Stochastické modelovanie

Prednáška 6 Stochastické modelovanie

Modely obnovy Teória obnovy J. Lotka v r. 1933 - analýzuobnovysúborovstrojov rozpracovanie M. Frechet, V. Feller, aplikácie I. Kožniewska. MODELY OBNOVY

Nahradenie objektu, zariadením novým. Výmena celého objektu, resp. niektorých jeho prvkov - pokles výkonnosti Problematika výmen prvkov nemeniacich svoje vlastnosti - zlyhanie Typickým rysom modelov obnovy - odhady a prognózy pravdepodobnostného charakteru Úlohy teórie obnovy

1.Možnosť realizovania opráv: - opravovaných objektov - neopravovaných objektov - technicky homogénnych resp. nehomogénnych súborov objektov - s rovnorodou resp. nerovnorodou začiatočnou vekovou štruktúrou 2. Výskyt náhodných veličín: - deterministické - stochastické 3. Predpoklad diskrétneho alebo spojitého procesu obnovy: - diskrétne modely obnovy - spojité modely obnovy 4. Zohľadnenie nákladov: - bez nákladov/ s nákladmi - s diskontovaním/bez diskontovania nákladov budúcich období Klasifikácia modelov obnovy

Obnova opravovaných objektov s diskontovaním nákladov optimalizovať proces obnovy stratégiou obnovy optimálna stratégia obnovy Diskontované náklady: Modely optimálnej životnosti a stratégie obnovy

K c1, c2, …., cn cj-1<cj pre j = 1,2, …, n Diskontná hodnota N(n) všetkých budúcich nákladov po každých n - obdobiach:

Kritérium pre optimalizáciu počtu období n pre obnovu objektu: N(n-1) – N(n) > 0 a N(n+1) – N(n) > 0, N(n) minimum

Optimálna stratégia obnovy: • neobnovovať objekt: • c(n+1)< vážený priemer N(n) • obnovovať objekt • c(n+1)> vážený priemer N(n)

Obstarávacie náklady objektu sú 100000 p.j., ročná úroková miera je 7 a predpokladané náklady na údržbu objektu sú v jednotlivých rokoch uvedené v tabuľke. Treba určiť optimálne obdobie pre obnovu objektu tak, aby sa minimalizovala diskontovaná hodnota všetkých budúcich nákladov na obstarávanie a údržbu objektu. Príklad

1. Diskrétne modely obnovy Životnosť - • pravdepodobnosťou zlyhania objektu v k-tom období: ak • pravdepodobnosťou prežitia k –období: rk N0 - počet objektov na začiatku pozorovania Nk - počet objektov činných v k-tom období MODELY OBNOVY objektov vyraďovaných po zlyhaní

Pravdepodobnosť prežitia k období bez zlyhania: • Pravdepodobnosť zlyhania v k-tom období: • Potenciálna životnosť objektu do budúcna: • T - fyzická hranica životnosti objektov

Pravdepodobnosť vyradenia: • Miera zlyhania : • Priemerná životnosť (priemerný čas bezporuchovej prevádzky):

Podľa začiatočnej vekovej štruktúry objektov: modely s rovnorodou začiatočnou vekovou štruktúrou modely s rôznorodou začiatočnou vekovou štruktúrou uk– počet objektov, ktoré na začiatku k-teho obdobia zaraďujeme namiesto vyradených na konci k-1 obdobia. technicky homogénne objekty ak=rk A. Diskrétny model obnovy s rovnorodou začiatočnou vekovou štruktúrou

1. Pravdepodobný počet obnov v k-tom období – uk • Rovnica obnovy • počet objektov na začiatku u0 • počet objektov vyradených na konci • 1.obdobia, počet obnov po 1.období a1 . u0 = u1 • 2.obdobia: • začiatočný súbor a2 . u0 • doplnený súbor (u1) a1 . u1 • a2u0 + a1u1 = u2 • Sústava rovníc • u1 = a1 . u0 • u2 = a1u1 + a2u0 • u3 = a1u2 + a2u1 + a3u0 • ................................... • uT-1 = a1uT-2 + a2uT-3 + … + aT-1u0

n ≥ T: un = a1un-1 + a2un-2 + … + aTun-T Pri T = 2 je riešenie: Asymptotický počet obnov:

Pravdepodobnosti dožitia rk Počet nových objektov u0 = u0 . r0 Na konci 1. obdobia: Počet nových objektov sa rovná u1 = u1 . r0 Počet jedno obdobie starých objektov u0 – u1 = u0 – a1u0 = u0(1 – a1) = u0( -a1) = u0. =u0.r1 Na konci 2. obdobia: Počet nových objektov sa rovná u2 = u2 . r0 Počet jedno obdobie starých objektov: u1 – a1u1 = u1(1 – a1) = u1.r1 Počet dve obdobia starých objektov: u0 – a1u0 – a2u0 = u0(1 – a1 – a2) = u0r2 2. Veková štruktúra objektov v jednotlivých obdobiach

Tabuľka obnov a vekovej štruktúry:

Uvažujme súbor 10000 kusov drevených obalov, ktoré majú maximálnu životnosť 3 roky (T=3). Zo skúseností vyplynulo, že 25% obalov je potrebné vymeniť po prvom roku používania, 35% po druhom a 40% po treťom roku. Stanovte priemerný počet nových obalov, potrebných na náhradu opotrebených na dobu 5 rokov tak, aby na začiatku každého roku ich bolo 10000. Na začiatku boli všetky obaly nové. Príklad

rk/rk-1 u1 = a1*v0 + v1*a2/r1 + v2*a3/r2 + ... + v(T-2)*a(T-1)/r(T-2) + v(T-1) u2 = a1*u1 + a2*v0 + v1*a3/r1 + v2*a4/r2 + ... + v(T-3)*a(T-1)/r(T-3) + v(T-2)*aT/r(T-2) . . . u(T-1) = a1*u(T-2) + a2*u(T-3) + ... +a(t-1)*u0 + v1*aT/r1 . . . u(n) = a1*u(n-1) + a2*u(n-2) + ... + aT*u(n-T) B. Diskrétny model jednoduchej obnovy s rôznorodou začiatočnou vekovou štruktúrou

Tabuľka obnov a vekovej štruktúry

Uvažujme súbor 1000 objektov, ktoré majú maximálnu životnosť 5 rokov (T=5). Zo skúseností vyplynulo, že 20% objektov je potrebné vymeniť po prvom roku používania, 43% po druhom, 17% po treťom roku, 17% po štvrtom a 0,03% po piatom roku. Na začiatku je nasledovná veková štruktúra: v0 = 500 kusov, v1 = 320 kusov, v2 = 74 kusov, v3 = 100 kusov a v4 = 6 kusov. Úlohou je stanoviť priemerný počet nových objektov, potrebných na náhradu opotrebených na dobu 7 rokov tak, aby na začiatku každého roku ich bolo 1000. Príklad

Stochastické modelovanie