Propiedades de los Triángulos

1. Propiedades de los Triángulos y los Cuadriláteros

2. Superficie • Es la mitad del área de un rectángulo de la misma base y de la misma altura ½ (base x altura) H= a senγ CD= a cos γ DA=c cosα CD+ DA= b= a cos γ + c cos α A΄= (a cos γ + c cosα ) a senγ/:2 A=1/2absenγ--->1/2 bc senα A´= 1/2absenβ A´=ab/2

3. Formula de Herón • Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) es posible calcular la superficie empleando la fórmula de herón • viene dada por: • Donde p es el semiperimetro

4. Demostración Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a cada uno de esos lados son A, B, C. Entonces tenemos que: Por el teorema del coseno : La altura de un triángulo de base a tiene una longitud bsen( C), por lo tanto:

5. Propiedades del triángulo • La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado. • La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual a 180°.

6. Teorema del Seno • Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del Seno que demuestra que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»: Sen α= CD/b CD= b sen α Sen β =CD/a CD= a Sen β Sen β =AE/c AE= c Sen β Sen γ= AE/b AE= b Sen γ

7. a² = b² + c²- 2c* b cos α b² = a² + c² –2ac cosβ c² = a² + b² –2ab cos γ Teorema del coseno • Relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados. a² =CD²+ DB²CD²= b²- AD² a² = b² - AD²+ DB² a²= b² - AD²+C² - 2DC +AD² a² =b²+ c²-2c*AD

8. Teorema de Pitágoras • El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: c² =a²+ b² - 2ab cos90º

9. Teorema del cateto o de Euclides • El teorema del cateto establece que en un triángulo rectángulo cada uno de los catetos es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Por lo tanto:

10. Triángulos semejantes • Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales

11. Teorema de Thales Primer teorema (caso particular de triángulos semejantes) Sean dos rectas (d) y (d') orientadas y concurrentes en un punto O. Sean A y A' dos puntos de (d), y B y B' dos puntos de (d'). Entonces: La igualdad de los cocientes equivale al paralelismo 1° fig. tiene medidas algebraicas positivas - los vectores OA, OA', OB y OB' tienen la misma orientación que la rectas (d) y (d'), 2fig posee cocientes negativos. si se aplica teorema : A'B' / AB es igual a los dos anteriores.

12. 2° teorema Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB es recto. Prueba: OA = OB = OC = r, radio del círculo. Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC vale 2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se obtiene Además dice que la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo con la bisectriz en dos segmentos proporcionales Hipotenusa (al cuadrado) = C(Al cuadrado) + C(Al cuadrado) En conclusión se forma un triangulo rectangulo

13. Teorema de la bisectriz En un triangulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángulo interno opuesto. Demostración Si se dibuja desde C una // a AL hasta encontrar la prolongación de lado BA a partir del lado A hasta pto D El triangulo ACD es isósceles (ángulos C y D son congruentes: Porque los dos angulos son alternos internos respecto a las rectas paralelas AL y DC cortadas por la recta transversal AC

14. porque son correspondientes a las rectas paralelas AL y DC a las cuales corta la recta BD, Además porque los ángulos creados por la bisectriz son iguales. Por la propiedad transitiva de la igualdad tenemos que Por tanto los segmentos AC y AD son congruentes. Por el Teorema de Talesse mantiene la proporción: y ya que AC y AD son congruentes, también se cumple que

15. Ortocentro • Se denomina ortocentro al punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo. • El término deriva de orto, recto, en referencia al ángulo formado entre las bases y las alturas. • El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es acutángulo, coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla fuera del triángulo si es obtusángulo • El único caso en que los centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

16. Baricentro Es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad

17. Incentro Es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.

18. Radio del círculo inscrito en triángulo cualquiera • En función de un lado y de las razones • Trigonométricas de la mitad de los ángulos < OBD = B/2, < OCD=C/2 BD= r ctg B/2, CD=r ctg c/2 r(ctg B/2 + ctg C/2)=a; r sen B/2+C/2 =a sen B/2 sen C/2; r= a sen B/2 sen C/2 /: cos A/2

19. Circuncentro Circuncentro es el punto en que se cortan las tres mediatrices de los lados de un triángulo y centro de la circunferencia circunscrita. Dicho punto se suele expresar con la letra (O).Todos los vértices del triángulo se encuentran a la misma distancia del circuncentro.

20. Radio de la circunferencia circunscrita S=centro de circunf..circunscrita al ∆ ABC y R=radio Se traza la bisectriz SD del < BSC que bisecará a BC y será perpendicular a él < BSC en el centro = doble del < BAC =2A ^ a/2 =BD=BSsen BSD=Rsen A R= a /: 2 sen A En consecuencia a/sen A =b/senB= c/sen C= 2R ó de manera que no intervengan ángulos R= a/2senA=abc/2bcsenA=abc/4∆

21. Círculo exinscritoEl círculo de una circunferencia tangente a un lado de un triángulo y a las prolongaciones de los otros dos se llaman un círculo exinscrito del triángulo A= area Δ ABC A= área ABIC – área BIC Área BIA + área CIA – área BIC A= ½ c * Ra + ½b*RA - ½* Ra =½Ra (c +b-a) ; como P= a +b+ c; P-2 a = b+c-a =½Ra(P-2 a) = ½ Ra (2p-2 a) ;p=P/2 ; p:semiperímetro = ½Ra2(p-a) = Ra (p-a) Ra = A / p-a ; Radio del círculo exinscrito tangente exteriormente al lado a  Análogamente: Rb = A / p-b Rc= A/p-c

22. Triángulo pedal G, H y K son los pies de las alturas trazadas de los vértices a sus lados opuestos en triángulo ABC, entonces, GHK se llama triángulo pedal  Las alturas se encuentran en el ortocentro de ABC < OGK=<OBK= 90° - A < OGH = < OCH = 90° -A; < KGH= 180°-2A por lo tanto los ángulos del triángulo pedal son: 180-2ª, 180-2B, 180-2C por otro lado los triángulos AKH, ABC son semejantes: HK/BC = AK/AC = cos A HK= a cos A Los lados del triángulo pedal son a cos A, b cos B, c cos C

23. Area y circunradio de triángulo pedal Area= ½ (producto lados) por (seno del ángulo comprendido) =1/2 R sen 2B* Rsen 2C *sen(180-2A) =1/2 R² sen 2A sen 2B sen 2C circunradio= HK/: 2 sen HGK = Rsen 2A/:2 sen (180-2A) = R/2

25. Cuadriláteros Area de un cuadrilátero es igual a ½ del producto de las diagonales por el seno del ángulo que comprenden AC y BD = diagonales, se cortan en P <DPA = α Δ DAC = Δ APD +Δ CPD = ½ DP* AP senα + ½ DP PC sen (π-α) = ½ DP (AP +PC)sen α =1/2 DP* Acsenα de modo semejante ΔABC=1/2 BP*AC sen α Area = ½ (DP+BP) AC sen α = ½ DB* AC sen α

26. Muchas gracias. • Cecilia Herrera.-