Økonometri 1

1. Økonometri 1 Heteroskedasticitet 23. oktober 2006 Økonometri 1: F11

2. Oversigt: Heteroskedasticitet (Wooldridge kap. 8) • OLS estimation under heteroskedasticitet: • Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS • Hvordan kan man udføre gyldige test på grundlag af OLS-estimation, selvom der er heteroskedasticitet? • Korrektion af variansen af OLS estimatoren • Generelle hypotesetest under heteroskedasticitet • Test for heteroskedasticitet: • Grafisk test • Formelle test: Breusch-Pagan test, White test • Bedre (mere efficiente) estimatorer end OLS, når der er heteroskedasticitet: Vægtning af observationerne: • Weighted Least Squares (WLS) • Feasible Generalized Least Squares (FGLS) Økonometri 1: F11

3. Heteroskedasticitet • I kapitel 2 og 3 blev antagelsen om homoskedasticitet introduceret: Samme varians på fejlleddet for alle i • Antagelsen kan være meget restriktiv i praksis. Derfor vil vi se på tilfælde med heteroskedasticitet • MLR.5 er antagelsen om homoskedasticitet: • Alternativ: Modellen lider af heteroskedasticitet af ukendt form: • Vi tillader altså, at fejlleddet til hver enhed (individ, firma, land) har sin egen varians (meget generel form) • Homoskedasticitet kan ses som det specialtilfælde, hvor Økonometri 1: F11

4. Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS • Se på simpel lineær regressionsmodel • Antagelserne MLR.1- MLR.4 sikrer at OLS middelret og konsistent: Vedrører ikke variansen på fejlleddet. • Under MLR.1-5 er OLS efficient og dens varians er givet ved det simple udtryk fra kapitel 2. Økonometri 1: F11

5. Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS • Udregn variansen af OLS estimatoren, når MLR.1- MLR.4 er opfyldt, men MLR.5 ikke holder. • Variansen af OLS estimatoren er i det generelle tilfælde givet ved • Leddene i tælleren gives forskellig vægte, afhængig af • SST led forkorter ikke ud som det er tilfældet under homoskedasticitet Økonometri 1: F11

6. Konsekvenser af heteroskedasticitet for OLS • Hvis MLR.5 ikke er opfyldt, siger vi at fejlleddene er heteroskedastiske • OLS estimatorens egenskaber ved heteroskedasticitet: + OLS stadig middelret og konsistent (givet MLR.1-4) - Variansen af OLS estimaterne estimeres ikke middelret eller konsistent af de sædvanlige OLS-udtryk - Konfidensintervallet er ikke rigtigt konstrueret - t og F-test er ikke nødvendigvis t og F-fordelt, LM test er ikke nødvendigvis fordelt (og derfor er disse test ikke pålidelige) • OLS er ikke længere den bedste lineære middelrette estimator (BLUE): Der findes andre lineære middelrette estimatorer med mindre varians • OLS er ikke længere asymptotisk efficient Økonometri 1: F11

7. Hvordan kan man teste i modeller med heterosk.? • Heteroskedasticitet i fejlleddet betyder, at test der er baseret på OLS estimation kun er gyldige, hvis man korrigerer standardfejlene for heteroskedasticitet. • Til det formål er der udviklet såkaldt heteroskedasticitets-konsistente eller -robuste test. • Antag: Modellen lider af heteroskedasticitet af ukendt form: • Ideen er at opnå en estimator for variansen af OLS estimatoren, som er konsistent selvom om der er heteroskedasticitet i fejlleddet. Økonometri 1: F11

8. Korrektion af variansen i en simpel lineær regressionsmodel White (1980) har vist, at under svage betingelser vil en konsistent estimator af OLS variansen være givet ved • Heteroskedasticitets-robust varians og heterosk. robuste standardfejl (White’s standard errors, HCSE). • Beregnes fx i Proc Reg med optionen ACOV i SAS. Økonometri 1: F11

9. Korrektion af variansen i en multipel lineær regressionsmodel: Forelæsningsnoten Økonometri 1: F11

10. Test i modeller med heteroskedasticitet:Enkelt restriktion • Heteroskedasticitets-robust t-test af hypotesen: • t-teststørrelse: hvor HCSE er heterosk. robust standardfejl på • t-teststørrelsen er asymptotisk standard normalfordelt • For små datasæt er t-teststørrelserne ikke nødvendigvis tæt på en t-fordeling • Brug af ACOV optionen i SAS giver robust kovariansmatrix. HCSE beregnes som kvadratroden af diagonalelementer Økonometri 1: F11

11. Test i modeller med heteroskedasticitet: Flere restriktioner • Hypotese: hvor er en (k+1)x1 vektor af parametre, R er en q x(k+1) matrix og r er en q x1 vektor • Heterosk. robust F-test kan beregnes ud fra robust kovariansmatrix • Heterosk. robust Wald test: Wald-teststørrelsen • Det er dette test som udføres ved brug af TEST efter Proc Reg med ACOV optionen i SAS Økonometri 1: F11

12. Eksempel: Model for efterspørgsel efter cigaretter (Ex. 8.7, SAS program på hjemmesiden) Økonometri 1: F11

13. Eksempel: Hypoteseprøvning • Hypotese: Ingen indkomsteffekt: • Alm. t-teststørrelse: • Robust t-teststørrelse: • Robust Wald test (TEST efter ACOV): • Hypotese: Ingen alderseffekt: • Robust Wald test (TEST efter ACOV): Økonometri 1: F11

14. Heteroskedasticitets-robust LM test • Model: • Hypotese: Ingen alderseffekt • Trin 1: Estimer restrikterede model med OLS og gem residualerne: • Trin 2: Estimer flg. hjælperegressioner med OLS og gem residualerne Økonometri 1: F11

15. Heteroskedasticitets-robust LM test • Trin 3: Dan et nyt sæt af variabler • Trin 4: Estimer flg. hjælperegression med OLS (uden konstantled) • LM-teststørrelsen er givet ved n-SSR fra ovenstående regression • LM testet er asymptotisk fordelt som med q=2 • Eksemplet: n=807, SSR=764.70: LM=807-764.70=42.30 Økonometri 1: F11

16. Hvornår forekommer heteroskedaticitet i praksis? • Data består af størrelsesmæssigt meget heterogene enheder: Virksomheder, lande, skoler • Data består af gennemsnit over forskellige antal observationer • Per capita værdier for forskellige lande • Gennemsnit for forskellige kommuner eller skoler • Forkert funktionel form: • Hvis variansen på fejlleddet vokser med den afhængige variabel kan problemet nogen gange løses ved at lave en transformation med logaritmen • Lineær sandsynlighedsmodel • Heteroskedasticitet knytter sig til den enkelte model og det enkelte datasæt Økonometri 1: F11

17. Hvordan tester man for heteroskedasticitet? • Antag følgende model hvor antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt • Hypotese: • Alternativ formulering af hypotesen • Hvis hypotesen er forkert er en funktion af x’erne: Heteroskedasticitet • Bemærk: Systematikken er i variansen på fejlleddet, ikke i middelværdien (givet at MLR.4 holder). Økonometri 1: F11

18. Test for heteroskedasticitet • Grafiske test: • Estimer modellen med OLS og gem residualerne • Plot residualerne (eller de kvadrerede residualer) mod: • Forskellige forklarende variable: Kandidater er ”skalavariabler”, fx omsætning (virksomheder), indkomst (individer/husholdninger) • Den forudsagte værdi af den afhængige variabel • Se efter systematiske mønstre i spredningen af residualerne: • Variansen vokser i den variabel, der plottes imod: ”Trompet” • Variansen aftager i den variabel, der plottes imod: ”Omvendt trompet” • Varsom med at overfortolke, når der er forskel i datatæthed. Økonometri 1: F11

19. Test for heteroskedasticitet: Breusch-Pagan • Hvis man antager en simpel lineær relation • svarer nulhypotesen om homoskedasticitet til • Denne hypotese kan testes ved at erstatte de sande fejlled med OLS residualerne • Testet udføres enten som et F-test eller et LM test • For store datasæt vil F og LM test have de sædvanlige fordelinger selvom man har erstattet de sande fejlled med OLS residualerne Økonometri 1: F11

20. Test for heteroskedasticitet • Regressionen (*) udføres og R2u for denne regression noteres • F-teststørrelsen er givet ved • Teststørrelsen er approx. F(k,n-k-1)-fordelt under nul- hypotesen (homoskedasticitet) • LM teststørrelsen Økonometri 1: F11

21. Test for heteroskedasticitet • Specialtilfælde af BP-testet: • Hvis man mistænker, at variansen kun afhænger af en bestemt variabel. • Testet udføres ved at regressere de kvadrerede residualer på den pågældende variabel. • Bemærk at antallet af frihedsgrader er ændret for både F-testet (antal frihedsgrader: 1,n-1-1) og LM testet ( ) • Alternativt test: Whites test for heteroskedasticitet • Betingelsen kan erstattes af svagere betingelse: • skal være ukorreleret med alle forklarende variable, de forklarende variable i anden og alle krydsprodukterne Økonometri 1: F11

22. Test for heteroskedasticitet: Whites test • Antag vi har en model med k=3 • Hjælperegressionen for White’s test • NB: 9 forklarende variable • Hypotese • Teststørrelsen findes som et LM test Økonometri 1: F11

23. Test for heteroskedasticitet: Whites test • Forenklet White’s test: Hjælperegression • Hypotese • Testet konstrueres som • Fordelen ved dette test er at antallet af frihedsgrader er lavere • White’s test har asymptotisk gyldighed og er altså bedst for store datasæt Økonometri 1: F11

24. Test for heteroskedasticitet • ”Hjemmeopgave”: Udfør test for heteroskedasticitet for cigareteksemplet: • Grafiske test: Er der tegn på at variansen afhænger fx af indkomst eller alder? • BP, White’s test • Husk alle disse test er udledt under forudsætning af, at antagelserne MLR.1-MLR.4 er opfyldt • Hvis antagelse MLR.4 ikke er opfyldt kan man få at test for homoskedasticitet bliver afvist selvom antagelsen MLR.5 er opfyldt • Så afvisning af homoskedasticitet skal skyldes mere generelle former for misspecifikation: Kapitel 9 Økonometri 1: F11

25. NB’er • Antagelserne MLR.1- MLR.4, som sikrer at OLS middelret og konsistent, vedrører ikke variansen på fejlleddet. • Heteroskedasticitet betyder systematik i variansen på fejlleddet, ikke i middelværdien (givet at MLR.3 holder). • Gyldige hypotesetest kan baseres på den robuste kovariansmatrix for OLS estimatoren, selvom der er heteroskedasticitet. Økonometri 1: F11

26. Næste gang: • Fredag den 27. oktober. NB: lokale CSS 22.01.19 • Heteroskedasticitet: Kapitel 8.3-8.5 • Estimatorer der tager højde for heteroskedasticitet: • Weighted Least Squares (WLS) • Generalized Least Squares (GLS) • Husk eksamenstilmelding! Økonometri 1: F11