810 likes | 1.09k Views
www.muratguner.net. ÜÇGENLERDE BENZERLİK. HER GENÇ GEOMETRİ ÖĞRENEBİLİR. MURAT GÜNER İSTANBUL- 2004. www.muratguner.net. www.muratguner.net. www.muratguner.net. TIPKISININ AYNISI. A. D. c. b. f. e. a. B. C. d. E. F. www.muratguner.net. 1- BENZER ÜÇGENLER.
E N D
www.muratguner.net ÜÇGENLERDE BENZERLİK HER GENÇ GEOMETRİ ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER İSTANBUL- 2004
www.muratguner.net TIPKISININ AYNISI
A D c b f e a B C d E F www.muratguner.net 1- BENZER ÜÇGENLER Karşılıklı açıları eş ve karşılıklı kenarları orantılı olan üçgenlere benzer üçgenlerdenir. ABC ve DEF üçgenleri için Buradan ABC üçgeni DEF üçgeni benzerdir denir ve biçiminde gösterilir. m ( D ) m ( A ) = m ( E ) m ( B ) = ABC DEF m ( F ) m ( C ) = oranı yazılabilir.
www.muratguner.net eşitliğinde verilen k sayısına , benzerlik oranı veya benzerlik katsayısı denir. k = 1 olan benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar eşit olduğundan , bu üçgenlere eş üçgenler denir. ABC DEF benzerliği yazılırken eş açıların sıralanmasına dikkat edilir. ABC DEF Hayalleri olanlar asla uyuyamaz.
D A E 5 5 B C F www.muratguner.net ÖRNEK ABC üçgeni ile DEF üçgeni karşılıklı açıları eş olduğundan benzerdir. A ve D eş açıların gördüğü kenarlarda eşit olduğundan aynı zamanda eş üçgendir. ( l BC l = l EF l = 5 cm )
D E 2m + 3 Şekilde [ DE ] // [ AB ] I AC I = I CE I I DE I = 2m + 3 I AB I = m + 5 ise m kaçtır? C m + 5 A B www.muratguner.net ÖRNEK b a c c a b ÇÖZÜM ABC EDC m + 5 = 2m + 3 2 = m
D [ DC ] [ BC ] ,[ DE ] [ AC ] [ AB ] [ AC ], I AE I = 2 cm , I AB I = 4 cm ve I DC I = I BC I ise A( ADC ) = ? A C E 2 4 B www.muratguner.net ÖRNEK b x 6 a 4 b x a ÇÖZÜM BAC CED l CE l = 4 6.6 = 18 A( ADC )= lACl = lDEl = 4+2 = 6 2
E A Şekilde [ BE ] [ AD ] = { C } I AC I = I CE I I BC I = I CD I ve I EDI =8 cm ise I AB I = ? 8 C B D www.muratguner.net ÖRNEK 8 a a ÇÖZÜM I ABI = 8 cm
C Şekilde I AB I = I AC I I CD I = I EBI I AE I = x + 2 I AD I = 2x –1 ise x kaçtır? D E B A www.muratguner.net ÖRNEK Eş üçgenler a 2x -1 x+2 a ÇÖZÜM x + 2 = 2x –1 3 = x
A D Şekilde [ AD ] // [ BC ] I AE I = I BC I I AD I = I AC I m( DEC )= 65° ise ABC açısının ölçüsü kaç derecedir? 65° E C B www.muratguner.net ÖRNEK a a ÇÖZÜM A A D a 180°– 65° = 115° E 180°– 65° = 115° a C B
E Şekilde I AB I = I BE I I BC I = I BD I I AD I = 12 cm m( ABE ) = m( DBC )= 60° ise I EC I =? D A 60° 60° C B www.muratguner.net ÖRNEK c ÇÖZÜM D E 12 12 A 60°+ c 60° + c B C B
A D c b f e a B C d E F m ( E ) ve m ( B ) = www.muratguner.net 2- AÇI – AÇI BENZERLİK TEOREMİ Karşılıklı ikişer açıları eş üçgenler benzerdir. m ( D ) m ( A ) = ABC DEF m ( F ) m ( C ) = İkişer açıları eş olduğundan üçüncü açıları da eş olur.Bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.
D A Şekildeki üçgenlerin benzerliği nasıl yazılır? 50 70 50 60 B C E F www.muratguner.net ÖRNEK 60 70 ÇÖZÜM FDE ABC ( A.A.A ) BAC DFE ( A.A.A ) 50 60 70 50 60 70 60 50 70 60 50 70 ABC FDE EDF CBA ( A.A.A ) ( A.A.A ) 50 60 70 70 60 50 50 60 70 70 60 50 …… ……
A Şekilde verilenlere göre E F 40 30 C D B A E ABC DEFise kaç derecedir? ABC DEF ise F 40 30 C D B www.muratguner.net 1999 ÖRNEK ÇÖZÜM m ( D ) m ( A ) = m ( E ) m ( B ) = m ( F ) m ( C ) = 50 40 + 40 = 60 + 50 50 60 = 70
A BAC dik üçgen [ ED ] [ BC] l AE l = 3 cm , l EC l = 5 cm l DC l = 4 cm x = ? 3 E 5 4 x D B C www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM A ( A.A.A ) BAC EDC 3 E 5 4 x D B C x = 6
A m ( BAC ) = m ( BDE ) ise x = ? 5 2 D x C B 3 A E 5 2 D x C B 3 E www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM BAC EDC ( A.A.A ) Başarı tatlıdır ama çoğunlukla ter kokar
A E 6 Şekilde verilenlere göre x = ? 4 x D 2 B C www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM ABC CDE ( A.A.A ) x = 12
A Şekilde CDEF bir kare old. göre x = ? 4 E D x F C B 9 www.muratguner.net ÖRNEK θ β x θ x β x ÇÖZÜM AED EBF ( A.A.A )
A x Şekilde verilenlere göre x = ? E 3 D B C 4 2 www.muratguner.net ÖRNEK θ θ β ÇÖZÜM ABC DBE ( A.A.A )
www.muratguner.net 1998 ÖRNEK A 16 Şekildeki l BE l = x = ? D 15 4 x C B E ÇÖZÜM A ABC EBD 16 D 15 4 x = 16 / 5 x C B E 25 ( 3- 4- 5 )
A Şekildeki l BC l = x = ? D 24 10 8 C B E x www.muratguner.net 1993 ÖRNEK ÇÖZÜM ABC EBD
Şekildeki [ BO ] çaplı çember ,O merkezli ve [ BC ] çaplı çembere B noktasında içten teğettir.AB doğrusu her iki çembere B noktasında teğet AC doğrusu da içteki çembere D noktasında teğet olduğuna göre A D B C O ABC NDC www.muratguner.net 2000 ÖRNEK y y x r r 2r N ÇÖZÜM
D C 8 Şekilde ABCD bir dik yamuk , E 15 l BC l = 15 cm , l AB l = 16 cm l CD l = 8 cmold.göre l BE l = x = ? x A B 16 m( ABC ) = m(CDE ) ABC DCE www.muratguner.net 1993 ÖRNEK θ θ ÇÖZÜM
www.muratguner.net 3- KENAR – AÇI – KENAR BENZERLİK TEOREMİ İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarı orantılı ve bu kenarların oluşturduğu karşılıklı açılar eş ise üçgenler benzerdir. A D c b f e a B C d E F ABC DEF m ( D ) m ( A ) =
www.muratguner.net ÖRNEK A Şekilde verilenlere göre x = ? 2 E x 4 B C D 5 3 ÇÖZÜM A E eşitliği sağlandığından 6 x CAB EDB 4 ( K. A. K ) x = 7 B C D B 3 8
A B B 2 [ AB ] // [ CD ] , l AB l = 2 cm l AC l = 3 cm l BC l = 4 cm l CD l = 8 cm old. göre l BDl = x = ? 3 x x 4 C C D D 8 8 m( ABC ) = m( BCD ) = A B 2 4 3 4 C C www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM ( İç ters açılar ) CBA DCB ( K. A. K )
ABC DEF www.muratguner.net 4- KENAR – KENAR – KENAR BENZER TEOREMİ İki üçgenin karşılıklı bütün kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzerdir. A D c b f e a B C d E F m ( D ) m ( A ) = m ( E ) m ( B ) = Kenarları orantılı olan ABC ve DEF benzer üçgenlerinde orantılı kenarları gören açılar eştir. m ( F ) m ( C ) =
A D E C B www.muratguner.net 5- TEMEL BENZERLİK TEOREMİ Bir üçgenin kenarlarından birine çizilen paralel doğru , kestiği diğer kenarlar üzeride orantılı parçalar ayırır. ABC ADE VEYA ( [ DE ] // [ BC ] )
A [ DE ] // [ BC ] ise l BC l = x = ? 5 E 6 D 2 x B C www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM [ DE ] // [ BC ] olduğundan ( T.B.T )
K Şekilde ABCD bir yamuk olduğuna göre x = ? x C D 4 3 B 8 A www.muratguner.net 1991 ÖRNEK ÇÖZÜM [ DC ] // [ AB ] olduğundan ( T.B.T )
A D 3 E 4 B F C 2 5 www.muratguner.net 1995 ÖRNEK 10k 7k 4k a 5 – a K ÇÖZÜM ( T.B.T ) ( T.B.T )
A [ DE ] // [ BC ] , [ BE ] açıortay olduğuna göre l BC l = x kaç cm dir? 3 D E 2 x B C m( DEB ) = m( EBC ) = www.muratguner.net ÖRNEK 2 ÇÖZÜM [ DE ] // [ BC ] olduğundan ( İç ters açılar ) Buna göre l DE l = 2 cm ( T.B.T ) ( İkizkenar Üçgen )
A 2 Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup AEDF bir paralel kenardır. Buna göre l EC l = x = ? 6 E F x 3 C B D www.muratguner.net 1992 ÖRNEK 6 2 ÇÖZÜM x = 4 ABC FBD
A x Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup AEDF bir paralelkenarının çevresi kaç cm dir? y E 20 F 4 C 3 B D 12 www.muratguner.net 1997 ÖRNEK y x ÇÖZÜM 2( x + y ) = 2( 4 +16 ) = 40 15y = 48 + 12y x = 4 3y = 48 y = 16
www.muratguner.net 1996 ÖRNEK A Şekildeki ABC üçgeninde D , E ve F noktaları kenarlar üzerinde olup BFED bir eşkenar dörtgendir. Buna göre l EC l = x = ? 15 16 y F E y x y y D 25 – y B C 25 ÇÖZÜM
y A ( x , y ) 1 45 x O – 2 – 3 www.muratguner.net 2005 ÖRNEK A noktasının koordinatları toplamı kaçtır? y = x – 3 x – 3 x 3 ÇÖZÜM +
www.muratguner.net ÖRNEK Soru Sayısı 1.Öğrenci Yanda grafikte iki öğrencinin zamana göre çözdükleri soru sayıları verilmiştir.Şekle göre kaçıncı saatte çözdükleri soru sayıları eşitlenir? 2.Öğrenci 135 b a 60 Zaman ( Saat ) t O 2 5 ÇÖZÜM
A Şekildeki ; l AL l = l LH l = l HK l = l KB l [ LD ] // [ HF ] // [ KE ] // [ BC ] l KE l = 2 cm ise l BC l = x = ? L D H F 2 K E x C B www.muratguner.net 2002 ÖRNEK a a a a ÇÖZÜM BKE BLD ALD ABC
A [ DA ] // [ EK ] , [ KL ] // [ BC ] l DE l = 2 cm , l EB l= 3 cm , l KL l = 4 cm old. göre l BC l = ? 4 D L K 2 E 3 C B www.muratguner.net ÖRNEK 2a 3a ÇÖZÜM [ KL ] // [ BC ] olduğundan [ DA ] // [ EK ] olduğundan ( T.B.T )
A [ DF ] // [ BE ] , [ DE ] // [ BC ] l AF l = 4 cm , l AD l= 2l BD l old. göre l EC l = ? 4 F D E x B C www.muratguner.net ÖRNEK 2y 2 y ÇÖZÜM [ DF ] // [ BE ] ( T.B.T ) [ DE ] // [ BC ] ( T.B.T )
d1 A D d2 E B d3 C F www.muratguner.net 6- TALES TEOREMİ Paralel doğrular kendilerini kesen doğruları aynı oranda bölerler. d1 // d2 // d3 doğruları için VE
A D d1 // d2 // d 3 , l DF l = 10 cm l AB l = 2 cm l BCl = 3 cm olduğuna göre x = ? d1 2 B E d2 x 3 d3 C F www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM
A 3 D d1 // d2 // d 3 , l AD l = 3 cm l DE l = 6 cm l l BE l = 5 cm l CF l = 8 cm olduğuna göre x = ? d1 6 5 B E d2 x d3 C 8 F A 3 D 6 B E x C F www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM 2 3 5 3
5 A D [ AD ] // [ BE ] // [ CF ] l AD l = 5 cm l BE l = 8 cm l l AB l = 2 cm l BC l = 4 cm l CF l = 8 cm olduğuna göre x = ? 2 8 B E 4 x F C 5 A D 2 B E 4 F C www.muratguner.net ÖRNEK ÇÖZÜM 5 3 5 x – 5
Benzer üçgenlerde orantılı kenarlara ait yüksekliklerin oranı benzerlikler oranına eşittir. A D ha hd c b f e a B C d E F www.muratguner.net 7- BENZERLİK ÖZELLİKLERİ ABC DEF
A DEFG karesinin köşeleri ,şekildeki ABC üçgeninin kenarları üzerindedir. l AH l = 8 cm ve l BC l = 12 cm olduğuna göre l DE l = x = ? G D C B E F H ABC ADG www.muratguner.net 1999 ÖRNEK 8 – x x x ÇÖZÜM ( Yükseklikler oranı benzerlik sabitine eşittir. ) x = 4,8 96 = 20x 96 – 12x = 8x
A l AK l = 5 cm l LE l = 3 cm l BD l = 16cm olduğuna göre l BC l = ? L D C B K m( ABC ) = m(CDE ) E ABC EDC www.muratguner.net ÖRNEK θ θ ÇÖZÜM +