1 / 51

Résistance des structures

Résistance des structures. Chapitre 1 : Équilibre et statique des poutres Chapitre 2 : Contraintes et déformations Chapitre 3 : Théorèmes énergétiques. I. Définition II. Équations d ’équilibre III. Caractérisation géométriques des poutres. Ch 1 : Équilibre et statique des poutres.

chung
Download Presentation

Résistance des structures

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Résistance des structures Chapitre 1 : Équilibre et statique des poutres Chapitre 2 : Contraintes et déformations Chapitre 3 : Théorèmes énergétiques Résistance des structures

  2. I. Définition II. Équations d ’équilibre III. Caractérisation géométriques des poutres Ch 1 : Équilibre et statique des poutres Résistance des structures

  3. I. Définition I.1. But de la Résistance Des Matériaux Déterminer par le calcul les dimensions éléments d’une machine, d’un édifice… Vérifier la stabilité dans les meilleures conditions de SÉCURITÉet d’ÉCONOMIE Résistance des structures

  4. Hypothèses Inconnues le matériau utilisé les efforts appliqués les dimensions les déformations les efforts internes le matériau les dimensions Deux orientations possibles de dimensionnement Résistance des structures

  5. poutres élancées (flexion / torsion) poutres courtes (flexion / torsion + cisaillement) barres (traction / compression) câbles ( traction) I.2. Hypothèses de la RDM - dimension longitudinale principale, - matériaux homogènes, isotropes, et linéaires, - classification des solides : Résistance des structures

  6. Exemples concrets de structures poutre Pylône électrique Ressort de suspension Ski Résistance des structures

  7. fibre neutre section S diam d L G ey ex ez ex ey ez ex ey ez - schématisation est un vecteur unitaire tangent à la ligne moyenne où et sont axes principaux d ’inertie Résistance des structures

  8. Fi q(x) ey Fi Mj L et pi G’ pj m(x) G q(x) m(x) et Mj ez ex ( TG ) = ( F , GP F ) II. Équations d ’équilibre II.1. Sollicitations et conditions d ’appui - les sollicitations - efforts et moments ponctuels - efforts et moments répartis torseur au point G : Résistance des structures

  9. N effort normal tangent à la ligne moyenne Ty Tz R = efforts tranchants Mx moment de torsion My Mz = M moments flechissants - forces intérieures ex F2 R M (2) S S (1) (1) (S) M1 M1 ez F1 F1 ey Résistance des structures

  10. 2D - les différentes liaisons Résistance des structures

  11. ey ex ez A B C D II.2. Équations d ’équilibre global le Principe Fondamental de la Statique donne : Résistance des structures

  12. F F q(x) Structure isostatique Structure hyperstatique - degré d ’hyperstaticité n inconnues de réaction p équations d ’équilibre ( p - n ) est le degré d ’hyperstaticité ( p - n ) > 0 : hypostatique ( p - n ) = 0 : isostatique ( p - n ) < 0 : hyperstatique Exemples Résistance des structures

  13. ey Neffort normal Ty Tz R = efforts tranchants ex Mxmoment de torsion My Mz = M moments flechissants II.3. Équations d ’équilibre local Évaluer le torseur des efforts intérieurs Exemple : Cas d’une poutre console A B (L) XA ,YA et MAz P.F.S Résistance des structures

  14. (TD) ey P (x,0) A B - (TD) ex On réalise une coupure fictive entre A et B en unpoint P d’abscisse x : Équilibre de la partie gauche : Équilibre des moments au point P : Résistance des structures

  15. Méthode de détermination du torseur des efforts intérieurs • coupure fictive entre chaque singularité (point d’appui ou point de charge) • Rint = somme des efforts extérieurs situés à gauche • Mint = somme des moments situés à gauche + la somme des Relation entre les éléments du torseur des efforts intérieurs et Résistance des structures

  16. Y (S) dS M y d X b b b h/2 h h x x x x III. Caractérisation géométrique des poutres III.1. Moment statique Exemples Résistance des structures

  17. Y (S) YG G X XG å = S . X S . x G i Gi å = S . Y S . y G i Gi III.2. Détermination du centre de gravité Si (S) est décomposée en nombre fini d ’aires (Si) : Résistance des structures

  18. b A.N a = 7 mm b = 60 mm c = 80 mm a x G1 G2 c a y Exemple Calculer la position du centre de gravité 0 XG = 15.45 mm YG = 25.45 mm Résistance des structures

  19. Y (S) M dS r et X III.3. Moment quadratique - moment produit - moment quadratique ou moment d ’inertie - moment d ’inertie polaire Résistance des structures

  20. y y x x h d b Exemples Résistance des structures

  21. y (S) M G (S) r’ M d YG (D’) G r (D) x XG - théorème de HUYGENS Résistance des structures

  22. Ch 2 : Contraintes et déformations I. Notion de contrainte II. Notion de déformation III. Relation contraintes - déformations Résistance des structures

  23. P.F.S Équilibre interne Position du problème ? Structure poutre Prévoir la rupture - nature du matériau - modèle géométrique : déformation - la loi de comportement : contrainte / déformation Résistance des structures

  24. contrainte normale contrainte tangentielle F I. Notion de contrainte rapport d ’un effort par une surface contrainte unité d ’une pression : Pa, MPa, daN/mm2 Fn S Ft Résistance des structures

  25. F l Dl II. Notion de déformation Solides indéformables Solides DEFORMABLES déformation relative Résistance des structures

  26. N - équilibre entre contraintes et déformations, - les déformations restent petites, - les matériaux sont homogènes et isotropes. N III. Relation contraintes - déformations III.1. Hypothèses et principes Principe de Saint - Venant Théorie de l’élasticité Identité de la répartition : - des contraintes - des déformations R.D.M Résistance des structures

  27. (1) F1 F1 F2 F2 (2) (3) Principe de superposition des états d ’équilibre + En un point donné : = + Déplacements et Contraintes (1) Déplacements et Contraintes (2) Déplacements et Contraintes (3) Résistance des structures

  28. traction unidirectionnelle compression cisaillement torsion flexion III.2. Loi de comportement de quelques sollicitations simples Résistance des structures

  29. S0 N N l S S0 l1 - traction unidirectionnelle Déformation longitudinale Déformation transverse Contrainte normale Résistance des structures

  30. s se E : Module de YOUNG e E : unité d ’une pression Pa, MPa, daN / mm2 n : sans unité ( < 0.50) Matériau E (MPa) n acier aluminium plexiglas 210000 70000 2000 0.30 0.33 0.35 Courbe d’évolution contrainte / déformation Loi de HOOKE Coefficient de POISSON Résistance des structures

  31. Concentration de contraintes Variation brusque de section Répartition des contraintes non uniforme (coefficient de concentration de contraintes) Exemples : Résistance des structures

  32. d d Sa a b L Sb - compression Hypothèses : • matériau homogène et isotrope, • poutre à axe rectiligne vertical, • 2 sections droites Sa et Sb parallèles. Condition de compression pure Résistance des structures

  33. Matériaux ductiles Matériaux fragiles Courbe d’évolution contrainte / déformation Résultats analogues à une sollicitation de traction • - déformation élastique • déformation permanente • rupture • pas de palier plastique • pas de striction Modes de rupture Résistance des structures

  34. F F g - cisaillement Configuration initiale Configuration déformée g est l ’angle de glissement contrainte tangentielle moyenne module de COULOMB Résistance des structures

  35. On considère une poutre rectiligne de longueur (2a + b) sur 2 appuis simples et soumise à un effort P à chaque extrémité y RB RC D A a b a x C B P P - sollicitation de flexion Calculer l ’effort tranchant et le moment fléchissant le long de la poutre Résistance des structures

  36. Ty = 0 Mz = aP = constante A D a b a C B Mz aP x Ty P x -P diagramme du moment fléchissant et de l ’effort tranchant Entre B et C : Flexion pure sur BC déformée en arc de cercle de courbure constante R (sections planes et normales à la fibre moyenne) Résistance des structures

  37. y A A1 A2 SA2 G1 G x SA SA1 dq O • déformation longitudinale • les contraintes normales et tangentielles • la valeur de la flèche On considère un tronçon de poutre situé dans la partie BC Hypothèses : • chaque section tourne d ’un angledq • dx = AA1 etGA = V • OG = R rayon de courbure • angle dq est petit et négatif Résistance des structures

  38. q d I = - = s M z M E I s = z V z z xx dx V xx I z Déformation longitudinale Loi de HOOKE Équilibre d ’une section Or, le rayon de courbure R est tel que : Résistance des structures

  39. ey d c e f V yo ez G l a b - Iz le moment quadratique de toute la section droite, - l la longueur de la corde de la section droite. • Az le moment statique de la section droite limitée par la corde l Évaluation de la contrainte de cisaillement Contrainte tangentielle de cisaillement Résistance des structures

  40. dx g r dq G les sections restent planes et circulaires ex ey ez Mx ex - sollicitation de torsion uniforme contraintes tangentielles autour de l ’axe porté par Résistance des structures

  41. Ch 3 : Théorèmes énergétiques I. Définition II. Énergie de déformation III. Théorèmes énergétiques Résistance des structures

  42. état initial travail des forces extérieures Wext travail des forces intérieures Wint Théorème de l’énergie cinétique + = 0 état final F1 F2 Énergie de déformation : Wd = - Wint = Wext I. Définition déformation élastique de la poutre Résistance des structures

  43. Exemple : cas d’une sollicitation de traction Hypothèses : • effort de traction variable • proportionnalité entre l’effort et l’allongement Aire du triangle OAB Travail de l’effort de traction Résistance des structures

  44. Soit l’allongement du tronçon dx soit - Équilibre d’un tronçon de longueur dx Loi de HOOKE Énergie de déformation élémentaire Résistance des structures

  45. II. Énergie de déformation D ’une manière générale Effort normal : traction/compression Effort tranchant : Ty ou Tz Moment de torsion : Mx Moment fléchissant : My ou Mz Résistance des structures

  46. - Cas général effort normal + effort tranchant + moment fléchissant + moment de torsion Résistance des structures

  47. Fi DéplacementsUi Cj Cj Rotationsqj Fi III. Théorèmes énergétiques III.1. Théorème de Clapeyron Travail des forces extérieures Résistance des structures

  48. ey S1 S2 B C A ex l P ey B C A ex a P III.2. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti Théorème = Flèche dans la section S1 due à la charge P en S2 Flèche dans la section S2 due à la charge P en S1 Résistance des structures

  49. A B C Fi III.3. Théorème de Castigliano Théorème :ledéplacement du point d’application d’une force dans sa direction (ou la rotation d’un couple) est égale à la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à cette force (ou à ce couple) : Résistance des structures

  50. III.4. Théorème de Ménabréa Théorème :la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à chacune des inconnues surabondantes est nulle, à condition que les points d’application des forces ne bougent pas (Ui = 0) ou que les sections ne tournent pas (qi = 0) Structure hyperstatique d ’inconnues surabondantes Ri Wd = f(Ri) Résistance des structures

More Related