Utilisation de la méthode multipôle rapide pour les calculs de SER d’objets de grande taille

1. Utilisation de la méthode multipôle rapidepour les calculs de SERd’objets de grande taille Guillaume SYLVAND (guillaume.sylvand@eads.net) EADS CCR – DCR/EX/HP - Toulouse

2. Problème électromagnétique • Equations de Maxwell dans le domaine fréquentiel • Equations intégrales discrétisées par des éléments finis de frontière. • Applications : compatibilité électromagnétique, conception d’antenne, furtivite, etc.

3. Méthode numérique

4. Méthode d’éléments finis • Maillage de frontière en triangles • Eléments finis de Raviart-Thomas (les inconnues sont portées par les arêtes) • Système linéaire a résoudre : complexe, symétrique, plein. • Les méthodes directes sont trop coûteuses lorsque le nombre d’inconnues n croît : O(n3) operations. • Solution : Utiliser un solveur itératif en conjonction avec un produit matrice-vecteur rapide

5. La méthode FMM • La méthode multipôle rapide (Rokhlin et Greengard, 1985). En France : thèse de Darve (98). • Une nouvelle manière de calculer des produits matrice-vecteur de manière rapide mais approchée. Ne s’utilise qu’en conjonction avec un solveur itératif (GMRES, QMR). • Rapide : le temps CPU croît comme n.log(n) au lieu de n2 pour un produit matrice-vecteur classique. Devient rentable a partir de quelques milliers d’inconnues. • Approché : la FMM introduit un écart relatif de l’ordre de 10-3 10-4 par rapport à un produit matrice-vecteur exact.

6. Décomposition du noyau de Green

7. Décomposition du noyau de Green • Intérêt de la formule : diminuer le nombre d’interactions à calculer entre points « distants » • Sans FMM : • Avec FMM :

8. La méthode mono-niveau • Basée sur un découpage 3D de l’objet • Interactions entre boîtes voisines : traitées classiquement • Entre boîtes non-voisines : avec la décomposition de du noyau de Green • FMM 1 niveau : O(n3/2)

9. La méthode multi-niveau • Approche “divide and conquer” à la quicksort ou FFT pour obtenir un algo en n.log(n) • Base sur un découpage 3D récursif de l’objet

10. La méthode multi-niveau • Crée une structure d’arbre (octree) avec ces différents découpages • A chaque niveau, on a une FMM mono-niveau. • La FMM multi-niveau = faire travailler conjointement ces différentes FMM mono-niveau pour obtenir l’algorithme le plus efficace.

11. La méthode multi-niveau • Quelles interactions sont prises en compte à chaque niveau :

12. Objet 1 : Voiture C5 (Source PSA) • On calcule les courants surfaciques et le champ proche générés par une antenne placée sur le toit d’une voiture de type Citroën C5. • Complexité : • Degrés de liberté : 189.803 • Sommets : 62.757 • Éléments : 126.302 • Maillage en lambda/6. • Matériau : objet parfaitement conducteur placé dans le vide. • L’antenne est un fil portant un générateur à 1750 MHz. • Un plan de sol parfaitement conducteur est placé sous le véhicule.

13. Objet 1 : Voiture C5 (Source PSA)

14. Champ proche diffracté (65 000 Points)

15. Performances • Environnement matériel : 4 lames bi-Opteron 250 (2.4 GHz, 1 Mb cache), 4 Gb RAM, 70 Go Disque • Code Itératif multipôle (8 processeurs) : • Solveur GMRES, 100 itérations, préconditionneur SPAI, convergence à 0.01 • Temps réel : 27 minutes • Calcul du champ proche : 107 minutes • Solveur direct sur une Origin 3800, 64 processeurs : 4 jours.

16. Objet 2 : Cavité cobra • On calcule la SER monostatique d’une cavité représentant une entrée d’air. • Complexité : • Degrés de liberté : 179.460 • Sommets : 60.276 • Éléments : 119.868 • Maillage en lambda/8. • Matériau : objet parfaitement conducteur placé dans le vide. • On considère 902 seconds membres (theta=0 à 90 par pas de 0.2, polar theta et phi)

17. Objet 2 : Cavité cobra

18. Objet 2 : Cavité cobra

19. Performances • Environnement matériel : 4 PC bi-pentium 4 (2 GHz), 2 Gb RAM, 30 Go Disque • Code Itératif multipôle (8 processeurs) : • Solveur BlockGCR, 120 itérations, préconditionneur SPAI, convergence à 0.001 • Temps total : 15 heures • Intérêt de ce calcul : C’est la « pire » configuration possible pour un solveur itératif FMM : • Beaucoup de RHS (pas terrible pour solveur itératif) • Cavité (implique beaucoup d’itérations pour converger) • Et pourtant le code FMM converge sans difficulté !

20. Objet 3 : Coated cône sphère • On calcule la SER monostatique d’un cône sphère. • Complexité : • Degrés de liberté : 77.604 • Sommets : 16.840 • Éléments : 33.672 • Maillage en lambda/10 (pour le milieu d’indice le plus élevé) • Matériau : objet parfaitement conducteur + couche de diélectrique absorbant (epsilon=15+1.8i mu=1) placé dans le vide. • On considère 362 seconds membres (theta=0 à 180 par pas de 1, polar theta et phi) à 3GHz

21. Objet 3 : Coated cône sphère

22. Objet 3 : Coated cône sphère

23. Performances • Environnement matériel : 8 PC bi-pentium 4 (2 GHz), 2 Gb RAM, 30 Go Disque • Code Itératif multipôle (16 processeurs) : • Solveur BlockGCR, 60 itérations, préconditionneur SPAI, convergence à 0.001 • Temps total : 2.5 heures

24. Objet 4 : Cobra + Fuselage • On calcule la SER bistatique d’un missile comportant une cavité représentant une entrée d’air. • Complexité : • Degrés de liberté : 1.212.867 • Sommets : 404.227 • Éléments : 808546 • Maillage en lambda/8. • Longueur totale = 70 lambda • Matériau : objet parfaitement conducteur placé dans le vide. • On considère 1 seconds membres (theta=70 et phi=0) qui illumine dans l’axe de la cavité

25. Objet 4 : Cobra + Fuselage

26. Objet 4 : Cobra + Fuselage

27. Performances • Environnement matériel : 4 lames bi-Opteron 250 (2.4 GHz, 1 Mb cache), 4 Gb RAM, 70 Go Disque • Code Itératif multipôle (8 processeurs) : • Solveur GMRES, 100 itérations, préconditionneur SPAI, convergence à 0.02 • Temps réel : 70 minutes • Solveur direct : irréalisable

28. Conclusions • La FMM a été implémentée dans le logiciel ASERIS, et un effort significatif est réalisé pour amener cette solution a l’étape industrielle • Les problèmescomportant des fils et des diélectriques absorbant sont traités. • Des solveurs (block, flexible, GMRES) et des précondionneurs (SPAI) adaptés ont été développés. • On résout des problèmes de complexité “industrielle” a plusieurs millions d’inconnues

29. Perspectives • La FMM est une méthode puissante qui accélère une méthode reconnue (méthode des moments) • Code parallélisé permettant de traiter des cas de grande taille (plusieurs millions d’éléments)sur machine parallèle et cluster de PC (mémoire distribuée) • Recherche et développement continuent autour de ces méthodes • Effort sur la validation et l’industrialisation de la méthode pour toutes les applications (EMC, furtivité, etc.)