Økonometri 1

1. Økonometri1 FunktioneI form i den lineære regressionsmodel 19. oktober 2004 Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

2. Dagens program • Mere om funktionel form (kap 6.2) • Log transformation • Kvadratisk form • Interaktionseffekter • Goodness of fit (kap. 6.3) • Prediktioner (kap 6.4) • Kvalitative variable (kap 7.1) Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

3. Funktionel form • MLR forudsætter, at modellen er lineær i parametrene. • Men ikke i variablerne. • Funktionel form: Fortolkningsmæssige konsekvenser! • Tre vigtige tilfælde: • Log-transformation • Kvadratiske led • Interaktionsled • Brugen af log-transformation: Absolutte ændringer i log-transformeret variabel svarer til relative ændringer i den originale variabel. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

4. Funktionel form: Log-transformation • Økonomisk teori ofte udtrykt i afkast-størrelser (% pr. år): • BNP vækstrate: Relativ tilvækst i realt BNP fluktuerer nogenlunde konstant omkring et niveau på ca. 2 % pr. år over længere perioder: Tidsrækkemodeller • Egenkapitalforrentning (”return on equity”, Ex. 2.3, 2.6, 2.8): • Store virksomheder har (gennemgående) store overskud (målt i kr.), små virksomheder har (gennemgående) små overskud. • Mere relevant: Overskud i forhold til størrelsen af den indskudte kapital, en relativ størrelse. • Variansen på en størrelse kan afhænge af niveauet: Relativ varians er mere stabil (RoE ex). Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

5. Funktionel form: Log-transformation (fortsat) Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

6. Funktionel form: Kvadratiske led • Aftagende eller stigende marginaludbytte/-effekt: Fx kvadratisk Engelkurve: Andelen til mad aftagende, men ”flader ud”. • Multipel regressionsmodel: Men ”alt andet lige” betragtning med omtanke. • Effekt af ændring af afhænger af udgangsværdien af • Evalueres ved ”relevant” værdi, fx . Extrapolation…! Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

7. Funktionel form: Interaktionsled • Marginal effekt af at ændre værdien af en forklarende variabel, , afhænger af værdien af fx : Fx kan afkastet af erfaring variere med uddannelse: • Igen: Multipel regressionsmodel: Men ”alt andet lige” betragtning med omtanke. • Evalueringspunktet vælges med omhu. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

8. Goodness-of-fit • er et mål for modellens forklaringsgrad. • Øges når der tilføjes variabler til modellen (med mindre de er perfekt kollineære med eksisterende regressorer). • Uegnet til modelvalg. Høj er ikke nødvendig for en brugbar model. • Korrigeret , betegnet , ”straffer” for at selvom større modeller tilpasser data bedre, sker dette ved hjælp af flere forklarende variabler. • Tæller og nævner korrigeres for frihedsgrader >< Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

9. Goodness-of-fit (fortsat) • Hvis en variabel tilføjes til modellen vil øges hvis og kun hvis variablen har en t-værdi, der (numerisk) overstiger 1. • Svarer til at lave et to-sidet signifikanstest med et signifikansniveau over 30 %! • bruges i nogle tilfælde til at sammenligne ”ikke-nestede” modeller, hvor den ene model er ikke et specialtilfælde af den anden. • Men begrænsninger: Samme venstre-side variabel (samme funktionel form). Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

10. Goodness-of-fit (fortsat) • Hvor mange variabler skal med i modellen? • Overvej hvilke variabler der fortolkningsmæssigt giver mening. • Ofte flere praktiske mål for samme teoretiske størrelse: Problematisk at inkludere flere mål og så lave ”alt-andet-lige” betragtning. • Høj korrelation mellem forklarende variabler giver multikollinearitetsproblem: Svært at skelne effekterne af de enkelte variabler fra hinanden. • Har man mulighed for at tilføje variabler, der er ukorrelerede med de allerede inkluderede, vil det entydigt nedbringe residualvariansen og give mere præcise estimater. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

11. Prediktioner (forudsigelser) • Punktprediktion fra MLR: Tilpassede værdi: • MLR.3: For givne værdier af et estimat af: • er en estimator af den sande (men ukendte) middelværdi. For givne værdier af har prediktionen en standardfejl, der er afledt af standardfejlene på OLS estimaterne . Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

12. Prediktioner (forudsigelser) • Udregning af standardfejl på prediktionen: • Metoden beskrevet i Wooldrigde (side 203) • Vha. covariansmatricen (prediktionen er en lineære kombination af parametreestimaterne • Kan vises at standardfejlen på prediktionen er mindst når sættes lig deres gennemsnit. Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

13. Prediktioner (forudsigelser) (fortsat) • Ofte af interesse at konstruere et konfidensinterval for en tænkt enhed (husholdning, virksomhed, …) med nogle givne karakteristika: • Må også tage højde for variansen af fejlleddet, • Prediktionsfejlen er: • OLS er middelret og så Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

14. Prediktioner (forudsigelser) (fortsat) • Prediktionsfejlsvariansen: ukorreleret med så variansen splitter op i to komponenter: • Vil ofte være domineret af leddet (især for store n) • Prediktion af afledte variabler: Fx Y når vi modellerer y=log(Y). Husk at generelt med mindre f( ) er lineær. • For log-transformation: Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

15. Kvalitative variabler som forklarende variabler i en lineær regressionsmodel • Wooldridge afsnit 7.1-7.4 • Kvalitative variabler generelt • Dummy variable for kvalitative variable med to kategorier • Dummy variable for kvalitative variable med flere end to kategorier • Interaktionsled med dummy variable Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

16. Kvalitative variabler • Indtil nu har vi (hovedsagligt) set på kvantitative variabler (løn, priser, forbrug, indkomst) • .. Men hvad med kvalitative variabler? • Kvalitative variabler: • Diskrete variabler • Eksempler: • Køn • Kommune • Sektor • Arbejdstid (ikke arbejde, halvtid, fuld tid) • Helbred (dårligt, middel, godt) Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

17. Kvalitative variabler • I nogle tilfælde kan udfaldene af den kvalitative variabel rangordnes. Variablen kaldes så for ordinal • Eksempler: arbejdstid og helbred Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

18. Kvalitative variabler med to kategorier • For kvalitative variabler med to kategorier laves ofte en dummy variabel • Dummy variabler • Diskret variabel • Antager kun værdien 0 og 1. Normalt antages værdien 1, når egenskaben er tilstede, f.eks. kvinde=1 når person er kvinde ellers 0 • Dummy variable benyttes meget i regressionsmodeller • Kategorien hvor Dummy = 0 kaldes reference-kategorien • Dummy variable kaldes også for indikator variable og binære variable Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

19. Kvalitative variable med to kategorier • Dummy variable kan inkluderes i den multiple regressionsmodel som alm. forklarende variable • Eks: lønrelationen • hvor kvinde er en dummy variabel • Lønforskellen mellem mænd og kvinder (med samme uddannelse og erfaring) og når antagelse MLR. 3 er opfyldt Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

20. Kvalitative variabler med to kategorier • Fortolkning af parameteren til dummy variablen: • Parameteren til dummy variablen måler forskellen mellem de to kategorier • Inkludering af en dummy variabel kan grafisk fortolkes som et skift i konstantleddet • ..men afkast af de øvrige forklarende variabler er de sammen for de to grupper • Hvis den afh. var. er lineær -> parameteren fortolkes som en absolut forskel mellem to kategorier (når man kontrollerer for øvrige forklarende variable) • Hvis den afh. var. i log -> parameteren fortolkes som en ca. procentuel forskel mellem to kategorier (når man kontrollerer for øvrige forklarende variable) • Vil man have den eksakte procentuelle forskel skal følgende formel anvendes Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

21. Kvalitative variabler med to kategorier • Valg af referencegruppe: • Hvad hvis vi i stedet havde inkluderet en dummy for mand? • Man kan blot omparametrisere så får man den samme model (Husk ) • Begge variable kan ikke inkluderes (hvis der også er et konstantled i modellen) -> Perfekt multikollinaritet Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

22. Evaluering af programmer • Et meget vigtigt eksempel på dummy variabler er ”program evaluation” • Eks: Effekten af jobtræningskurser • Simpelt tilfælde: to grupper • ”Treatment” (forsøgs-) gruppen: dem som deltager i programmet • ”control” (kontrol) gruppen: dem som ikke deltager • Parameteren til dummy variablen for ”treatment” gruppen måler effekten af at have deltaget • Det er dog meget tit at denne variabel er endogen (pga. den måde økonomiske data fremkommer) Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel

23. Næste gang: • Husk næste forelæsning er TORSDAG d 21/10 kl. 8-10 i Ho10 • Mere om kvalitative variable (kap 7) • Husk eksamenstilmelding Økonometri 1: Inferens i den lineære regressionsmodel