Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

1. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba10 Semestre de 2013 Matemática Discreta 1 – MD 1 Prof. Lineu Mialaret Aula 7: Proposições (2)

2. Introdução • As proposições (simples ou compostas) possuem valores lógicos (ou valores verdade) Verdadeiro (V) ou Falso (F): • As operações realizadas sobre as proposições também possuem valores lógicos. • A Tabela Verdade – TV é uma ferramenta útil para avaliar o valor verdade resultante da aplicação dos operadores lógicos sobre as proposições: • Ela mostra o resultado das operações lógicas, supondo os diferentes valores verdade para as proposições.

3. TV - Resumo (1)

4. TV - Resumo (2)

5. Sintaxe (1) • A Matemática é uma ferramenta para modelagem e abstração do “mundo real”, e a Lógica Matemática pode se constituir numa das linguagens pela qual se descreve fatos e idéias sobre este mundo. • Assim como a Língua Portuguesa é uma linguagem e que portanto, possui uma gramática e formas de escrever corretamente uma frase que expresse alguma fato ou idéia, a Lógica Matemática também possui uma linguagem, com seus elementos e gramática, a qual se chama de Cálculo Proposicional. • A sintaxe do Cálculo Proposicional especifica os símbolos e os modos de combiná-los para formar uma expressão válida da linguagem, a qual pode ser chamada de “fórmula bem formada ou fórmula bem formulada” (fbf).

6. Sintaxe (2) • Elementos Válidos: • Letras maiúsculas do alfabeto tais como A, B, C, ..., são usadas para representar proposições ou fórmulas proposicionais. • Opcionalmente letras minúsculas do alfabeto, tais como p, q, r, ... , podem ser usadas para representar proposições. • Operadores Lógicos: • Para o conectivo de conjunção, usa-se o símbolo ∧. • Para o conectivo de disjunção, usa-se o símbolo ∨. • Para o conectivo de condicional, usa-se o símbolo →. • Para o conectivo de bicondicional, usa-se o símbolo ↔. • Para o conectivo de negação, usa-se o símbolo ¬. • Adicionalmente: • Parênteses ( , ).

7. Sintaxe (3) • Há algumas regras para verificar se uma cadeia de letras de proposição (uma expressão proposicional) é considerada uma expressão válida: • Uma letra proposicional sozinha é gramaticalmente correta ou uma fórmula bem formada (fbf). • Se qualquer expressão proposicional A (tal como p ∨ q) é bem formada, então também o é sua negação ¬A (ou seja, ¬(p ∨ q) neste caso). • Se A e B são expressões ou fórmulas bem formadas, então também o são (A∧ B), (A ∨ B) e (A → B). • Exemplos: • ¬((p ∨ q) → r) fbf? • p)) ∧ ∧ → qr fbf?

8. Sintaxe (4) • Assim como na aritmética, as operações lógicas devem ser realizadas segundo uma ordem de prioridade imposta pelos operadores (conectivos) lógicos. • A ordem de prioridade é: • 1 Negação • 2 Conjunção • 3 Disjunção • 4 Condicional • 5 Bicondicional • Exemplo:

9. Sintaxe (5) • Uma outra forma de definir ordens de prioridade na expressão é com o uso de parênteses. • Neste caso, as expressões “mais internas” aos parênteses devem ser analisadas primeiro. • Exemplo: • ¬p∧ (q → r) • Numa fórmula bem formada (fbf) com vários operadores lógicos envolvidos, o último operador a ser aplicado é o denominado operador ou conectivo principal da expressão. • Exemplo: • A ∧ ¬(B → C) • ((A ∨ B) ∧ C) → (B ∨ ¬(C))

10. Análise de Expressões Lógicas (1) • Para análise de uma expressão lógica e construção da Tabela Verdade deve-se: • Respeitar a ordem de prioridade das operações definida pelos parênteses. • Respeitar a ordem de prioridade das operações definida pelos operadores. • Calcular os valores verdade da expressão, supondo todas combinações de valores verdade para as proposições simples.

11. Análise de Expressões Lógicas (2) • Observações: • As colunas da Tabela Verdade estão dispostas de acordo com a ordem de prioridade das operações, pois isso auxilia na organização dos cálculos. • A última coluna é reservada para a expressão proposicional. • O número de linhas da Tabela Verdade é igual a 2 elevado ao número de proposições simples (n) que compõe a expressão proposicional (ou seja, = 2n).

12. Análise de Expressões Lógicas (3) • Calcular a Tabela Verdade da seguinte expressão proposicional: • (p ∧ ¬q) ↔r

13. Análise de Expressões Lógicas (3) • Calcular a Tabela Verdade da seguinte expressão proposicional: • (p ∧ ¬q) ↔r ¬ ¬

14. Análise de Expressões Lógicas (4) • Resumo: • Dada uma expressão proposicional, a Tabela Verdade permite verificar o “comportamento” desta expressão em diferentes circunstâncias. • Etapas importantes para construção da Tabela Verdade - • Identificar as proposições simples (definir uma coluna da tabela para cada uma). • Identificar a ordem de prioridade das operações lógicas na expressão (subexpressões). • Calcular cada subexpressão (em diferentes colunas da tabela). • Calcular o valor verdade da expressão lógica para cada configuração de valores verdade das proposições simples.

15. Análise de Expressões Lógicas (5) • Montar a Tabela Verdade das seguintes expressões proposicionais: • ¬(p ∧ ¬q) • ¬q → (p ∨ ¬r )

16. Análise de Expressões Lógicas (3) • Montar a Tabela Verdade das seguintes expressões proposicionais em português: • Se o cavalo estiver descansado e a armadura for forte, então o cavaleiro vencerá. • O cavalo estará descansado se, e somente se, a armadura for leve e o cavaleiro vencer. • Se o cavaleiro não perder, então o cavaleiro vencerá, ou, o cavaleiro perderá. • O cavaleiro vencerá se a armadura for forte, ou, o cavalo estará descansado se a armadura for leve. • Observação: • Nas expressões em forma discursiva (linguagem natural), a vírgula pode ser utilizada para separar subexpressões, como fazem os parênteses na notação matemática.

17. Tautologia (1) • Tautologia é toda expressão proposicional cujo valor verdade é sempre verdadeiro, independentemente dos valores verdade das proposições simples que a compõe. • Seja a seguinte expressão proposicional: • (p ∧ ¬p) → (q ∨ p) • Diz-se que a expressão proposicional acima é uma Tautologia se, independente dos valores verdade associados às proposições p e q, o resultado lógico da expressão sempre será Verdadeiro (V).

18. Tautologia (2) • Contradição é toda expressão proposicional cujo valor verdade é sempre falso, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõe. • Seja a seguinte expressão proposicional: • (p ∧ ¬p) ↔ (¬p ∧ q) • Diz-se que a expressão proposicional acima é uma Contradição se, independente dos valores verdade associado às proposições p e q, o resultado lógico da expressão sempre será Falso (F).

19. Tautologia (3) • Contingência é uma expressão proposicional que pode assumir o valor lógico Verdadeiro ou Falso. • Exercícios: Verifique se as expressões proposicionais a seguir são tautologias, contradições ou contingências (Dica: montar a tabela verdade e observar a última coluna). • p → (q →p) • p→ (q→ (p∨q)) • ¬p ∨ (p ∧ q) • ¬(p ∧ ¬p)

20. Implicação Lógica (1) • Dadas as proposições p e q, diz-se que ocorre uma implicação lógica (ou uma relação de implicação) entre as proposições p e q quando a proposição condicional p → q é uma tautologia. • Notação: • p q • onde se lê • p implica (logicamente) q • ou • se p, então q.

21. Implicação Lógica (2) • Observação: • Os símbolos  e  têm significados diferentes. • O símbolo  entre duas proposições dadas indica que há uma relação, ou seja, que a proposição condicional associada é uma tautologia. • Enquanto que o símbolo  realiza uma operação entre as proposições, dando origem a uma nova proposição pq, que pode conter valores lógicos V ou F.

22. Implicação Lógica (3) • Exemplo: Verificar se a expressão abaixo é uma implicação lógica. • (p ∧ q)  (p ∨ q)

23. Implicação Lógica (4) • Exemplo: • (p ∧ q)  (p ∨ q) • Obs.: Para verificar se a expressão proposicional acima é uma implicação lógica - • Monta-se a tabela verdade da expressão • Substitui-se o símbolo  por →.

24. Equivalência Lógica (1) • Dadas as proposições p e q, diz-se que ocorre uma equivalência lógica entre p e q quando suas tabelas verdades forem idênticas. • De forma intuitiva, isto significa que proposições logicamente equivalentes transmitem a mesma informação (valor lógico), a partir das mesmas proposições componentes. • A proposição p é logicamente equivalente à proposição q ou seja, p q, sempre que a proposição bicondicional p↔q for uma tautologia. • Notação: • pq.

25. Equivalência Lógica (2) • Exemplo: • ¬(pq) ↔ (p ∧ ¬q)

26. Equivalência Lógica (3) • Exemplo: • ¬(pq) ↔ (p ∧ ¬q) • Logo, pode-se dizer que há uma equivalência lógica entre as expressões ¬(pq) e (p ∧ ¬q), simbolizada abaixo: • ¬(pq)  (p ∧ ¬q)

27. Equivalência Lógica (4) • Exercício: Verifique se as expressões a seguir são implicações, equivalências ou contingências. (Dica: substituir os símbolos  e  por → e ↔ respectivamente, e montar a tabela verdade, analisando a última coluna) . • ¬(p ∨ ¬q)  ¬p ∧ q • p ∧ ¬q ¬(p q) • (p q) ∧ ¬p ¬q • p↔ ¬q q  p

28. Equivalência Lógica (5) • As relações de equivalência podem ser comparadas com a relação de igualdade (operador =): • Assim, dada uma expressão lógica composta por duas subexpressões lógicas, se uma das subexpressões for substituída por uma outra subexpressão equivalente, então a nova expressão tem o mesmo sentido (valor verdade ou valor lógico) que a expressão original. • Exemplo: • Já se viu que ¬(pq)  (p ∧ ¬q). • Seja a expressão r (p ∧ ¬q). • Pode-se dizer que o seu significado é o mesmo que • ¬(pq)  r.

29. Equivalência Lógica (6) • Dada a proposição condicional pq, ela tem associadas três outras proposições, as quais contém p e q: • Recíproca do Condicional: q p. • Contrapositiva: ¬q ¬p. • Recíproca do Contrapositivo ou Inversa: ¬p ¬q. • Obs.: • Condicional e Contrapositiva são logicamente equivalentes. • pq ¬q ¬p • Recíproca e Inversa são logicamente equivalentes. • qp ¬p ¬q

30. Equivalência Lógica (7) • Outro Exemplo: • p: T é um triângulo equilátero. • q: T é um triângulo isósceles (dois lados iguais). • p q (condicional): Se T é equilátero, então T é isósceles. É o mesmo que dizer ~q ~p (contrapositiva) • Se T não é isósceles, então T não é equilátero. • q p (recíproca): Se T é isósceles, então T é equilátero. É o mesmo que dizer: ~p ~q (contrária) • Se T não é equilátero, então T não é isósceles.

31. Equivalência Lógica (8) • Exemplo: • p: O céu está nublado. • q: Vai chover. • Condicional: • pq: Se o céu está nublado, então vai chover. • Recíproca: • qp : Se vai chover, então o céu está nublado. • Contrapositiva: • ¬q ¬p: Se não vai chover, então o céu não está nublado. • Inversa: • ¬p ¬q: Se o céu não está nublado, então não vai chover.

32. Equivalência Lógica (9) • Devido sua importância e uso freqüente, algumas equivalências lógicas são consideradas como Leis do Cálculo Proposicional. • (L1) Comutatividade na disjunção: • p ∨ qq ∨ p • (L2) Comutatividade na conjunção: • p ∧ qq ∧ p • (L3) Associatividade na disjunção: • p ∨ (q ∨ r )  (p ∨ q) ∨ r • (L4) Associatividade na conjunção: • p ∧ (q ∧ r )  (p ∧ q) ∧ r • (L5) Idempotência na disjunção: • p ∨ pp

33. Equivalência Lógica (10) • (L6) Idempotência na conjunção: • p ∧ pp • (L7) Distributividade com relação a disjunção: • p ∨ (q ∧ r )  (p ∨ q) ∧ (p ∨ r ) • (L8) Distributividade com relação a conjunção: • p ∧ (q ∨ r )  (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) • (L9) Lei de De Morgan para disjunção: • ¬(p ∨ q)  ¬p ∧ ¬q • (L10) Lei de De Morgan para conjunção: • ¬(p ∧ q)  ¬p ∨ ¬q • (L11) Dupla negação: • ¬¬pp

34. Equivalência Lógica (11) • (L12) Lei de Passagem: • pq ¬(p ∧ ¬q) • (L12a) Lei de Equivalência: • p↔q (p q) ∧ (q p) • Considerando V uma proposição verdadeira e F uma proposição falsa, algumas proposições podem ser simplificadas diretamente, como por exemplo: • (L13): • p ∨ ¬pV • (L14): • p ∧ ¬pF • (L15): • p ∧ Vp

35. Equivalência Lógica (12) • (L16): • p ∨ Fp • (L17): • p ∨ VV • (L18): • p ∧ FF

36. Equivalência Lógica (13) • Resumo:

37. Equivalência Lógica (14) • Com o conhecimento destas leis, a equivalência entre proposições podem ser verificada, utilizando apenas as leis do cálculo proposicional, sem fazer uso das Tabelas Verdade: • Uma outra utilidade importante destas leis é simplificar longas proposições, reduzindo-as em proposições equivalentes mais simples.

38. Equivalência Lógica (15) • Exemplo: • Simplificar (p ∨ q) ∧ ¬p. • (p ∨ q) ∧ ¬p = (L2) p ∧ qq ∧ p • ¬p ∧ (p ∨ q) = (L8) p ∧ (q ∨ r )  (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) • (¬p ∧ p) ∨ (¬p ∧ q) = (L14) p ∧ ¬pF • F ∨ (¬p ∧ q ) = (L16) p ∨ Fp • (¬p ∧ q ) • Logo • (p ∨ q) ∧ ¬p (¬p ∧ q) • Obs.: • Simplificar significa chegar-se numa expressão lógica mais simples (com menos proposições ou conectivos)

39. Equivalência Lógica (16) • Exemplo: • Mostrar que p∧ (¬p∨ q) p∧q. • p∧ (¬p∨ q) = (L8) p ∧ (q ∨ r )  (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) • (p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q) = (L14) p ∧ ¬pF • F ∨ (p ∧ q) = (L16) p ∨ Fp • p ∧ q = • Logo • p∧ (¬p∨ q) p∧q. • Obs.: • Mostrar neste caso significa que a partir da primeira expressão proposicional p∧ (¬p∨ q), chega-se na segunda expressão proposiconal p∧q ou vice-versa.

40. Equivalência Lógica (17) • Exemplo: • Seja a expressão proposicional p ∨ q: • “O rio é raso ou o rio é poluído”. • Qual é o significado da expressão ¬(p ∨ q) ? • Pela lei de De Morgan para disjunção, • ¬(p ∨ q)  ¬p ∧ ¬q • Logo, ¬(p ∨ q): • “O rio não é raso e nem poluído”. • Obs.: • Note que ¬(p ∨ q) não é equivalente a: “O rio não é raso OU não é poluído”.

41. Equivalência Lógica (18) • Exercício: • Mostrar as seguintes equivalências abaixo, • ¬(p ∨ ¬q)  ¬p ∧ q • pq  ¬p ∨ q • Simplificar, • p ∨ (p ∧ q) • Fazer a negação da frase, • “Joaquim é alto e é magro”.

42. Equivalência Lógica (19) • Exercício: • Como negar (pq) ? • Ou • ¬(pq)  ?

43. Equivalência Lógica (20) • Exercício: • Como negar (p↔q) ? • Ou • ¬(p↔q)  ?