4 장 . 선형방정식의 해법과 응용 (1~3 장 까지의 내용 review)

4장. 선형방정식의 해법과 응용(1~3장 까지의 내용 review) 최 윤정

Contents 4.1 가우스 소거법을 이용한 선형방정식의 해법 • 첨가행렬로의 표현 • 가우스-조단 소거법에 의한 선형방정식의 해법 • LU-분해법에 의한 선형방정식의 해법 4.2 선형방정식의 다양한 응용들 • 여러 가지 응용들 • 화학방정식에의 응용 • 교통 흐름에의 응용 • 마르코프 체인에의 응용 • 암호 해독에의 응용 • 키르히호프 법칙에의 응용

4.1.1 첨가행렬로의 표현

4.1.2 가우스-조단 소거법에 의한 선형방정식의 해법

LU-Decomposition • Ax = b 에서 A = L U 로 인수분해하여중간해를 구한 후, 다시 원래의 해를 구하는 방법. • L = 하부삼각행렬, U = 상부삼각행렬 • 두리틀(Doolittle method), 촐스키(cholesky), 크라우트(crout) • 조사해보기. • 진행방법 • Step1 : Ax = b 를LUx = b 로치환 • Step2 : Ux = y 로두고, Ly = b로 대체 • Step3: Ly=b 에 대하여 y를 구하고 • Step4 Ux=y를 대입하여 x에 대한 최종해를 구한다.

예제 4-8 a1 0 0 b1 b2 0c1 c2 c3 • x1 + x2 + x3 = 7 • x1 + 2x2 + 2x3=7 • x1 + 2x2 + 3x3=5 • Step1 : Ax = b 의 형태로. 1 1 1 1 2 2 1 2 3 a'1 a'2 a'3 0 b'1 b'20 0 c'1 • Step2 : A = LU 의 형태로! a1 0 0 b1 b2 0c1 c2 c3 x1 X2 x3 7 7 5 a'1 a'2 a'3 0 b'1 b'20 0c'1 1 1 1 1 2 2 1 2 3 x1 X2 x3 7 7 5 = = • Step3 : LUx = b 에서 Ux를 y로 치환! • Step4 : Ux대신 y 를 대입하여 L y = b a1 0 0 b1 b2 0c1 c2 c3 y1 y2 y3 7 7 5 a1 y1 = 7b1 y1 + b2 y2 = 7 c1 y3 + c2 y2 + c3 y3 = 5 …….. =

LU-분해론에 대하여. 좀더 찾아보세요. • 원행렬 A를 L과 U 의 두 개의단순한 문제로 바꾸어 (물론 분해연산은 필요합니다.) • 순서대로 대입하는 것과 거꾸로 대입하는 방법을 몇 번함으로써 (역행렬의 존재와 상관없이) 너무도 쉽게 풀 수 있게 된다. • 이것이 Von Neumann과 함께 최초의 stored-program 컴퓨터를 개발한 Alan Turing이 1948 년에 소개한 LU-분해이며 그 후10년만에, 주어진 행렬를 그와 닮음인(similar) block 대각 행렬로 수렴시키는 QR-factorization을 이용한 QR-algorithm이 F. H. Wilkinson과 Householder 등의 기여로 개발되었으며 • 이러한 분해이론은 그후Cholesky분해, Polar Decomposition, Singular Value Decomposition, L D LT Decomposition 등으로 다양한 연구의 한 분야가 되어 오고 있다. • 실제로, 이 기간동안 행렬이론의 기존의 또, 새로운 지식은 선형계획법, 비선형계획법, Markov Chain, 암호이론, 인구문제, 교통문제, 최적화이론, 수치해석학등의 다양한 연구분야를 개척하고 발전시키는데 큰 기여를 기여했던 것이다. • 우리 사회의 여러 문제를 수학적으로 표현하여 수학 문제로 바꾸어 놓은 후, 그 문제를 선형화하여 일차연립방정식과 관련된 문제로 바꾼 후, 행렬에 대한 지식을 이용하여 쉽게 해를 구한 다음 그 해를 원래 사회문제에 대한 답으로 해석하는 것이 바로 수학의 역할 중의 하나이다. • 이 과정에서 선형성에 근거한 컴퓨터를 만들었으며 그러한 컴퓨터의 발전과 더불어 선형대수학을 포함한 선형대수학의 연구와 이용이 20세기 후반에 가히 폭발적으로 활발해졌다……… • ( … )

응용하기 화학방정식 교통 흐름 마르코프체인 암호 해독 키르히호프법칙 실제로는 훨씬더 많아요

4.2.1 여러 가지 응용들

4.2.2 화학방정식에의 응용1

4.2.2 화학방정식에의 응용2

4.2.2 화학방정식에의 응용

4.2.3 교통 흐름에의응용

4.2.4 마르코프 체인에의 응용

4.2.5 암호 해독에의 응용

4.2.6 키르히호프 법칙에의 응용

전기회로에서 키르히호프의 법칙을 이용하여 전류와 전압의 관계를 행렬로 나타냄으로써 그들의 관계를 명확히 구할 수 있다. • 복잡한 화학방정식도 선형방정식을 이용하면 비교적 쉽게 풀 수 있다. • 레온티에프의 경제 모델과 같이 경제학에도 선형방정식이 많이 응용되고 있다. • 어떤 도로망에서 시간당 차량이 통과하는 수를 선형방정식으로 모델링함으로써 도로의 확장 등에 중요한 자료로 쓸 수 있다. • 주어진 벡터에다 적절한 행렬을 곱함으로써 확대, 축소, 회전 등의 연산이 매우 편리하게 이루어지며, 이것을 여러 가지 응용에 널리 활용할 수 있다. • 섭취하는 음식의 칼로리와 운동을 통해 소모되는 칼로리들의 관계를 행렬과선형방정식으로 나타내어 풀 수 있으므로 전문적인 다이어트 관리에 응용될 수 있다. 선형방정식의 생활속의 응용

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