Momento Linear e Colisões

1. Momento Linear e Colisões Profª Jusciane da Costa e Silva

2. Momento Linear e Colisões

3. Momento Linear • Colisão de um caminhão (18 rodas) e um carro. Os ocupantes de que carro ficará mais ferido? • O que determina o manejo do taco de bilhar para produzir uma colisão entre as bolas de modo que a bola alvo entre na caçapa? • Essas respostas não pode ser dadas aplicando as Leis de Newton, já que as forças atuantes não pode ser determinadas com exatidão.

4. Momento Linear e Impulso • considere uma partícula de massa m, como uma aceleração a = dv/dt “ a segunda lei de Newton afirma que: a força resultante que atua sobre a partícula é igual a derivada em relação ao tempo da grandeza (mv). Essa grandeza é chamada de Quantidade de movimento ou Momento Linear da partícula.” Direção e sentido coincidem com o da velocidade.

5. Momento Linear e Impulso Portanto Podemos expressar o momento de uma partícula em termos de suas coordenadas: “ uma variação rápida no momento linear necessita de uma força grande, enquanto uma variação lenta do momento linear necessita de uma força menor.” Este principio é usado no air bag.

6. Momento Linear e Impulso • Qual a diferença entre p = mv e k = 1/2 mv2 já que ambos depende da massa e da velocidade? Matemática: o momento é um vetor cujo módulo depende da velocidade escalar, enquanto a energia cinética é uma grandeza escalar proporcional ao quadrado da velocidade escalar. Física: temos que definir uma grandeza intimamente relacionada com momento linear denominado IMPULSO. • Consideremos uma F resultante atuando sobre uma partícula durante um intervalo de tempo t de t1 e t2. O impulso da força resultante, J, é definido como a força resultante atuante neste intervalo de tempo.

7. Momento Linear e Impulso Impulso é uma grandeza vetorial, que possui mesma direção da força. S.I: N.s • Para verificarmos a utilidade do conceito de impulso, vamos examinar a 2 lei de Newton em termos de momento linear. Quando F for constante dp/dt também será. Teorema do Impulso – momento linear.

8. Momento Linear e Impulso • Teorema do Impulso – momento linear também é válido quando as forças não são constantes. Definição geral de Impulso. • Podemos definir uma força média Fmed, de forma que mesmo quando a FR varia com o tempo, o impulso será

9. Momento Linear e Impulso • Consideremos um gráfico da força resultante em função do tempo durante uma colisão. O impulso é a área embaixo da curva no intervalo no dado intervalo de tempo. Essa área é igual a área do retângulo cuja base é (t2 – t1) e a altura é Fmed. O impulso pode ser representado por suas coordenadas.

10. Comparação entre momento e energia cinética • Diferença fundamental entre momento e energia cinética. O teorema Impulso-momento linear J = P2 – P1 afirma que as variações do movimento da partícula são produzido pelo impulso, que depende do tempo durante a qual a F atua. No entanto, o teorema trabalho-energia cinética afirma que quando um W é realizado ocorre uma variação na K; o trabalho total depende da distância ao longo da qual a F resultante atua. Exemplo: Considere uma partícula que parte do repouso no instante t1 de modo que v1 = 0. Seu momento linear inicial é p = 0 e K = 0. Suponha agora que uma FR atua sobre a partícula entre os instantes t1 e t2. Durante esse intervalo a partícula se desloca uma distância d na direção da força. O momento linear da partícula no instante t2 será O momento linear é igual ao impulso que acelera do repouso à sua velocidade atual. O impulso é igual ao módulo da FR que acelerou a partícula pelo tempo necessário para essa aceleração. Já a energia cinética em t2 é K2 = WT = fd, ou seja, é igual ao WT realizado sobre a partícula para acelerá-lo a partir do repouso.

11. Exemplo 02: Suponha que você tenha de escolher agarrar uma bola de 0.5 kg que desloca-se com uma velocidade de 4 m/s ou uma bola de 0,1 kg com v = 20 m/s. Qual das duas bolas seria mais fácil agarrar? Ambas possui o mesmo módulo p = mv = 0,5 . 4 = 0,1 . 20 = 2 kg m/s. Porém a K da bola maior é mais lenta, dada por K = 4 J enquanto K da bola menor é mais veloz, K = 20 J. Como ambas tem o mesmo momento, então as duas precisam do mesmo impulso para pará-la, contudo o W realizado por sua mão para fazer a bola menor pará é 5x maior do que a bola maior, já que a bola menor possui K cinco vezes maior do que a bola maior. Portanto, para uma dada Fmed exercida por sua mão, ela leva o mesmo tempo para fazer as bolas entrarem em repouso, porém o deslocamento de sua mão e do seu braço é cinco vezes maior para agarrar a bola mais leve.

12. Conservação do Momento Linear • O conceito de momento linear é particularmente importante quando ocorre interação entre dois ou mais corpos. • Fint = a força que uma partícula de um sistema exerce sobre a outra. • Fext = a força exercida por um corpo no exterior do sistema sobre uma parte interna ou sobre algum corpo no interior do sistema.

13. No caso dos astronautas, a força que o astronauta A exerce sobre o B é FABe força que B exerce sobre AFBA não existe nenhuma força externa, e dizemos que se trata de um sistema isolado • As forças resultantes de FAB e FBA são Os momentos linear de cada partícula varia, porém estas variações não são independentes. Pela 3 Lei de Newton FAB = -FBA de modo que FAB+ FBA=0 As taxas das variações do momento também são iguais e contrárias, de modo que d/dt(pA + pB)= 0.

14. Portanto o momento linear total P será Obtemos finalmente “a taxa de variação do momento linear total P é igual a zero. Portanto o momento linear total do sistema é constante, embora o momento linear de cada partícula possa variar.” • Quando forças externas estão presentes, deverão ser incluídas na equação acima, neste caso o momento linear total não permanece constante. Porém, quando a soma vetorial das forças externas é igual a zero, o momento total volta a ser conservado.

15. “quando a soma vetorial das forças externas que atuam sobre um sistema de partícula é igual a zero, o momento linear total do sistema permanece constante” Conservação do momento linear. • Ponto importante é que sua aplicação não depende da natureza detalhada das forças internas entre as partículas do sistema. • Para um número qualquer de partículas A, B, C,... que interagem apenas mediante a forças internas. O momento total do sistema é “ a taxa de variação do momento linear total produzida pela soma de cada par de ação e reação das forças internas entre as partículas é igual a zero.”

16. Colisão • Uma colisão é uma interação com duração limitada entre dois ou mais corpos. Bola de bilhar, acidente de carro e meteoro e a terra. • Numa Colisão há troca de momento e energia em conseqüência de sua interação. • Veremos colisões envolvendo apenas dois corpos que estarão livres que qualquer força externa, ou seja, a força externa será menor que as forças envolvidas nas colisões e portanto desprezíveis.

17. Colisões • O momento linear do sistema é conservado, já que as forças externas resultante são desprezíveis. Momento linear final será igual ao momento linear inicial. • Se a energia total não for alterada pela colisão, então K do sistema é conservada (mesma antes e depois da colisão). Tal colisão é chamada Colisão Elástica. Ex: meteoro e bilhar. • Em colisões do cotidiano, alguma energia é transferida da K para outras formas de energia, como sonora e térmica. Dessa forma a energia total do sistema não se conserva. Tal colisão é chamada de Colisão inelástica. Ex: Colisão de automóveis.

18. Colisões Inelásticas (1D) Consideremos dois corpos imediatamente antes e imediatamente depois de sofrerem uma colisão unidimensional. Podemos escrever a lei de conservação do momento linear como Podemos reescrever como Se conhecermos as massas e a velocidade inicial, saberemos a velocidade final.

19. Colisões Inelásticas (1D) • Consideremos dois corpos de massas m1 e m2, onde m1 > m2 e com m2 inicialmente em repouso (v2i = 0). Nos referiremos ao corpo parado como alvo e ao corpo incidente como projétil. • Após a colisão os corpos grudam e se movem com velocidade V. Note que V deve ser menor que a velocidade inicial. Colisão completamente inelástica

20. Colisões Inelásticas (1D) • Demonstrar que a energia K total depois da colisão inelástica é menor do que antes da colisão. As energias K antes e depois da colisão é • a razão entre a energia cinética final e inicial é O membro direito é sempre menor do que 1 porque o denominador é sempre maior que o numerador.

21. Conservação da Energia Mecânica • Exemplo 03: Pêndulo balístico (mede a velocidade da bala). • Conservação do momento • Conservação da Energia dai

22. Colisões Elásticas • As forças que atuam numa colisão elástica são forças conservativas. • Em uma colisão elástica a energia cinética de cada corpo pode variar, no entanto a K total não pode variar. Colisão elástica entre dois corpos A e B. Começamos com uma colisão 1D. Pela conservação do momento e da energia cinética, temos Se conhecermos as massas e as velocidades iniciais, podemos encontrar as velocidades finais.

23. Colisões Elásticas • Consideremos o caso em que uma das partículas está em repouso B antes da colisão. Aplicando a conservação da energia e momento Reescrevendo obtemos

24. Massas iguais Colisão elástica frontal, o corpo 1 para abruptamente e o 2 segue com a v inicial do corpo 1. • Alvo maciço O corpo 1 é rebatido com v inicial e o 2 move-se com a v muito baixa • Projétil maciço O corpo 1 continua se mover com v, e o corpo 2 dispara para frente com v aproximadamente o dobro da v inicial da bola 1.

25. Colisões Elásticas – Alvo móvel • Examinar a situação na qual dois corpos estão em movimento antes de colidirem elasticamente um no outro. • A conservação do momento linear • Conservação do momento • Usando alguma álgebra

26. Colisões em Duas Dimensões • Quando dois corpos colidem, o impulso entre o mesmos determina os sentidos que os mesmos seguem após a colisão. • Quando a colisão não é frontal, os corpos não seguem ao longo de seus eixos originais. • Para colisões bidimensionais num sistema isolado, o momento linear deve ser conservado • Se a colisão for elástica, K conserva • Escrevendo o momento em termo de suas componentes:

27. Centro de Massa • Reformular a Lei de Conservação em termos do conceito Centro de Massa. “ Centro de Massa (CM) de um sistema de partícula é o ponto que se move como se ali (1) toda massa do sistema estivesse concentrada e (2) todas as forças externas fosse aplicadas. • Veremos: • Localizar o CM em sistema com poucas partículas; • Sistemas com o grande número de partículas; • Como o CM se move quando forças externas atuam sobre o mesmo.

28. Centro de Massa Sistema de Partículas • Consideremos duas partículas de massas m1 e m2 separadas por uma distância d • Escolhemos a origem de um eixo x que coincidindo com a massa m1 definimos a posição do CM desse sistema de duas partículas como

29. Centro de Massa • Se m2 = 0, só tem uma partícula, e o CM deve estar na posição desta partícula; xCM = 0. • Se m1 = 0, de novo teremos só uma partícula e xCM = d. • Se m1 = m2, o CM deve está a meia distância entre as duas partículas; xCM = ½ d. • Se m1 e m2 0, então o CM estará entre 0 e d, ou seja, o CM estará em algum lugar entre as duas partículas Situação mais geral. Se x1 = 0, então x2 = d.

30. Centro de Massa Sistemas de n-partículas Consideremos diversas partículas cujas massas são m1, m2, m3, ...mn. Suponha que as coordenadas de m1 sejam (x1, y1), as de m2 sejam (x2,y2) e assim por diante. Definimos o CM como O vetor posição pode ser escrito como

31. Centro de Massa Corpos Sólidos Em um bastão de beisebol, contém tantas partículas que nos permite tratá-lo melhor como uma distribuição contínua de massa. • As partículas são representadas por elementos de massa dm, e portanto a soma se transforma em integral • Quando o corpo homogêneo possui um centro geométrico (cubo, circulo), o CM coincide com o centro geométrico. • Quando o corpo possui eixo de simetria (polia) o CM está sempre situado no eixo. • O centro de massa não existe somente na parte maciça do corpo, o CM da rosca está situado exatamente no centro do buraco.

32. Movimento do Centro de Massa • O que ocorre com o CM quando as partículas se movem? • vetorialmente • Representando a soma das massas m1 + m2 + mn = M, temos “ o momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa.”

33. Movimento do Centro de Massa • Para um sistema de partículas onde a Fext = 0, o momento é constante, e a velocidade do centro de massa também é constante. • Suponha que você marque o CM de uma chave inglesa, situado em um ponto entre a extremidade e o punho da chave. E a seguir coloque a chave em movimento. Apesar de achar o movimento complicado, verá que o movimento do CM segue em linha reta, como se toda a massa estivesse concentrada neste ponto.

34. Forças Externas e Movimento CM • Quando a força externa resultante sobre um sistema de partículas não é igual a zero, então o momento linear não se conserva e a velocidade do centro de massa deve variar. • derivando a última equação, temos Onde m1a1 é a força que atua sobre a partícula m1 e assim por diante, e portanto o lado direito é igual a soma de todas as forças externas que atuam sobre as partículas. Onde o somatório de todas as forças é Pela terceira lei de Newton todas as forças internas se cancelam aos pares.

35. Forças Externas e Movimento CM • Só restam as forças externas, portanto “Quando forças externas atuam sobre um corpo ou sobre um conjunto de partículas, o centro de massa se move exatamente como se toda a massa estivesse concentrada nesse ponto, e estivesse submetida a uma força igual à resultante de todas as forças que atuam sobre o sistema.” • Resultado importante, pois sem ele nós não podíamos representar uma distribuição contínua como algo puntiforme.

36. Forças Externas e Movimento CM • Suponha um projétil disparado por um canhão esteja descrevendo uma trajetória parabólica. Os fragmentos seguem novas trajetórias parabólicas, porem o CM continua a descrever sua trajetória original, exatamente como se todas a massa estivesse ainda concentrada mo CM.