1 / 24

Uniform Convergence of Series: Tests and Theorems

Uniform Convergence of Series: Tests and Theorems. Pengujian M Weierstrass. Defini si : Jika sebuah barisan konstanta-konstanta positif M 1 , M 2 , M 3 , .... dapat dicari sehingga di dalam suatu interval berlaku: a) |u n (x)| ≤ M n , n >= N b)  M n konvergen

crete
Download Presentation

Uniform Convergence of Series: Tests and Theorems

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Uniform Convergence of Series:Tests and Theorems

  2. Pengujian M Weierstrass • Definisi: Jika sebuah barisan konstanta-konstanta positif M1, M2, M3, .... dapat dicari sehingga di dalam suatu interval berlaku: a) |un(x)| ≤ Mn, n >= N b) Mn konvergen maka un(x) konvergen uniform dan konvergen mutlak di dalam interval tersebut

  3. Pengujian M Weierstrass • Bukti:

  4. Pengujian M Weierstrass • N tidak bergantung pada x • un(x) konvergen uniform |un(x)| ≤ Mn, n = 1, 2, 3, ... Mn konvergen, maka menurut uji perbandingan |un(x)| konvergen un(x) konvergen mutlak

  5. Pengujian M Weierstrass • Example 1: konvergen uniform dan konvergen mutlak di dalam [0, 2] karena dan konvergen

  6. Pengujian M Weierstrass • Example 2: Test for uniform convergence of Jawab: Dengan uji rasio, deret ini konvergen pada interval 1 ≤ x ≤ 1 Untuk semua x pada interval ini, berlaku . Dengan memilih , Mn konvergen, sehingga deret yang di atas, menurut pengujian M-Weierstrass konvergen uniform dan konvergen mutlak pada interval 1 ≤ x ≤ 1

  7. Pengujian Dirichlet • Barisan {an} adalah barisan konstanta positif yang menurun secara monoton dan mempunyai limit nol • Terdapat konstanta P sedemikian sehingga untuk a ≤ x ≤ b berlaku: |u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x)| < P untuk semua n > N Maka deret konvergen uniform di dalam a ≤ x ≤ b

  8. Pengujian Dirichlet • Bukti: Tugas

  9. Pengujian Dirichlet • Example 3: Jika deret pangkat konvergen untuk x = x0 . Buktikan bahwa deret tersebut a) konvergen mutlak pada interval |x| < |x0| b) konvergen uniform pada interval |x| ≤ |x1| dimana |x1| < |x0|

  10. Teorema pada Deret Konvergensi Uniform • Teorema 1: Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu di dalam [a, b] dan jika un(x) konvergen uniform ke jumlah S(x) di dalam [a, b], maka S(x) kontinu di dalam [a, b]

  11. Teorema pada Deret Konvergensi Uniform • Bukti: Akan ditunjukkan bahwa S(x) kontinu di dalam [a, b] S(x) = Sn(x) + Rn(x), sehingga: S(x + h) = Sn(x + h) + Rn(x + h)  S(x + h) – S(x) = Sn(x + h) – Sn(x) + Rn(x + h) – Rn(x) dimana h dipilih  x, x + h ϵ [a, b] Karena u1(x), u2(x), ..., un(x) fungsi-fungsi yang kontinu maka Sn(x) = u1(x) + u2(x) + ... + un(x) adalah fungsi yang kontinu juga.

  12. Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Artinya bila diberikan  > 0 maka dapat dicari  > 0  |Sn(x + h) – Sn(x)| < /3 bila |h| <  Karena un(x) konvergen uniform, maka dapat dipilih N  |Rn(x)| < /3 dan |Rn(x + h)| < /3 untuk n > N Maka diperoleh bahwa |S(x + h) – S(x)| ≤ |Sn(x + h) – Sn(x)| + |Rn(x + h)| + |Rn(x)| < /3 + /3 + /3 =  untuk|h| <   S(x) kontinu dalam [a, b]

  13. Teorema pada Deret Konvergensi Uniform • Teorema 2: Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu di dalam [a, b] dan jika un(x) konvergen uniform ke jumlah S(x) di dalam [a, b], maka atau

  14. Teorema pada Deret Konvergensi Uniform • Bukti: Sn(x) = u1(x) + u2(x) + ... + un(x) u1(x), u2(x), ..., un(x) kontinu dalam [a, b] maka Sn(x) juga kontinu dalam [a, b]. Menurut teorema 1 maka S(x) juga kontinu dalam [a, b] Karena S(x), Sn(x), dan Rn(x) kontinu, maka:

  15. Teorema pada Deret Konvergensi Uniform Dalam hal ini akan ditunjukkan bahwa Karena un(x) konvergen uniform, maka |Rn(x)| < /(b-a) untuk n > N (N yang tidak bergantung pada x di dalam [a, b]) sehingga diperoleh:

  16. Teorema pada Deret Konvergensi Uniform  berarti atau atau

  17. Teorema pada Deret Konvergensi Uniform • Teorema 3: Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu dan mempunyai turunan-turunan kontinu di dalam [a, b] dan jika un(x) konvergen ke S(x) sedangkan un‘(x) konvergen uniform di dalam [a, b], maka di dalam [a, b] akan berlaku atau

  18. Teorema pada Deret Konvergensi Uniform • Bukti: Misalkan g(x) = un‘(x) . Karena un‘(x) konvergen uniform dalam [a, b] maka menurut teorema 2 diperoleh:  maka

  19. Teorema pada Barisan Konvergensi Uniform • Teorema 1, 2, dan 3 untuk deret di atas dapat juga diformulasi untuk barisan. Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... konvergen uniform di dalam [a, b], maka dan

  20. Teorema pada Deret Konvergensi Uniform • Example 4: Diketahui . Buktikan bahwa

  21. Teorema pada Barisan Konvergensi Uniform • Example 5: Diketahui a) Tentukan apakah b) Jelaskan hasil pada bagian a)

  22. Teorema pada Barisan Konvergensi Uniform • Example 6: Diketahui Tunjukkan bahwa {un(x)} konvergen tetapi tidak uniform pada [0, 1]

  23. Exercise Advanced Calculus, 2nd ed, no. 11.92 – 11.99

More Related