změnila soustavu – ta, ve které je nyní, je díky opačné rychlosti symetrická s původní, počátkem je ale opět setkání se zemí, které teď leží v budoucnosti, nikoliv v minulosti. Výsledek je ten, že přímky spojující současnost změní sklon. Místo události A teď obrátce odpovídá bod B. C A dráha mé rakety na cestě tam tečkované čáry spojují současné okamžiky v raketě a na Zemi dráha Země Po dobu cesty zpět pozemšťané opět stárnou pomaleji, ale díky tomu skoku budou ve výsledku starší. x Země

26. Paradox dvojčat vzdálenost viděna ze Země čas na Zemi vzdálenost viděna z rakety čas v raketě časový „deficit“ Čas na Zemi viděný z rakety Označme si následující veličiny : ct Země Zjevně platí, že Musíme tedy dopočítat t1 a τ v závislosti na tR, abychom mohli časy tZ a tR srovnat. Čas t1 je jasný – díky dilataci času platí osa x Země

27. Paradox dvojčat Směrnice fialových tečkovaných čar je ct Země což lze snadno ukázat z Lorentzových transformací. Na přímce leží události, které jsou z pohledu kosmonauta v raketě současné – označme dvě z nich souřad-nicemi Pro odpovídající souřadnice na Zemi platí Oba výrazy jsou si rovny a v soustavě Země tedy platí osa x Země

28. Paradox dvojčat Vzdálenost od Země si vyjádříme jako ct Země a pak už jen tuto délku vynásobíme směrnicí: Dosadíme do a dořešíme jako rovnici Odtud opět získáme osa x Země

29. Paradox dvojčat ct Země B Po důkladnějším prozkoumáním jsme zjistili, že na problému nic paradoxního není a nemá důvod nefungovat. Pokud bychom se chtěli zabývat i zrychlující raketou, bylo by opravdu nutné nasadit aparát Obecné teorie relativity. Pro srovnání je vlevo zobrazen stejný graf, jaký jsme používali pro řešení problému, ale se zrychleným pohybem v obrátce. dráha rakety A tečkované čáry spojují současné okamžiky v raketě a na Zemi dráha Země x Země

30. Deformace obrazu Díky konečné rychlosti šíření světla spolu s kontrakcemi délky by pohled z relativisticky se pohybujícího vozidla byl velmi zajímavý.

31. Deformace obrazu Fotografie v v Podívejme se nejprve na to, jaký efekt udělá konečná rychlost světelného signálu. Fotografujme dva rychle letící míčky, které jsou z pohledu fotoaparátu v zákrytu. Závěrku otevřeme na velmi krátkou dobu tak, že světlo z bližšího míčku dopadne do objektivu v okamžiku největšího přiblížení. Vzdálenější míček je sice také na kolmici, ale světlo od něj do objektivu ještě nedorazilo! Uvidíme jej v pozici ve které byl před dobou t – což je doba, jakou světlo potřebuje k překonání vzdálenosti a. Tento efekt ovšem nijak nesouvisí z relativitou – funguje i v Newtonovské mechanice.

32. Deformace obrazu Zkusme takto vyfotografovat relativistickou krychli. Pro jednoduchost ji zobrazujme na velkou fotografickou desku s kolmou projekcí. v.t D C a0 = ct a0 A B Na desce uvidíme Půdorys v.t D C a0 = ct a0 a0 A B Na desce uvidíme krychli otočenou o úhel φ Půdorys s kontrakcí

33. Deformace obrazu http://www.invisiblemoose.org/site_material/Seeing_Relativity/relativity.html http://www.invisiblemoose.org/site_material/Seeing_Relativity/Seeing_Relativity_1disc/html/support_material/original.html

34. Shrnutí • Relativistický invariant • Algebra v STR • Minkowského časoprostor • Čtyřrychlost a čtyřzrychlení • Čtyřsíla • Relativistická hmotnost • Velikost relativistických efektů • Princip kauzality • Ekvivalence energie a hmoty, kinetická energie v STR • Čtyřhybnost a její invariant • Paradox dvojčat • Relativistické zobrazování