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MATEMÁTICA FINANCEIRA

MATEMÁTICA FINANCEIRA. PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA. Taxa de Juros.

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  1. MATEMÁTICA FINANCEIRA PROF.MSC.ROBSON ANTONIO TAVARES COSTA

  2. Taxa de Juros Uma taxa de juros, ou taxa de crescimento do capital, é a taxa de lucratividade recebida num investimento. De uma forma geral, é apresentada em bases anuais, podendo também ser utilizada em bases semestrais, trimestrais, mensais ou diárias, e representa o percentual de ganho realizado na aplicação do capital em algum empreendimento.

  3. Taxa de Juros Por exemplo, uma taxa de juros de 20% ao ano indica que para cada unidade monetária aplicada, um adicional de R$ 0,20 deve ser retornado após um ano, como remuneração pelo uso daquele capital. A taxa de juros também pode ser definida como a razão entre os juros, cobrável ou pagável, no fim de um período de tempo e o dinheiro devido no início do período. Usualmente, utiliza-se o conceito de taxa de juros quando se paga por um empréstimo, e taxa de retorno quando se recebe pelo capital emprestado.

  4. Taxa de Juros Portanto, pode-se definir o juro como o preço pago pela utilização temporária do capital alheio, ou seja, é o aluguel pago pela obtenção de um dinheiro emprestado ou, mais amplamente, é o retorno obtido pelo investimento produtivo do capital.

  5. Taxa de Juros Qual a taxa de juros cobrada por um empréstimo de R$420,00 a ser resgatado por R$570,00 ao final de 2 anos? Se um capital de R$1.000,00 foi investido a uma taxa de juros de 3% ao mês qual o valor que o cliente resgatou em um ano de investimento? Se um cliente aplicou R$2.000,00 em um ano e meio de investimento a uma taxa de juros de 2% ao mês qual foi o montante resgatado? Com o capital de R$800,00 a uma taxa de 4% ao mês em três anos quanto eu resgataria de juros?

  6. Taxa de Juros Risco -grau de incerteza de pagamento da dívida, de acordo, por exemplo, com os antecedentes do cliente e sua saúde financeira; Custos Administrativos - custos correspondentes aos levantamentos cadastrais, pessoal, administração e outros;

  7. Taxa de Juros Lucro -parte compensatória pela não aplicação do capital em outras oportunidades do mercado, podendo, ainda, ser definido como o ganho líquido efetivo; Expectativas Inflacionárias - em economias estáveis, com inflação anual baixa, é a parte que atua como proteção para as possíveis perdas do poder aquisitivo da moeda.

  8. Taxa de Juros O Valor do Dinheiro no Tempo: O conceito do valor do dinheiro no tempo surge da relação entre juro e tempo, porque o dinheiro pode ser remunerado por certa taxa de juros num investimento, por um período de tempo, sendo importante o reconhecimento de que uma unidade monetária recebida no futuro não tem o mesmo valor que uma unidade monetária disponível no presente.

  9. Taxa de Juros i - taxa de juros para determinado período, expressa em percentagem e utilizada nos cálculos na forma unitária. Ex.: rendimento de dez por cento ao ano i = 0,10 ou 10 % a.a. n - número de períodos de capitalização. Ex.: aplicação de um capital por 5 meses n = 5

  10. Taxa de Juros J - juros produzidos ou pagos numa operação financeira. Ex.: um capital de R$ 5.000 rendeu R$ 300 ao final de 1 ano; J = 300,00. VF - valor situado num momento futuro em relação à P, ou seja, daqui a n períodos, a uma taxa de juros i, denominado Montante ou Valor Futuro. Na HP-12C representada por FV. Ex.: uma aplicação de R$ 15.000, feita hoje, corresponderá a R$ 19.000 daqui a n períodos, a uma taxa de juros i; VF = 19.000.

  11. Taxa de Juros R - valor de cada parcela periódica de uma série uniforme, podendo ser parcelas anuais, trimestrais, mensais etc. Na HP-12C representada por PMT. Ex.: R$ 5.000 aplicados mensalmente numa caderneta de poupança produzirão um montante de R$ 34.000 ao fim de n meses; R = 5.000

  12. Diagrama do Fluxo de Caixa É uma representação que se usa nos problemas financeiros em que se indica o fluxo (entradas e saídas) de dinheiro no tempo. Entrada de recursos (+) Linha do tempo 0 1 2 3 4 Meses de aplicação Saída de recursos (-)

  13. Diagrama do Fluxo de Caixa

  14. Diagrama do Fluxo de Caixa Qual a taxa de juros cobrada por um empréstimo de R$420,00 a ser resgatado por R$570,00 ao final de 5 meses? Se um capital de R$1.000,00 foi investido a uma taxa de juros de 3% ao mês qual o valor que o cliente resgatou em três meses de investimento? Se um cliente aplicou R$2.000,00 em seis meses de investimento a uma taxa de juros de 2% ao mês qual foi o montante resgatado? Com o capital de R$800,00 a uma taxa de 4% ao mês em oito meses quanto eu resgataria de juros?

  15. Tipos de Formação de Juros Juros Simples No regime de capitalização a juros simples, somente o capital inicial, também conhecido como principal (VP), rende juros é diretamente proporcional ao tempo de aplicação. Assim, o total dos juros (J) resultante da aplicação de um capital por um determinado período n, a uma taxa de juros dada, será calculado pela fórmula: J = VP.i.n

  16. Juros Simples A taxa de juros deverá estar na mesma unidade de tempo do período de aplicação, ou seja, para um período de n anos, a taxa será anual. Logo, pode-se calcular o total conseguido ao final do período, ou seja, o montante VF, através da soma do capital inicial aplicado com o juro gerado. O montante pode ser expresso, para este caso, por: VF = VP + J ou VF = VP (1 + i.n)

  17. Juros Simples VF = VP + J ou VF = VP (1 + i.n)

  18. Juros Simples Variações da Equação básica: J = VP.i.n i= J/VP.n VP= J/i.n n= J/VP.i

  19. Juros Simples Situação Problema 1. Um capital de $ 10.000,00 foi aplicado por cinco meses, a juros simples. Calcule o valor a ser resgatado no final deste período à taxa de 4 % a.m. Dados: VP = 10.000 n = 5 meses i = 4% ao mês

  20. Juros Simples Valor resgatado são o capital mais os juros do período, ou seja, o montante. Primeiramente podemos calcular os juros: J = VP.i.n => J = 10.000 x5 x0,04 = $ 2.000,00 Como VF = J + VP, o valor resgatado será: VF = 2.000 + 10.000 = $ 12.000,00

  21. Equivalência de Taxas Duas taxas de juros são equivalentes se: • aplicadas ao mesmo capital; • pelo mesmo intervalo de tempo. Ambas produzem o mesmo juro ou montante. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes, ou seja, uma taxa de 12% ao ano é equivalente a 1% ao mês.

  22. Equivalência de Taxas Situação Problema 3. Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes.

  23. Equivalência de Taxas Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de dois anos, teremos o juro de: J1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00 Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por dois anos, teremos um juro igual a: J2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00 Constatamos que o juro gerado é igual nas duas hipóteses, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.

  24. Períodos não Inteiros Quando o prazo de aplicação não é um número inteiro de períodos a que se refere à taxa de juros, faz-se o seguinte: I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de períodos. II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente. O juro total é a soma do juro referente à parte inteira com o juro da parte fracionária.

  25. Situação Problema 4. Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ?

  26. Resolução: Sabemos que em 5 anos e 9 meses são iguais a 5 x 12 meses + 9 meses = 69 meses Cada semestre tem seis meses totalizando = 11,5 semestres Ou seja, em 5 anos e 9 meses é igual a 11 semestres e 3 meses, ou 11,5 semestres. a) Cálculo do juro: J= 1000 x 0,12 x 11,5 = $ 1.380,00

  27. Exercício de Juros Simples e taxas equivalentes

  28. Exercício de Juros Simples

  29. Exercício de Juros Simples

  30. Exercício de Juros Simples

  31. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA CAPITALIZAÇÁO COMPOSTA: MONTANTE E VALOR ATUAL PARA PAGAMENTO ÚNICO: Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo.

  32. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA A simbologia usada será VF para valor futuro ou montante, VP para valor presente ou capital inicial, n para o prazo ou período de capitalização e i para a taxa. A dedução da equação para calcular o montante para um único pagamento é pouco mais complexa que a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, vamos admitir o seguinte problema:

  33. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Calcular o montante de um capital de $ 1.000,00, aplicado á taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Dados: VP = 1.000,00 n = 5 meses i = 4% ao mês = 0,04 VF = ?

  34. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

  35. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA • Algebricamente podemos deduzir que: • VF0 = VP =>montante no momento zero (hoje). • Temos que Montante é Capital mais juros => VF = VP + VP.i, então: VF1 = VP + VP x i = VP(1+i) => montante no final do primeiro período; VF2 = VP(1+i) + VP(1+i) x i = VP(1+i)(1+i) = VP(1 + i)2 VF3 = VP(1 + i)2+ VP(1 + i)2 xi = VP(1 + i)2 (1+i) = VP(1 + i)3 VF4 = VP(1 + i)3 + VP(1 + i)3 x i= VP(1 + i)3 (1+i) = VP(1 + i)4

  36. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA • VFn = VP(1 + i)n + VP(1 + i)nx i = VP(1 + i)n(1+i) = VP(1 + i)n • Para simplificar vamos fazer VFn = VF. Assim, a fórmula final do montante é dada pela equação: • VF = VP(1+i)n No exercício anterior podemos fazer: VF= 1.000 (1+0,04 )5 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente.

  37. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Situação Problema: 1. Calcular o montante de uma aplicação de $ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, á taxa de 3% ao mês. Dados: VP = 15.000,00 n = 6 meses i = 3% ao mês =0,03 VF=? Solução: VF = P(1+i)n VF =15000(1+0,03)6 = $ 17.910,78

  38. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA Cálculo do Juro • Para calcular somente o juro, temos que: • J = VF – VP => J = VP(1+i)n – VP resultando: • J = VP[(1+i) n -1] Situação Problema 2. Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses? Dados: VP = 1.000 i = 2% a .m. n = 10 meses Solução: J = VP[(1+i)n-1] J = 1000[(1+0,02)-1] = $ 218,99

  39. Exercício de Juros Composto

  40. Exercício de Juros Composto

  41. Equivalência de Taxas – Juro Composto Duas taxas de juros são equivalentes se: • aplicadas ao mesmo capital; • pelo mesmo intervalo de tempo. Ambas produzem o mesmo juro ou montante. No regime de juros composto, as taxas de juros não são proporcionais, ou seja, uma taxa de 12% ao ano não é equivalente a 1% ao mês.

  42. Equivalência de Taxas – Juro Composto Partido deste principio, se tomarmos um capital inicial VP e aplicarmos a juro composto no período de um ano teremos VF = VP(1+ ia) aplicando o mesmo capital inicial no mesmo período mas capitalizado mensalmente temos VF = VP(1+ im)12 Para que as taxas sejam equivalentes os montantes terão que ser iguais, assim: VP(1 + ia) = VP(1 + im)12

  43. Equivalência de Taxas – Juro Composto Da igualdade acima, deduz-se que: (1+ia) = (1+ im)12 Para determinar a taxa anual, conhecida a taxa mensal. ia = (1+ im)12 -1 Para determinar a taxa mensal, quando se conhece a anual. In= 12√ (1+ia) -1=(1+ia)1/12 -1 Da mesma forma, dada uma taxa mensal ou anual, determina-se à taxa diária e vice-versa.

  44. Equivalência de Taxas – Juro Composto Exemplos: 1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês: ia = (1 + im)12 – 1 = (1,02)12 - 1 = 1,2682 - 1 = 0,2682 ou 26,82% 2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano: im = (1 + ia)1/12 –1 = (1,60103)1/2–1 = 1,04 - 1 ou 4% ao mês 3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia: ia = (1 + id)360 - 1 = (1,0019442)360 - 1 = 2,0122 – 1 = 1,0122 ou 101,22% ao ano

  45. Equivalência de Taxas – Juro Composto Exemplos: 4) Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos: it = (1 + i2a)1/8 - 1 = (1,47746 )1/8 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05 = 5% ao trimestre 5) Determinar a taxa anual equivalente a 1% á quinzena: ia = (1 + iq)24 - 1 = (1,01)24 - 1 = 1,2697 - 1 = 0,2697 = 26,97% ao ano

  46. Equivalência de Taxas – Juro Composto • Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas que se quer são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja: • Iq=(1+it)q/t-1 Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue: iq = taxa para o prazo que eu quero it= taxa para o prazo que eu tenho q = prazo que eu quero t = prazo que eu tenho

  47. Equivalência de Taxas – Juro Composto Exemplos: 6) Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano: i183 = (1 + 0,65)183/360 – 1 = 28,99% 7) Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês: i491 = (1 + 0,05)491/30 – 1 = 122,23% 8) Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre: i27 = (1 + 0,13)27/90 – 1 = 3,73%

  48. Taxa nominal de juros – incorpora as expectativas de inflação. • Não confundir: taxa nominal de juros, que mede o resultado de uma operação em valor corrente, com taxa nominal (linear) que indica a capitalização dos juros na forma proporcional (juros simples). • A taxa nominal de juros tem uma parte devida à inflação, e outra definida como legítima, real, que reflete os juros reais pagos ou recebidos. • Em matemática financeira, o termo real, indica valores livre de efeitos inflacionários.

  49. Um investidor aplicou $100.000 e obteve ao final do período um rendimento nominal de 12,8%. A inflação no período foi de 9,2%. Qual o ganho real? • Rendimento nominal = $12.800 (100.000 x 0,128) • Valor no final do período = $112.800 • Valor aplicado corrigido pela inflação = $109.200 ($100.000 x 0,092) • Lucro real em valores monetários = $3.600 ($112.800 - $109.200) • Retorno real = relação entre o lucro (ganho) e o valor aplicado corrigido, ambos expressos em moeda de mesmo poder de compra • = 3,6% ($3.600 / $109.200)

  50. Fórmula de apuração da taxa real: • Substituindo-se os valores do exemplo no cálculo de r, tem-se:

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