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Bloque II * Tema 055

Bloque II * Tema 055. ECUACIONES. ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA. ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA En una ecuación trigonométrica la incógnita aparece como argumento en una o varias razones trigonométricas. Resolver la ecuación será hallar el argumento.

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Bloque II * Tema 055

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  1. Bloque II * Tema 055 ECUACIONES Matemáticas Acceso a CFGS

  2. ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA • ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA • En una ecuación trigonométrica la incógnita aparece como argumento en una o varias razones trigonométricas. • Resolver la ecuación será hallar el argumento. • Existen tres tipos de ecuaciones, según su dificultad: • Tipo 1: Nos dan una razón trigonométrica y hallamos el argumento. • Tipo 2: Nos dan una misma razón trigonométrica con distintos argumentos, las cuales hay que relacionar. • Tipo 3: Nos dan dos o más razones trigonométrica con distintos argumentos, en cuyo caso hay que expresar todas en función de una de ellas para resolver la ecuación. • SISTEMAS DE ECUACIONES • En ellos aparecen dos o más ecuaciones con varios argumentos distintos. • Su resolución no difiere en nada a los sistemas algebraicos. Matemáticas Acceso a CFGS

  3. EJEMPLOS TIPO 1 • sen α = 1  α = arcsen 1 = π/2 + 2kπ • cos α = - 1  α = arcos (-1) = π + 2kπ • tg α= 1  α = arctg 1 = π/4 + kπ • EJEMPLOS TIPO 2 • 3 cos α= sec α 3 cos α = 1 / cos α cos2α = 1/3  •  cos α = ±√3 / 3  α = arcos √3 / 3 = 54’73º y - 54’73º •  α = arcos (-√3 / 3) = 125’26º y 234’73º • tg α = tg 2.α tg α = 2.tg α / (1 – tg2α)  tg α– tg3 α = 2.tgα • 0 = tg3 α – tgα 0 = tg α.(tg2 α – 1) = tgα. (tgα + 1) (tgα – 1)  • tg α = 0  α = arctg 0 = 0 + k.π rad • tg α = 1  α = arctg 1 = π/4 + k.π rad • tg α = -1  α = arctg (-1) = 3π/4 + k.π rad • 4 sen α= cosec α 4 sen α = 1 / sen α sen2α = 1/4  •  sen α = ± ½  α = arcsen ½ = π/6 + 2kπ rad y 7π/6 + 2kπ rad •  α = arcsen (- ½) = - π/6 +2kπ rad y 3π/2 + 2kπ rad Matemáticas Acceso a CFGS

  4. EJEMPLOS TIPO 3 • cos α= 2.sen α ½ = sen α / cos α ½ = tg α •  α = arctg ½ = 26’56º + 180º.k • sen2α = cos α + 0,25  ±√(1 - cos2α) = cos α + 0,25  • (1 - cos2α) = cos2α + 0,5.cos α + 0,0625  • 0 = 2.cos2α + 0,5.cos α – 0’9375  Ecuación 2º grado x=cos α • cos α = (- 0’5 ± √ [ 0,25 – 4.2.(– 0’9375) ] ) / 4  • cos α = (- 0’5 ± √ 7’75) / 4  cos α = (- 0’5 ± 2,7838) / 4  •  cos α = 0,4460  α = arcos 0’4460 = ± 63’51º + 360º.k •  cos α = - 0,8210  α = arcos -0’8210 = 145’18º y 214’82º + 360º.k • sen α – 2.cos α = 0  sen α – 2.(±√(1 - sen2α)) = 0  • sen α = ± 2.√(1 - sen2α)  Elevando todo al cuadrado • sen2α = 4.(1 - sen2α)  sen2α = 4 – 4.sen2α • 5.sen2α = 4  sen2α = 4/5  sen α = ± 2/√5 = ± 2.√5 / 5 = ± 0’4.√5 •  α = arcsen 0’4.√5= ± 63’43º + 180º.k Matemáticas Acceso a CFGS

  5. EJEMPLO 1: SISTEMA • Resolver el sistema: • sen x + sen y = 0 • cos x – 2.sen y = – √2 / 2 • Por Reducción, sumando la segunda al doble de la primera: • 2.sen x + cos x = √2 / 2 • cos x = (√2 / 2) – 2.sen x • ±√(1 - sen2 x) = (√2 / 2) – 2.sen x Elevando al cuadrado  • 1 - sen2 x = 0,5 – 2√2.sen x + 4.sen2 x  • 0 = 5.sen2 x – 2√2.sen x – 0’5  Ecuación 2º grado • sen x = (2√2± √ [ 8 – 4.5.(– 0’5) ] ) / 10  sen x = 0,2.√2± 0’3.√2 • sen x = 0,2.√2 + 0’3.√2 = 0’5.√2 x = arcsen 0’5.√2 = 45º y 135º • sen x = 0,2.√2 – 0’3.√2 = – 0’1.√2 x = arcsen (– 0’1.√2 ) = - 8,13º y 188’13º • Para x=45º, en la primera ecuación: • sen 45º + sen y = 0  sen y = - sen 45º  sen y = - 0’7971  •  y = arcsen (-0’7071) = - 45º y 225º • Para x=135º, en la primera ecuación: • sen 135º + sen y = 0  sen y = - sen 135º  sen y = - 0’7971  •  y = arcsen (-0’7071) = - 45º y 225º • Igual haríamos para x = - 8,13º y x = 188’13º • Y comprobamos las 8 posibles soluciones en la 2º ecuación. Matemáticas Acceso a CFGS

  6. EJEMPLO 2: SISTEMA • Resolver el sistema: • cos x + cos y = – 1 • cos x – 2.sen y = – 3 • Por Reducción, restando: • cos y + 2.sen y = 2 • ±√(1 - sen2 y) + 2 sen y = 2 ±√(1 - sen2 y) = 2 – 2.sen y  • 1 - sen2 y = 4 – 8.sen y + sen2 y  • 0 = 2.sen2 y – 8.sen y + 3  Ecuación 2º grado • sen y = (8 ± √ [ 64 – 4.2.3] ) / 4  sen y = (8 ± 2√10) / 4  • sen y = 2 ± 0’5.√10 sen y = 2 ± 1’58 • sen y = 3,58  No hay solución • sen y = 0,42  y = arc sen 0,42 = 24’83º y 155’17º + 360.k • En la primera ecuación: • cos x + cos 24’83º = – 1  cos x = – 1 – 0,9075 = – 1,9075  No hay. • cos x + cos 155’17º = – 1  cos x = – 1 + 0,9075 = – 0,0925  • x = arcos (– 0,0925) = 95’30º y 264’70º • Comprobamos en la 2º ecuación: • cos 95’30º - 2.sen 155’17º = - 3  - 0,0925 – 2.0,42 = - 3  No se cumple • El sistema no tiene solución. Matemáticas Acceso a CFGS

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