§ 4.4 协方差和相关系数

§4.4协方差和相关系数 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”. 1. 协方差 2. 相关系数 §4.4 矩和协方差矩阵下页

一、协方差 1.定义任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), [Covariance]定义为 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. 2.简单性质 ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X); ⑵ Cov(aX,bY) = abCov(X,Y) a,b是常数; ⑶ Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) . 下页

3. 协方差的计算公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y). 即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y). 可见，若X与Y独立，则Cov(X,Y)= 0. 下页

4.随机变量和的方差与协方差的关系 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y); 若X1,X2, …,Xn两两独立,，上式化为下页

二、相关系数 1.定义设D(X)>0, D(Y)>0, 称为随机变量X和Y的相关系数 . 在不致引起混淆时，记rXY 为r . 当r=0时，称X与Y是不相关的. 下页

Y 1 2 3 X 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0 2.相关系数的计算 1/4 例1. 设(X,Y)的联合分布如右表，求Cov(X,Y) ,ρXY . 1/2 1/4 1/4 1/2 1/4 解：计算得 E(X) = 2 , E(Y) = 2 , E(X2) = 9/2 , E(Y2) = 9/2 , D(X) =1/2 , D(Y) = 1/2 , 于是得 Cov(X,Y) = 23/6 – 4 = - 1/6 , 下页

例2.设随机变量X的方差D(X)≠0, 且Y=aX+b(a≠0), 求X和Y的相关系数ρXY. 解：下页

故 3.相关系数的性质及其与独立性的关系 ⑴ | r |≤1; ⑵ X和Y独立时， r =0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0 , 但由r =0并不一定能推出X和Y 独立. 请看下例. 下页

例3.设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,而 Y=cos(X)，求X,Y的相关系数. 解：显然E(X)=0, 而即Cov(X,Y)=0, 从而r =0，即X和Y不相关 . 但Y与X有严格的函数关系，即X和Y不独立 . 相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度. 下页

显然，若X与Y独立，则X与Y不相关， 但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立. 例外的情况是：若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是，X与Y不相关. 例4．设(X,Y)服从二维正态分布，求X,Y的相关系数. 下页

而 . 解：X,Y的联合密度f(x,y)及边缘密度 fX(x), fY(y) 如下：从而说明二维正态分布随机变量X,Y相互独立的充要条件是 ρ=0. 即X,Y相互独立与不相关是等价的. 下页

若 k=1,2,… 存在， §4.5 矩和协方差矩阵一、矩的定义设X是随机变量，若E(Xk) k=1,2,… 存在，称它为X的k阶原点矩. 称它为X的k阶中心矩. 显然，期望是X的一阶原点矩; 方差是X的二阶中心矩. 下页

若存在，设X和Y是随机变量，若E(XkYl) k,l=1,2,… 存在，称它为X和Y的k+l阶混合（原点）矩. 称它为X和Y的k+l阶混合中心矩. 协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶可见，混合中心矩. 下页

二、协方差矩阵的定义 将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩排成矩阵的形式: 称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵. 下页

若称矩阵都存在, i, j=1,2,…,n, 类似定义n维随机变量(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵. 为(X1,X2, …,Xn) 的协方差矩阵. 下页

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例5．设随机向量(X,Y)的概率密度如下,试证X与Y既不相关例5．设随机向量(X,Y)的概率密度如下,试证X与Y既不相关也不相互独立. 证明：(1) 因为同理 E(Y) = 0 . 于是 ρXY= 0 ，所以 X与Y不相关. 下页

例5．设随机向量(X,Y)的概率密度如下,试证X与Y既不相关例5．设随机向量(X,Y)的概率密度如下,试证X与Y既不相关也不相互独立. 证明：(2) 因fX(x)fY(y)≠f(x,y)，故X与Y不相互独立. 下页

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