Linear Relaxation for Hub Network Design Problems

Linear Relaxation for Hub Network Design Problems 東京大学齋藤廣大東京大学松浦史郎東京大学松井知己

Hub Network

Hub Network Problem • ここで扱う問題： • ハブ空港は与えられている｡ • 各非ハブ空港は, 唯一のハブ空港に接続｡ • 非ハブ空港間の輸送はハブを経由する｡ • 全てのハブ空港対は直接繋がっている｡ • 目的関数：総輸送費用の最小化 • 研究内容： • 非凸2次計画としての定式化 • 線形緩和問題→Hitchcock 型輸送問題 • 計算実験

定式化 • H，N：ハブ空港, 非ハブ空港の集合 • cij ：空港 i から j への単位輸送費用 • wij ：空港 i から j への需要量 • min. ∑(p,q)∈N×Nwpq (∑i∈H cpi xpi • +∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj +∑j∈H cjq xqj ) • s. t. ∑i∈Hxpi =1 (∀p∈N), ：どこかに接続 • xpi∈｛0,1｝（∀(p,i)∈N×H). • xpi =1⇔ 非ハブ pはハブiに接続する

p cpi cij q i j cjq hub hub 目的関数 • ∑(p,q)∈N×Nwpq • (∑i∈H cpi xpi • +∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj • +∑j∈H cjq xqj ) • ∑全ての非ハブペア(p,q) (pからqへの需要) • (pから接続するハブi へ • +ハブi からハブj へ • + qに接続するハブj からqへ)

gpq x2 1 1 x1 2次項の線形化 • fpq(x)=∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj • gpq(x)：関数fpq(x)の整数点での関数値の， • 下側凸包をとった関数 fpq x2 1 1 x1

線形化と連続緩和 • min. ∑(p,q)∈N×Nwpq (∑i∈H cpi xpi • +∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj+∑j∈H cjq xqj ) • s. t. ∑i∈Hxpi =1 (∀p∈N), • xpi∈｛0,1｝（∀(p,i)∈N×H). • 線形化＋連続緩和 • min. ∑(p,q)∈N×Nwpq (∑i∈H cpi xpi • +gpq(x)+∑j∈H cjq xqj ) • s. t. ∑i∈Hxpi =1 (∀p∈N), • 1≧xpi≧0（∀(p,i)∈N×H).

Primal Approach

1 1 q p 2 2 3 3 4 4 線形化 • 線形化＝Hitchcock 型輸送問題 • fpq(x)=∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj hub 空港 hub 空港非hub 空港非hub 空港 xq3=1 xp1=1 fpq(x)=c13

1 1 q p 2 2 3 3 4 4 線形化 • 線形化＝Hitchcock 型輸送問題 • fpq(x)=∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj hub 空港 hub 空港非hub 空港非hub 空港 xq2=1 xp3=1 fpq(x)=c32

1 1 0.2 q p 2 2 0.3 0.2 3 3 0.2 4 4 0.1 線形化 • 線形化＝Hitchcock 型輸送問題 • fpq(x)=∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj hub 空港 hub 空港非hub 空港 0.7 非hub 空港 0.2 0.2 0.3 xq2=1 0.5 0.1 fpq(x)=c32

1 1 q p 2 2 3 3 4 4 線形化 • 線形化＝Hitchcock 型輸送問題 • fpq(x)=∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj hub 空港 hub 空港 0.2 非hub 空港 0.7 非hub 空港 0.2 0.3 0.2 0.3 0.2 xq2=1 0.5 0.2 0.1 fpq(x)=c32 0.1

線形化 • fpq(x)=∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj • gpq(x)：関数fpq(x)の下側凸包をとった関数 • ＝下記のHitchcock型輸送問題の最適値 • min. ∑ (i,j)∈H×Hcij yij • ∑i∈Hyij =xqj (∀j∈H）, • ∑j∈Hyij =xpi (∀i∈H）, • yij ≧0 (∀(i,j)∈H×H ).

輸送問題の内包 • 輸送問題の内包 Hub 空港非hub空港

Dual Approach

gpq fpq x2 x2 1 1 1 1 x1 x1 線形不等式 • fpq(x)=∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj • gpq(x)：関数fpq(x)の整数点での関数値の， • 下側凸包をとった関数これらの線形不等式を直接記述する.

gpq x2 1 1 x1 線形不等式 • fpq(x)=∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj • gpq(x)：関数fpq(x)の下側凸包をとった関数これらの線形不等式を直接記述する. 線形不等式 ⇔Hitchcock型輸送問題の双対許容端点解線形不等式の列挙 ⇔ 双対許容端点解の列挙

双対許容端点解 • 線形不等式の列挙 • ⇔ 双対許容端点解の列挙 • 定理 [Balinski]非退化の仮定のもとでは, n×n Hitchcock 型輸送問題の双対許容端点解は 2n-2Cn-1存在する.

等式不等式系のサイズ • fpq(x)=∑ (i,j)∈H×Hcij xpi xqj • gpq(x)：関数fpq(x)の下側凸包をとった関数 • . 変数等式制約不等式制約 (k : hub の数） • Primal k2 2kー1 k2 • Dual 0 0 2k-2Ck-1 • k=2 4 3 0 • . 0 0 2 ． • k=3 9 7 0 • . 0 0 6 ． • k=4 16 7 0 • . 0 0 20 ．

既往の研究との関連 • Primal Approach • Skorin-Kapov, Skorin-Kapov, O’kelly[1994] • ハブが固定されていない問題について，定式化を提案．ハブの変数を固定すると，Primal Approach と同じ定式化になる • Dual Approach • Sohn and Park [1998] • ハブが2個で固定されているとき，線形不等式系で整数解多面体を記述（多項式時間解法）．Dual Approach での不等式系を採用

計算機実験 • CAB data: O’kelley : アメリカ２５空港間データ • 25空港から3つを選んでHub空港として計算機実験を行った． • すべての計算実験例において，線形緩和問題を解く事で整数最適解が選ばれた. • Primal Approach と Dual Approach では， Primal Approach の方が計算機時間は早い． • どの問題も5~8分程度で解ける． (lp solve)

おわり

Linear Relaxation for Hub Network Design Problems