Arreglos y Permutaciones

2. Arreglos y Permutaciones 8 8! V = 5 5! Integrantes: Daniela Ávalos Camila Badilla Nicolás Chávez Consuelo Contreras Alan Henríquez Pablo Robles Curso: 2 año medio B Profesor: Daniel Montoya

3. 1.- Un alumno tiene que elegir un “ramo” entre 4 idiomas y 5 asignaturas científicas. ¿De cuantas formas lo puede hacer? • 4 idiomas + 5 asignaturas científicas = 9 formas diferentes • Principio sumativo

4. 2.-En el liceo San Antonio se dan las como actividades de libre elección: Fútbol, Ajedrez, Juvi, Tenis de mesa, Basquetbol, Atletismo. ¿De cuantas maneras un alumno puede elegir una de las opciones? • - se suman las actividades y nos da un total de 6 maneras que se puede elegir.

5. 3.- Un alumno debe elegir un Idioma y una asignatura científica del siguiente cuadro: Idiomas Asignatura Científica. Ingles. Matemática Francés Física Alemán Química Biología. Determine de cuantas maneras un alumno puede elegir. • 3.1.-Un idioma. • 3.2.-Una asignatura científica. • 3.3.- Un idioma y una asignatura científica. • 3.4.-Un idioma o una asignatura científica.

6. 3.1= se suman los idiomas y nos da un total 3 formas de elegir un idioma • 3.2= se suman las asig. Científicas y nos da un total de 4 formas de elegir una asignatura científica • 3.3= se multiplica los idiomas y las asig. Científicas = 3 x 4 = 12 • 3.4= se suman los idiomas y las asig. Científicas = 3 + 4 = 7

7. 4.- Considere la palabra “MURCIELAGO”. Determine el número de palabras que se pueden obtener si: 4.1.- Se toman todas las letras. 4.2.- Se toman 5 letras. 4.3.- Se toman 6 letras y la palabra debe empezar con la letra A. 4.4.- Se toman 6 letras y la palabra debe terminar en O. 4.5.- Se toman todas las letras y la palabra empiece con A y termine en O. 4.6.- Que las letras centrales sean A y E (en ese orden).

8. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 A 9 8 7 6 5 • 4.1- 10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 10! = 3.628.800 • 4.2- 10x9x8x7x6x5 =30240 • 4.3- 9x8x7x6x5 =15120 • 4.4- 9x8x7x6x5 =15120 • 4.5- 8x7x6x5x4x3x2x1 8! = 40.320 • 4.6- 8x7x6x5x4x3x2x1 8! = 40.320 • En este problema podemos decir que de la palabra MURCIELAGO se pueden formar diversas palabras con respecto de la misma. • En este problema se puede notar la utilización del “bicho matemático” (Ej.:10!) 9 8 7 6 5 O A 8 7 6 5 4 3 2 1 O 8 7 6 5 A O 4 3 2 1 = opciones posibles x

9. Ejercicio 5 5.- Considere la palabra “VAMPIRO”. Determine el número de palabras que se pueden obtener, si: 5.1.-Se toman todas las letras. 5.2.-Se toman todas las letras y la palabra debe empezar con P. 5.3.- Se toman todas las letras y la 2º y penúltima letra de la palabra sean A y O respectivamente. 5.4.- Se tomen todas las letras Y la segunda letra sea una vocal. 5.5.- Se tomen todas las letras y la letra central sea una vocal. 5.6.- Que tenga 5 letras y que empiece con A 5.7.- Que tenga 5 letras y que termine en O 5.8.-Que tenga 6 letras y que termine en M. 5.9.- Que tenga 4 letras y que no contenga vocales.

10. Respuestas • 5.1.- 7!= 7*6*5*4*3*2*1=5.040 Explicación: Se toman todas las letras y hay un total de 5.040 posibilidades o arreglos posibles. • 5.2.- (7-1)!= 6!= 6*5*4*3*2*1= 720 Explicación: Hay una letra fija. • 5.3.- (7-2)!= 5!= 5*4*3*2*1= 120 Explicación: Existen 7 posibilidades a las cuales se le restan las que están fijas. • 5.4.- 6!*3= 2.160 Explicación: En la 2ª casilla se encuentran 3 posibilidades, pues hay 3 vocales, dejando el resto de las posibilidades 6! • 5.5.- 6!*3= 2.160 Explicación: En la casilla del medio hay 3 opciones que corresponden a las 3 vocales de la palabra, dejando para las otras casillas 6! opciones. • 5.6.- (7-1)!/(7-5)!= 6!/2!= 6*5*4*3*2!/2!= 6*5*4*3= 360 Explicación: Al factorial de la diferencia entre las 7 opciones se le restan el dato fijo, y se divide por el factorial de las diferencia de las 7 opciones con la de las 5 que serán tomadas en cuenta. • 5.7.- (7-1)!/(7-5)!= 6!/2!= 6*5*4*3*2!/2!= 6*5*4*3= 360 Explicación: Se realiza el mismo procedimiento del ejercicio anterior. • 5.8.- (7-1)!/(7-6)!= 6!/1= 6!= 6*5*4*3*2*1= 720 Explicación: Al factorial de la diferencia entre las 7opciones y el dato fijo se divide por el factorial de la diferencia entre las 7 opciones y las 6 tomadas en cuenta. • 5.9.- 4!= 4*3*2*1= 24 Explicación: Como sólo se tomaran en cuenta 4 opciones se calcula el factorial de 4 para sacar el resultado.

11. 6.- Considere la palabra “CAMINO”. Determine el numero de palabras que se pueden obtener si: • 6.1.- Se toman todas las letras. • 6.2.- Se toman cuatro de las letras. • 6.3.-Se toman todas las letras y la palabra empiece con M. • 6.4.- Se tomen todas las letras y la palabra termine con N. • 6.5.- Se tomen 3 letras y la palabra empiece con una vocal y las dos siguientes sean consonantes distintas. • 6.6.-De tres letras, y que las tres sean consonantes distintas.

12. 6.1= 6! = 6x5x4x3x2x1= 720 • 6.2= 6x5x4x3= 360 • 6.3= Mx5x4x3x2x1= 120 • 6.4= 5x4x3x2x1xn= 120 • 6.5= 3x3x2=18 • 6.6= 3x2x1= 6

13. 7.- Considere la palabra CAMARADA. ¿Cuántas palabras más se pueden formar si se toman todas las letras? 8 8! 8x7x6x5x4! V = = =8x7x6x5= 4 4! 4! 1680= se pueden formar 1680 palabras

14. Ejercicio numero 8. • 8.1 con la palabra Matemática • P(10,2,3,2) 10! __________ = 151.200 2!x3!x2! • 8.2 se toman 5 de las letras 10 10! • V ______ = 30.240 5 5! • 8.3 Con seis letras y eventualmente se podrían repetir 10 10! • V : _______ =3.628.800 7 3!

15. 9.-Considere el nº 3458.Cuantos números se pueden obtener: Para las 3 preguntas del ejercicio se usa el principio multiplicativo (N x M ) En los 2 primeros no se repiten las letras por lo que se van agotando las opciones -Con los 4 dígitos sin repetición. R: 4! = 24 -Con los 3 dígitos sin repetición. R: 4x3x2 = 24 En esta pregunta se pueden repetir todas la letras -Con los 4 dígitos con repetición. R: 4x4x4x4 = 256

16. 10.- Considere el nº 36.478.Cuantos números se pueden obtener: • 10.1-De tres dígitos sin repetición. • 10.2.-De cuatro dígitos con repetición • 10.1= 5x4x3= 60 • 10.2=5x5x5x5= 625

17. 11.1.-¿Cuántas palabras más se pueden obtener con las letras de la palabra CHILENO? • 11.2.- ¿Cuántas palabras más se pueden hacer con las letras de la palabra COLOCOLO? • 11.1= (7!-1)= 7x6x5x4x3x2x1= 5040-1=5039 • 11.2= • 8 8! • V = ____ = 420 • (8,2,4,2) 2! x 4! x 2!

18. 12.- Se tienen 5 libros distintos de matemática, 3 de Química y 2 de Física. De cuantas maneras se puede escoger: • 12.1.- Un libro del total de ellos. • 12.2.- Uno de cada materia. 12.1= se suman el total de libros eso nos da 10 12.2= 5x3x2x2= 60

19. 12.- Si en el problema anterior los libros de cada materia son iguales .¿De cuantas maneras se pueden ordenar todos los libros en un estante puestos en fila? 10 10! • V = = 2520 (5,3,2) 5!x3!x2!

20. 13.- Para una función existen cuatro tipos distintos de entradas de galería, y dos tipos de entradas distintos de platea. • 13.1.- ¿De cuantas maneras distintas se puede elegir una entrada? • 13.2.- ¿Una de galería y una de Platea? • 13.2.- ¿Dos de galería y una de platea?

21. 13.1= se suman las distintas entradas eso nos da un total de 6 • 13.2= se multiplican las entradas y eso nos da un total de 8 entradas • 13.3= dos de galería = 4x3= 12 y una de platea 2 = 12x2 = 24

22. 14.-Suponga ahora que en el problema anterior las entradas de galería son todas iguales y las de platea son también todas iguales. Calcule de cuantas maneras se pueden ordenar las entradas puestas en una mesa y una sobre otra. 6 6! • V = = 15 (4,2) 4!x2!

23. 15.- En una estantería hay 6 frascos de mermeladas hechos de distinta fruta y 2 frascos de café de distinto tipo. Calcule de cuantas maneras se puede elegir. • 15.1.- Un frasco del total. • 15.2.- Un frasco de mermelada y otro de café. • 15.1= se suman los frascos de mermeladas y de café y nos da un total de 8= 6 + 2 = 8 • 15.2= se multiplican los frascos y nos da un total de 12 = 6 x2 = 12

24. 16.- Considere las 5 celdas, de ellas una sombreada. y considere además el número 428790.Determine de cuantas maneras se puede anotar: • 16.1.- Uno de los dígitos de numero en la celda sombreada. • 16.2.- Uno de los dígitos del numero en una de las celdas no sombreadas. • 16.3.- El 8 en una de las celdas no sombreada. • 16.4.- Si los números se pueden volver a elegir una vez elegido el anterior .De cuantas maneras se puede anotar uno de los dígitos en la celda sombreada.

25. 16.1 = se ve la cantidad de dígitos y se multiplican por 1 = 6x1 = 6 • 16.2= se ve la cantidad de casillas y la cantidad de números y se multiplican= 6x5x4x3= 360 • 16.3= se cuenta la cantidad de casillas no sombreadas= 4 • 16.4= se multiplican la cantidad de números por la cantidad de casillas sombreadas = 6x1=6 6 5 4 3

26. 17.- Repita el ejercicio anterior considerando ahora el número: 42872. • 17.1=se ve la cantidad de dígitos y se multiplican por 1= 5x1=5 • 17.2= se ve la cantidad de números y la cantidad de casillas y se multiplican= 5x4x3x2= = 120 • 17.3= se multiplica la cantidad de números por la cantidad de casillas sombreadas = 5x1=5 5 4 3 2

27. 18.-Un estudiante tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4 asignaturas. Hallar el número de formas distintas en que puede hacerlo. - Se multiplica la cantidad de idiomas y la cantidad de asignaturas= 5 x4 = 20

28. 19.- ¿de cuantas formas se pueden repetir dos premios entre 10 personas, sabiendo que ambos premios? • 19.1.- no se pueden conceder a una misma persona • 19.2.- se pueden conceder a la misma persona. • 19.1= si un premio se le concede a una persona = 10 y el otro a 10 = 100, pero se le resta 10 por los premios repetido eso nos da un total de 90 • 19.2= se multiplican las 10 personas con premios =10 x10 = 100

29. 20.- ¿de cuantas maneras se pueden introducir 5 cartas en 3 buzones? • se multiplican los 5 cartas con los tres buzones pero de manera de usar todas las posibilidades de introducir 5 cartas en 3 buzones= 5x4x3x2 x3x2 = eso nos da un total de 243 formas de introducir 5 cartas en 3 buzones

30. 21) Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 2 para secretario. Calcule de cuantas maneras se pueden ocupar estos tres puestos. 4 Candidatos para presidente. 6 Candidatos para vicepresidente. 2 Candidatos para secretarios. 6 · 4 · 2 = 48 Respuesta : Estos tres puestos se pueden ocupar de 48 maneras diferentes.

31. 22) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila? Desarrollo . - 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 Respuesta : Se pueden ordenar de 120 maneras distintas.

32. 23.- ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 libros en una estantería? • 7!= 7x6x5x4x3x2x1= 5040

33. Ejercicio 24 Hallar el número de formas en que se pueden colocar en una fila 4 cuadros de una colección que se compone de 12 cuadros. Solución: 12*11*10*9 = 11880

34. Ejercicio: ¿De cuantas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que estas ocupen los lugares pares? Solución: Se realiza multiplicando la factorial de hombres y mujeres: 4(M)!(factorial) x 5(H)! (factorial) 4!x5!=4x3x2x1x5x4x3x2x1=2880 Se soluciona así por la simple razón de que como dice el ejercicio las mujeres ocupan lugares pares entonces los hombres los impares y completamos las “casillas” con la cantidad de formas que de las cuales se pueden ordenar: HMHMHMHMH 5 4 4 3 3 2 2 1 1 Y luego multiplicamos para finalizar , es una forma de explicar lo anteriormente dicho (al principio) Resolución ejercicio nº 25 de la guía:

35. 26.) ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo que uno de ellos debe estar, 26.1)...- en el centro? 26.2) ¿en uno de los extremos? Desarrollo: 26.1) P (7-1)= 6! 6·5·4·3·2·1= 720 26.2) P (7 -1) = 6! · 2! (6 ·5· 4· 3 ·2·1) · (2· 1) =1440

36. 27.- ¿De cuantas maneras pueden colocarse 9 libros diferentes sobre una estantería de forma que: • 27.1.- ¿Tres de ellos estén siempre juntos? • 27.2.- ¿Tres de ellos no estén nunca todos juntos? • 27.1= = 6x5x4x3x2x1x3x2= 4320 • 27.2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9

37. ejercicios: 28. Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar con las letras de la palabra “empujado”. 28.1.- Si cada letra no se emplea más de una vez: R:8X7X6X5X4=6720 *Se toman 5 letras de las 8 letras de la palabra “empujado” (sin repetirse las letras) 28.2.- Si cada letra se puede repetir: R:8X8X8X8X8= 32768 *se toman 5 letras de la palabra empujado ( 8 letras) con la posibilidad de repetirse

38. 29.1 5 dígitos, 4 casillas, sin repetir _ 5!_ = 5! = 5! = 120 Arreglos (5-4)! 1! 29.25 dígitos, 4 casillas, con repetición de dígitos 5 = 625 5 4 3 2 5 5 5 5 29.- Hallar los números que se pueden formar con 4 de los dígitos: 1, 2, 3, 4,5 29.1.- Si estos no se pueden repetir en cada número 29.2.- Si se pueden repetir 29.3.-Si los dígitos no se pueden repetir. 29.3.1.- ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar, empezando por 2? 29.3.2.- ¿Terminando en 25? 4 29.3.25 dígitos, 4 casillas y termina con 2 y 5 fijos P(5-2) = P3 = 3! = 6 29.3.1 5 dígitos, un fijo (el 2 ) en 4 casillas, sin repetir P(5-1) = P4 = 4! = 24 3 2 2 5 2 4 3 2

39. 30.-Hallar cuantos números se pueden formar con los 10 dígitos , 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 . • 15.1.-Si cada uno de ellos se emplea solo una vez • 15.-2.- ¿Cuantos de ellos son impares?. • Se multiplican los números pero se le resta el cero al principio que no se toma en cuenta y que P(9-2)=7!= 5040 • Y se divide por dos para saber cantos son impares eso nos da un total de 2520

40. 31.- Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los dígitos, 1, 2,3…………….9., pudiendo estos repetirse • 31.2.- ¿Cuantos de estos números? 31.2.1.- ¿Empiezan por 40? • 31.2.2.- ¿Son pares? • 31.2.3.- ¿Son divisibles por 5? 31.2 se multiplican los 9 dígitos y nos da un total de 90.000 31.2.1= se divide por 90= eso nos da un total de 1000 números que empiezan por 40 31.2.2= se divide por dos y nos da un total de 45000 31.2.3= se divide por 5 y nos da un total de 18.000

41. 32.- ¿Cuantos números comprendidos entre 3.000 y 5.000 , se pueden formar con los dígitos , 0,1,2,3,4,5,6?, si cada uno se puede repetir en cada numero. • Se multiplica los números y se ven los que están entre esos números y eso nos da 6!= 240 números

42. Ejercicio 33 Se pueden tomar distintas posibilidades: Levantando… 1 banderola: 5 2 banderolas: 5*4 3 banderolas: 5*4*3 4 banderolas: 5*4*3*2 5 banderolas: 5*4*3*2*1 Ahora nosotros aplicamos principio sumativo: 5 + (5*4) + (5*4*3) + 5! + 5! = 325

43. 34.- ¿De cuantas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa redonda? • se ponen 5!= 5x4x3x2x10 120

44. 35-.¿De cuantas maneras se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda de modo que dos de ellas estén siempre juntas? Ya que es redonda se usa (n-1)! = 7!= 1440

45. 36.- ¿De cuantas maneras se pueden colocar 4 mujeres y 4 hombres alrededor de una mesa redonda de manera que cada mujer este entre dos hombres? • ya que es redonda se ponen intercalados es decir HMHMHMHM = 4x4x3x3x2x2x1x1= y como es redonda se usa (n-1)!= 4x4x3x3= 144

46. 37.- ¿Cuantas pulseras se pueden hacer ensartando en un hilo 9 cuentas de colores diferentes? • Se usa el principio sumativo y se multiplica los 9 colores de cuenta de la pulsera eso es igual a 9!= 20160 formas de pulseras diferentes

47. 38.- ¿De cuantas maneras se pueden elegir 5 idiomas de entre 8 de ellos? 8 8! V = ----------= eso nos da un total de 56 5 5!

48. 39.- ¿Cuantas diagonales tiene un octágono? • Se multiplican los ochos lados del octágono y se dividen por dos ya que se repiten la mitad y eso nos da un total de 20 diagonales