روش عناصر محدود (برای دوره کارشناسی ارشد مکانیک سنگ) Finite Element Procedures

2. روش عناصر محدود (برای دوره کارشناسی ارشد مکانیک سنگ) Finite Element Procedures کریم عابدی

3. فصل سوم : فرمول بندی روش عناصر محدود در تحليل خطی (بخش دوم)

4. پ-2)عناصرتیری: از اين عنصر در تحليل تيرهاي پیوسته، قاب هاي مسطح و قاب هاي فضايي استفاده مي شود. - دو نظریه در تیرها 1- نظريه تير Euler-Bernoulli (بدون اثر برش)، 2- نظريه تير Timoshenko (با اثر برش). • اثر برش در فرمول بندی وارد نمی شود؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، همچنان عمود باقي مي مانند. • زاويه دوران مساوی است با: الف- تيرEuler-Bernouli:

5. ب- تير Timoshenko • اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر محور خنثی می باشند، در حالت کلی بعد از تغييرشکل عمود باقی نمی مانند؛ • زاويه دوران مساوی است با:

6. در این بخش صرفا فرمول بندی عنصر تیری بر مبنای نظريه تير Euler-Bernoulli (بدون اثر برش) ارائه می شود. - مولفه هاي تغييرمكان تعميم يافته () - تابع تغييرمكان: ( عنصر یک بعدی می باشد) ( اگر چنانچه بطور معمول در تحليل قاب از تغييرشكل هاي محوري صرف نظر شود، فقط لازم است كه در هر گره دو درجه آزادي مدنظر قرار گيرد، يك خيز قائم بر تير w و يك دوران حول محور y ( )). توجه شود که خیز، یک متغیر حالت مستقل و دوران، یک متغیر حالت وابسته می باشد). - مولفه كرنش (انحنا): - مولفه تنش (لنگر): - ماتريس مصالح C: - نحوه انتگرال گيري:

7. مراحل تشکیل ماتریس سختی عنصر تیری دوگرهی

9. پ-3) عنصر تنش مسطح: از اين عناصر براي مدل نمودن سازه هاي غشايي، رفتار درون صفحه اي تيرها و صفحه ها استفاده مي شود. در هر يك از اين حالات، يك وضعيت تنش دو بعدي در صفحه x-y وجود دارد و تنش هاي مساوي صفر مي باشند. - مولفه هاي تغييرمكان: v (x ,y) , u (x ,y) - توابع تغييرمكان ( عنصر دوبعدی می باشد): - مولفه هاي كرنش: - مولفه هاي تنش: - ماتريس مصالح C: - نحوه انتگرال گيري براي بدست آوردن ماتريس سختي:

10. پ-4) عنصر كرنش مسطح: از اين عناصر براي نمايش قسمتي( با ضخامت واحد) از يك سازه بكار مي روند كه در آن مولفه هاي كرنش مساوي صفر مي باشند. اين وضعيت در تحليل يك سد طويل بكار مي رود. - مولفه هاي تغييرمكان: v (x ,y) , u (x ,y) - توابع تغييرمكان ( عنصر دوبعدی می باشد): - مولفه هاي كرنش: - مولفه هاي تنش: - ماتريس مصالح C: - نحوه انتگرال گيري براي بدست آوردن ماتريس سختي:

11. پ- 5) عناصر خمش صفحه ای: از این عناصر در تحلیل صفحات نازک نظیر دال های سازه پل هاو واحدهای کف سازی تحت اثر بارهای جانبی قائم ( و/ یا لنگر های خمشی ) استفاده می شود (مقایسه با سازه های شبکه ای). ویژگی های این نوع سازه ها عبارتند از: 1- ضخامت نسبت به طول و عرض ناچیز می باشد، 2- تخت می باشند، 3- تحت اثر بارهای جانبی قائم و لنگر های خمشی حول محورهای x و y قرار دارند، 4- تحت اثر بارهای درون صفحه ای قرار ندارند، 5- متغیرهای حالت عبارتند از: • نکته اساسی در این است که در سازه خمش صفحه ای که در یک بعد نازک می باشد، تنش در سرتاسر ضخامت صفحه (در جهت عمود بر میان سطح) صفر است (σzz=0).

12. بررسی دو نظریه در مورد صفحات: الف) نظریه صفحه Kirchhoff ( ) (γxz , γyzقابل صرف نظر کردن و ناچیزند). • اثر برش در فرمول بندی وارد نمی شود؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، بعد از تغييرشکل نيز همچنان عمود باقی می مانند؛ • زوايای دوران مساوی است با:

13. ب) نظریۀ صفحه Reissner/Mindlin ( ) (γxz , γyzقابل صرفنظر کردن نمی باشند). • اثر برش در فرمول بندی وارد می شود؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، بعد از تغييرشکل نيز مسطح باقی می مانند؛ • مقاطع مسطح که در ابتدا عمود بر ميان سطح می باشند، در حالت کلی بعد از تغييرشکل عمود باقی نمی مانند؛ • زوايای دوران مساوی است با:

14. - نحوه استخراج معادلات حاکم بر خمش صفحه

21. اکنون می توان فرمول بندی عناصر محدود عنصر خمش صفحه ای را با استفاده از مفهوم مختصات تعمیم یافته به دست آورد: • عنصر خمش صفحه ای را به شکل مستطیل در نظر می گیریم (با 12 درجه آزادی): • مولفه های تغییرمکان تعمیم یافته متغیر حالت مستقل متغیر حالت وابسته متغیر حالت وابسته دوران ها طبق قانون دست راستی عقربه های ساعت تعریف می شوند.

22. توابع تغییرمکان (عنصر دوبعدی): برای حالت خاص عنصر خمش صفحه مستطیلی با 4 گره داریم: توجه شود که برای فرمول بندی عنصر خمش صفحه از نظریه صفحه Kirchhoff استفاده کرده ایم.

24. - مولفه های کرنش: - مولفه های تنش: - ماتریس مصالح C: - نحوه انتگرال گیری برای یافتن ماتریس سختی عناصر:

26. مثال : مطلوبست استخراج ماتريس دوران T براي يك عنصر خمش صفحه با درجات آزادي محلي و كلي نشان داده شده در شكل زير:

27. بررسی پیوستگی تغییرمکان ها و دورا ن ها در المان محدود مستطیلی برای مسائل خمش صفحه در ابتدا پیوستگی تغییرمکان در المان محدود مستطیلی برای مسائل الاستیسیته صفحه ای (حالت تنش مسطح یا کرنش مسطح ) را در نظر می گیریم: • بنابراین چهار معادله چهار مجهولی داریم، پس به اندازه کافی معادله برای حل ضرایب مربوط به این مقادیر موجود است و لذا واضحا تغییر مکان های u , v در امتداد لبه 1-3 کاملا به وسیله حرکات انتهایی لبه ( گره های 1 و 3) به طور منحصر بفرد تعیین می شوند، به عبارت دیگر پیوستگی u , v در امتداد لبه هایی که y ثابت است، کسب می شود. به همین ترتیب می توان ثابت کرد که پیوستگی u , vدر امتداد لبه هایی که x ثابت است ارضا می گردد، به عبارت دیگر در دو المان مجاور در تمام نقاط مزبور مشترک، تغییر مکان های u , v برابر هستند. بنابراین توابع انتخابی، توابع ایده الی می باشند.

28. اکنون وضعیت پیوستگی خیز و دوران ها در المان محدود مستطیلی برای مسائل خمش صفحه ای را مورد بررسی قرار می دهیم: • لذا شش معادله با 8 مجهول در دست است، بنابراین نمی توان ضرایب را تعیین کرد. • با یک بررسی دقیق می توان دید که شامل چهار ضریب هستند. در صورتی که شامل چهار ضریب دیگر است. بنابراین برای چهار معادله چهار مجهولی در دست است و می توان را بر حسب تغییرمکان های گرهی تعیین نمود. پس تغییرمکان و دوران در امتداد لبه کاملا بوسیله حرکات انتهایی لبه (گره های 1و2 ) به طور منحصر بفرد تعیین می شوند. به عبارت دیگر پیوستگی در امتداد لبه هایی که x ثابت است ، تامین می گردد. • - دو معادله باقیمانده برای تعیین چهار ضریب مجهول موجود در کافی نیست لذا دوران عمود بر لبه به طور منحصر بفرد مشخص نمی شود. بنابراین در امتداد این لبه ناپیوسته است. به همین ترتیب می توان ثابت نمود که در لبه دیگر (y=0)، در امتداد لبه ناپیوسته است.

29. پ-6) عناصر با محور تقارن (Axisymmetric Element ) از اين عناصر در تحليل محيط های پيوسته با محور تقارن استفاده مي شود. • نمونه ای از سازه های با تقارن محوری، مخازن تحت فشار، دیسک های دوار، سیلوها، برج های خنک کننده، گنبدها و شمع ها می باشند که هم از نظر شکل و هم از نظر نیروهای اعمال شده، دارای تقارن دورانی می باشند. - سازه های با محور تقارن (از نظر هندسی و بارگذاری) را مي توان به دو بخش تقسيم کرد: الف- پوسته های مدور جدارنازک که در آنها ضخامت سازه نسبت به قطرش کوچک است، ب- پوسته های مدور جدارکلفت که ضخامت آنها در مقايسه با قطرشان قابل ملاحظه است. اگر سازه ای با تقارن محوری هندسی به طور غير متقارن بارگذاری شود، در اين صورت يا بايد از تجزيه فوريه بارها برای جمع آثار جواب های هارمونيک استفاده کرد و یا اینکه به صورت زیر عمل کرد: الف- در تحلیل پوسته های مدور جدارنازک، از عناصر پوسته ای عمومی استفاده نمود، ب - در تحلیل پوسته های مدور جدارکلفت، از عناصر سه بعدی عمومی استفاده نمود.

30. پ-6-1) پوسته های مدور جدارنازک تفاوت با عنصر خمش صفحه ای:عناصر مدور جدارنازک تحت اثر نیروهای درون صفحه ای قرار دارند و تحت اثر برش و لنگر پیچشی قرار ندارند. تفاوت با عنصر تنش مسطح: عناصر مدور جدارنازک تحت اثر لنگر خمشی قرار دارند. تفاوت با عنصر پوسته ای عمومی: عناصر مدور جدارنازک تحت اثر برش و لنگر پیچشی قرار ندارند.

31. - عنصر پیشنهادی دارای دو گره حلقوی است. - هر گره شامل حرکت های محوری، شعاعی و یک دوران می باشد. - مولفه های بردار تغییرمکان گرهی: یا - مولفه های بردار نیروی گرهی:

32. :نحوه گسسته سازی در حالت پوسته استوانه ای مدور در حالت صفحه مسطح دایروی

33. :توابع تغییرمکان

34. :- مولفه های کرنش - مولفه های تنش: توجه شود که در حالت داریم: پوسته استوانه ای مدور توجه شود که در حالت داریم: صفحه مسطح دایروی - ماتریس مصالح C: - نحوه انتگرال گیری:

35. پ-6-2) پوسته های مدور جدارکلفت • اجسام با محور تقارن و بدنه های دیوار ضخیم و دوار (مانند پیستونها و راکت ها) با استفاده از عناصر • محدود خاصی تحلیل می شوند. • هر عنصر حاوی یک حلقه توپری است که سطح مقطع آن به شکل خاصی نظیر مستطیلی، چهار ضلعی • و مثلثی ایجاد می گردد. - با توجه به سادگی و قابلیت کاربرد، عناصر مثلثی دوار بیشتر مورد توجه قرار گرفته اند. المان با محور تقارن جسم با محور تقارن

36. :نحوه گسسته سازی

37. بسط ماتریس های سختی این عناصر شبیه به بسط ماتریس های مربوط به عنصر مثلثی الاستیسیته صفحه ای می باشد. اختلاف اصلی در مولفه های تنش است. به عبارت دیگر یک مولفه اضافی به نام تنش محیطی اضافه می گردد. - مولفه های تغییر شکل: - توابع تغییرمکان:

38. - مولفه های کرنش: - مولفه های تنش:

40. - نحوه انتگرال گیری: به منظور اجتناب از عملیات طولانی انتگرال گیری، یک تقریب ساده ای که منجر به نتایج خوبی گردیده است استفاده می شود. تقریب مذکور به این صورت است که ماتریسB برای یک نقطه مرکز شکل درون المان به وسیله مختصات تقریب می شود، مورد ارزیابی قرار می گیرد. لذا ماتریس سختی به سادگی به صورت زیر درمیآید که سطح مثلث است . به جای r ,z مقادیر جایگذاری می شود.

41. پ-7) عنصر پوسته ای • پوسته ها سازه هایی هستند که دارای انحناء (در یک بعد مانند استوانه، در دو بعد مانند گنبد و ...) می باشند و ضخامت آنها در مقایسه با دو بعد دیگر به طور قابل ملاحظه ای کوچک است. در ضمن تحت بارگذاری دلخواهی قرار دارند. • وجه تمایز پوسته ها با صفحات خمشی آن است که صفحات تنها تحت اثر نیروهای خمشی و برشی قرار دارند، در حالی که پوسته ها علاوه بر نیروهای خمشی و برشی، تحت اثر نیروهای غشایی(محوری) (Membrane) نیز قرار دارند. • در یک سازه صفحه ای که با عنصر خمش صفحه مدل شده است، در هر گره سه درجه آزادی داریم: w , θx , θy • ولی در یک سازه پوسته ای که با عناصر پوسته ای مدل شده است در هر گره شش درجه آزادی داریم: (θx , θy , θz , u , v , w) • وضعیت تنش در پوسته ها مشابه وضعیت تنش در صفحات خمشی می باشد. • بنابراین وجه تشابه صفحات خمشی و پوسته ها این است که می باشد، یعنی تنش در سرتاسر ضخامت پوسته یا صفحه (در جهت عمود بر میان سطح ) صفر می باشد.

42. وضعيت نيروهای داخلی در پوسته ها: • - در هر نقطه از پوسته جمعا ده کميت زير مشخص کننده برآيند نيروهای داخلی در پوسته مي باشند: • نیروهای غشایی یا میدان غشایی: • نیروهای برشی، لنگرهای خمشی و پیچشی یا میدان خمشی:

43. روابط نيرو – تنش در پوسته های عمومی نازک:

44. - طبقه بندی پوسته ها از نظر گسترش پذيری: الف- پوسته های گسترش پذير - پوسته هايي هستند که سطح هندسی آنها را بدون اينکه در آن بريدگی بوجود آورده و يا اينکه بوسيله ای در پوسته تنش و تغييرشکل ايجاد کنيم، بتوان به شکل صفحه ای مستوی در آورد. پوسته های استوانه ای که دارای انحناء یکجانبه می باشند از نوع پوسته های گسترش پذیر به شمار می روند. ب- پوسته های گسترش ناپذير - پوسته هايي هستند که سطح هندسی آنها را صرفا مي توان از طريق بريدگی و يا ايجاد تنش و تغييرشکل به شکل صفحه ای مستوی در آورد. پوسته های کروی که دارای انحناء دو جانبه می باشند از نوع پوسته های گسترش ناپذیر به شمار می روند.

45. از نظر شکل هندسی: الف- سطوح انتقالی سطح حاصله از لغزاندن يک منحنی صفحه ای را روی منحنی صفحه ای ديگر، يک سطح انتقالی مي گويند. ب) سطح دورانی سطح حاصله از دوران يک منحنی صفحه ای حول يک محور دوران را سطح دورانی مي گويند. پ) سطح لغزشی چنانکه انتهای خطی مستقيم بر روی دو منحنی صفحه ای قرار داشته و اين خط روی آن دو منحنی بلغزد، سطحی حاصل مي شود که آن سطح را سطح لغزشی می نامند.

46. ت) سطح مرکب از ترکيب انواع سطوح سه گانه انتقالی، دورانی و لغزشی مي توان سطوح مرکب بيشماری را بدست آورد. از نظر شعاع های انحناء: الف- چنان که حاصل ضرب دو شعاع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته – که انحنای گوسی ناميده مي شود- مثبت باشد، پوسته سين کلاستيک ناميده مي شود. ب- چنان که حاصل ضرب دو شعاع اصلی انحناء در هر نقطه از پوسته منفی باشد، پوسته آنتی کلاستيک ناميده مي شود. پ- چنان که يکی از دو شعاع انحناء مساوی صفر باشد، پوسته با انحناء گوسی صفر ناميده مي شود.

47. در حالت کلی دو نوع عنصر پوسته ای وجود دارد : 1- عنصر پوسته ای عمومی که برای مدل نمودن پوسته های با انحناء زیاد به کار می رود (عناصر پوسته ای عمومی ایزوپارامتریک که علاوه بر کارایی و کارامدی فوق العاده، توانایی در برگرفتن اثر تغییر شکل های برشی را نیز دارند). (فرمول بندی این نوع عنصر پوسته ای در سرفصل های دوره دکترای سازه ارائه خواهد شد). 2- عنصر پوسته ای تخت مستطیلی که برای مدل نمودن پوسته های با انحناء کم و صفحاتی که علاوه بر نیروهای خمشی و برشی، تحت اثر نیروهای درون صفحه ای یا غشایی قرار دارند، به کار می رود (نظیر شبکه های دو لایه با صفحه تقویتی در لایه فشاری و نیز سازه های پلیسه ای ).

48. پ-7-1) عنصر محدود پوسته های تخت مستطيلی يک عنصر تخت مستطيلی پوسته ای ساده را مي توان از جمع آثار رفتار خمش صفحه ای و رفتار تنش مسطح عنصر مورد استفاده به دست آورد. ماتريس سختی عنصر پوسته ای عبارت است از: اين عنصر پوسته ای را مي توان مستقيما در تحليل انواع مختلفی از سازه های پوسته ای به کار برد. از آنجا که در اين تحليل ها، در هر گره شش درجه آزادی داريم، ماتريس های سختی عنصری را که متناظر با درجات آزادی کلی مي باشند مي توان با استفاده از تبديل زير محاسبه نمود: ماتريس تبديل بين درجات آزادی محلی و کلی عنصر مي باشد نحوه اصلاح رابطه تا ضرايب سختی مربوط به دوران های محلی حول محور z در گره ها را شامل شود. اين ضرايب مساوی صفر قرار داده شده اند به اين دليل که اين درجات آزادی در فرمول بندی عنصر در نظر گرفته نشده اند جواب يک مدل را ميتوان با استفاده از رابطه فوق به دست آورد، به شرط اينکه عناصر احاطه کننده يک گره هم صفحه نباشند. در غير اينصورت ماتريس سختی کلی مي تواند به علت وجود عناصر قطری صفر و مشکلات ناشی از حل معادلات تعادل کلی تکين باشد. برای اجتناب از اين مساله داريم: عنصر تخت مستطيلی پوسته ای برای مدل نمودن پوسته های با انحناء کم و صفحاتی به کار مي روند که علاوه بر نيروهای خمشی و برشی تحت اثر نيروهای درون صفحه ای يا غشايي قرار دارند. ماتريس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار خمشی عنصر ماتريس سختی در دستگاه محلی مربوط به رفتار غشايي عنصر

49. پ-8) عنصر سه بعدی عمومی - برای تحلیل اجسام جامد سه بعدی (Three-dimensional solid body) که تحت اثر بارگذاری دلخواهی قرار دارند، به کار می روند. - مولفه های تغییرشکل:u , v , w - توابع تغییرشکل ( عنصر سه بعدی می باشد): - مولفه های کرنش( حالت عمومی کرنش): - مولفه های تنش( حالت عمومی تنش): - ماتریس مصالح C: - نحوه انتگرال گیری: