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新课标（RJ）

第五单元四边形 第25讲　多边形与平行四边形第26讲　矩形,菱形.正方形第27讲梯形

第五单元四边形

第25讲┃多边形与平行四边形 第25讲多边形与平行四边形

考点聚焦 第25讲┃ 考点聚焦考点1 多边形 1．按定义分类：首尾顺次 (n－2)·180° 3

第25讲┃ 考点聚焦 相等相等轴

第25讲┃ 考点聚焦 考点2 平面图形的镶嵌形状大小平面图形镶嵌

第25讲┃ 考点聚焦 六四三二四一二二一二

第25讲┃ 考点聚焦 2m＋3n＋4k＝12 1 2 1 两一一

第25讲┃ 考点聚焦 考点3 平行四边形的定义与性质平行相等相等平分

第25讲┃ 考点聚焦 考点4 平行四边形的判定相等相等相等互相平分

第25讲┃ 考点聚焦 考点5 平行四边形的面积相等

第25讲┃ 归类示例 归类示例 ►　类型之一　多边形的内角和与外角和命题角度： 1．n边形的内角和定理的应用； 2．n边形的外角和定理的应用．例1 [2012·德阳]已知一个多边形的内角和是外角和的 1/3 ，则这个多边形的边数是________． 5 [解析] 设该多边形的边数为n，则(n－2)×180＝1/3×360. 解得n＝5.

第25讲┃ 归类示例 如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．

第25讲┃ 归类示例 ►　类型之二　平行四边形的性质命题角度： 1. 平行四边形对边的特点； 2. 平行四边形对角的特点； 3. 平行四边形对角线的特点．例2 如图25－1, 四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA. (1)求∠APB的度数； (2)如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．图25－1

第25讲┃ 归类示例

第25讲┃ 归类示例 平行四边形的性质的应用，主要是利用平行四边形的边与边，角与角及对角线之间的特殊关系进行证明或计算．

第25讲┃ 归类示例 ► 类型之三平行四边形的判定命题角度： 1. 从对边判定四边形是平行四边形； 2. 从对角判定四边形是平行四边形； 3. 从对角线判定四边形是平行四边形．例3 [2012·泰州]如，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝ CF.求证：四边形ABCD是平行四边形．图25－2 [解析] 由垂直得到∠EAD＝∠BCF＝90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD＝BC，根据平行四边形的判定即可证明．

第25讲┃ 归类示例 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵AE⊥AD，CF⊥BC， ∴∠EAD＝∠FCB＝90°. ∵AE＝ CF， ∴△EAD≌△FCB(AAS)， ∴AD＝CB. ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形．

第25讲┃ 归类示例 判别一个四边形是不是平行四边形，要根据具体条件灵活选择判别方法．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．

第26讲┃矩形、菱形、正方形 第26讲矩形、菱形、正方形

考点聚焦 第26讲┃ 考点聚焦考点1 矩形直角直相等斜边

第26讲┃ 考点聚焦 相等

第26讲┃ 考点聚焦 考点2 菱形邻边相等垂直一组对角

第26讲┃ 考点聚焦 相等垂直一半

第26讲┃ 考点聚焦 考点3 正方形平行相等直角垂直平分

第26讲┃ 考点聚焦 判定正方形的思路图：

第26讲┃ 考点聚焦 考点4 中点四边形菱形矩形正方形菱形菱形矩形

第26讲┃ 归类示例 归类示例 ►　类型之一　矩形的性质及判定的应用命题角度： 1. 矩形的性质； 2. 矩形的判定．例1 [2012·六盘水]如图26－1，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F. (1)求证：△ABE≌△FCE； (2)连接AC、BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．图26－1

第26讲┃ 归类示例 [解析] (1)利用AAS可得出三角形ABE与三角形FCE全等； (2)利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出四边形ABFC为矩形．

第26讲┃ 归类示例 ►　类型之二　菱形的性质及判定的应用命题角度： 1. 菱形的性质； 2. 菱形的判定．例2 [2012·重庆]已知：如图26－2，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2. (1)若CE＝1，求BC的长； (2)求证：AM＝DF＋ME. 图26－2

第26讲┃ 归类示例 [解析] (1)根据菱形的对边平行可得AB∥CD，可得∠1＝∠ACD，所以∠ACD＝∠2，得CM＝DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得CE＝DE；(2)证明△CEM和△CFM全等，得ME＝MF，延长AB、DF交于点N，然后证明∠1＝∠N，得AM＝NM，再利用“角角边”证明△CDF和△BNF全等，得NF＝DF，最后结合图形NM＝NF＋MF即可得证．

第26讲┃ 归类示例 在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形．若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明．

第26讲┃ 归类示例 ► 类型之三正方形的性质及判定的应用命题角度： 1. 正方形的性质的应用； 2. 正方形的判定．例3 [2012·黄冈]如图26－3，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF. 图26－3 [解析] 根据DE＝CF，可得出OE＝OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即可得出结论．

第26讲┃ 归类示例 正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质；正方形的判定方法有两条道路：(1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；(2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．

第26讲┃ 归类示例 ► 类型之四　特殊平行四边形的综合应用命题角度： 1. 矩形、菱形、正方形的性质的综合应用； 2. 矩形、菱形、正方形的关系转化．例4 [2012·娄底]如图26－4，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点． (1)求证：△MBA≌△NDC； (2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．图26－4

第26讲┃ 归类示例 ► 类型之五　中点四边形命题角度： 1. 对角线相等的四边形的中点四边形； 2. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形．例5 [2011·邵阳]在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE. (1)请判断四边形EFGH的形状，并给予证明； (2)试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形(写出你所添加的条件，不要求证明)．图26－5

第26讲┃ 归类示例 依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．

回归教材 第26讲┃ 回归教材探索正方形中的三角形全等教材母题人教版八下P104习题T15 如图26－6，四边形ABCD是正方形．点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.求证：AF－BF＝EF. 图26－6

第26讲┃ 回归教材 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°. ∵DE⊥AG， ∴∠DEG＝∠AED＝90°， ∴∠ADE＋∠DAE＝90°. 又∠BAF＋∠DAE＝∠BAD＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF. ∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEG＝∠AED， ∴△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，故AF－BF＝AF－AE＝EF. [点析]正方形含有很多相等的边和角，这些是证明全等的有力工具．

中考变式 第26讲┃ 回归教材 1．[2010·红河]如图26－7，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点(G与B、C两点不重合)，E、F是AG上的两点(E、F与A、G两点不重合)，若AF＝BF＋EF，∠1＝∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论．图26－7

第26讲┃ 回归教材 解：根据题目条件可判断DE∥BF. 证明如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAF＋∠2＝90°. ∵AF＝AE＋EF，又AF＝BF＋EF， ∴AE＝BF. ∵∠1＝∠2，∴△ABF≌△DAE(SAS)． ∴∠AFB＝∠DEA，∠BAF＝∠ADE. ∴∠ADE＋∠2＝∠BAF＋∠2＝90°， ∴∠AED＝∠BFA＝∠DEG＝90°. ∴DE∥BF.

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