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Permutaciones alternantes y gráficas completas

Permutaciones alternantes y gráficas completas. Criel Merino. Polinomio de Tutte. Dado A un árbol generador y una arista e  A, hay un unico ciclo definido por e. Polinomio de Tutte. Similarmente para una arista f  A, hay un unico corte por aristas minimal que no intersecta Af. .

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Permutaciones alternantes y gráficas completas

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Presentation Transcript

  1. Permutaciones alternantes y gráficas completas Criel Merino

  2. Polinomio de Tutte Dado A un árbol generador y una arista eA, hay un unico ciclo definido por e.

  3. Polinomio de Tutte Similarmente para una arista fA, hay un unico corte por aristas minimal que no intersecta A\f.

  4. Polinomio de Tutte Tomemos un orden en las arista e1<e2<….<em . Dado un árbol generador A fijo, decimos que una arista f es activa internamente si fA y es la más pequeña en el corte por aristas que define. Una arista e es activa externamente si eA y es la arista más pequeña en el ciclo que define.

  5. Polinomio de Tutte Si G es una gráfica con un orden total en sus arista, definimos el polinomio de Tutte como donde la suma es sobre los árboles generadores de G, i(A) y e(A) son la actividad interna y externa de A. Sea Tn(x,y) el polinomio de Tutte de Kn.

  6. Árboles generadores Tn(1,1)

  7. Orientaciones acíclicas Tn(2,0)

  8. Orientaciones acíclicas con fuente predeterminada Tn(1,0) Observación.Tn+1(1,0)=Tn(2,0).

  9. Polinomio cromático

  10. Tn(x,y) Teorema (Tutte 67)

  11. Tn(x,y) Teorema (Annan 1994, Castillo 2004). Tn(x,y) se puede calcular en tiempo polinomial. Pregunta ¿que tan rápido?

  12. Polinomio de inversión Para un árbol A de Kn con raíz en r, una inversión es un par de vértices (i,j) tal que i > j y además i esta en la única trayectoria de r a j en A. Sea inv(A) el número de inversiones de A. 1 Inv(A)= 3 5 2 4 3

  13. Polinomio de inversión El polinomio de inversiones es la suma es sobre todos los árboles generadores Fn de Kn con raíz en 1.

  14. Polinomio de inversión

  15. Polinomio de inversión Sea F’n el conjunto de árboles generadores deKn con raíz en r, 1rn.

  16. Polinomio de inversión Proposición. Prueba. Sea biyección tal que construir

  17. 2 1 1 5 5 2 4 4 3 3 Polinomio de inversión

  18. Polinomio de inversión Proposición.

  19. Polinomio de inversión A 1 Inv (A)=inv( B) + inv (C) B C k n

  20. Tn(1,y) Sea

  21. Tn(1,y) Proposición. hn(y)=Jn(y).

  22. Tn(1,y) e(A)=e(B) + e(C)+ m(A) 1 A B k C n

  23. Polinomio de inversión Teorema (Mallows and Riordan ‘68)

  24. Tn+2(1,-1)=Tn(2,-1). Teorema. Para n0, Tn+2(1,-1)=Jn+2(-1)=Tn(2,-1).

  25. Tn+2(1,-1)=Tn(2,-1). H(t) es la F.G.E. de la sucesión 1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,…

  26. Tn+2(1,-1)=Tn(2,-1). Integrando

  27. Tn+2(1,-1)=Tn(2,-1). Diferenciando en ambos lados

  28. Tn+2(1,-1)=Tn(2,-1). Usando la formula de Tutte con x=2 y y=-1

  29. Tn+2(1,-1)=Tn(2,-1). Como T0(2,-1)=1. basta igualar coeficientes.

  30. Permutaciones alternantes Una permutacion es alternate (o updown) si (1)<(2)>(3)<…..Denotamos por an el número de permutaciones alternates y definimos a0=1. Ejemplo: (3412) (2413) (2314) (1324) (1423) 4 3 2 1

  31. Permutaciones alternantes Teorema ( André 1879) Teorema ( Goulden, Jackson ‘83)

  32. Permutaciones alternantes CorolarioPara n0,

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