Corporate Finance

1. Corporate Finance Kap 13 Option valuation

2. Opsjoner • En opsjon er en kontrakt. Den gir opsjonseieren en ensidig rettighet, men ingen plikt, til å kjøpe eller selge en eiendel til en avtalt pris i løpet av en spesifisert periode. • Etterspørrere kjøper opsjoner, mens tilbydere selger (skriver, utsteder) opsjoner. • Call opsjon (kjøpsopsjon) gir en rett til å kjøpe en spesifisert mengde til en gitt pris (innløsningkursen, exercise price). • Put opsjon (salgsopsjon) gir en rett til å selge en spesifisert mengde til en gitt pris. • Europeisk kalles en opsjon som bare kan benyttes (utøves eller innløses) ved forfall. • Amerikansk kalles en opsjon som kan utøves når som helst i løpet av kontraktsperioden. • Finansielle opsjoner gjelder verdipapirer, og er ofte omsatt på børs. Det kan være: • Aksjeopsjoner • Valutaopsjoner • Renteopsjoner • Indeksopsjoner • De fleste aksjeopsjonene er amerikanske, men indeksopsjoner er europeiske. • Realopsjoner gjeler realinvesteringer. Dette er ofte skreddersydde opsjoner som selges i bank. (OTC – over thecounteroptions). • Opsjoner er et viktig verktøy for risikostyring.

3. Eksempel 15. juni 2005 kjøpte en investor 200 kjøpsopsjoner på Fast-aksjer. Hver opsjon har standardstørrelse på 100 aksjer. Opsjonsprisen var kr. 1,80 på investeringstidspunktet. Innløsningskursen er kr. 16,- og forfall 20. juli. Investor sitter på opsjonen til forfall 20. juli, da innløses opsjonen og aksjene selges til kurs 18,70. Kontantstrømmen blir da: Vi har forenklet en del, bl.a. sett bort fra at oppgjørsdag normalt er noen dager etter forfall, og sett bort fra transaksjonskostnader og skatt.

4. Noen symboler og sammenhenger AT = aksjepris på tidspunkt t = T KT = verdi av kjøpsopsjon ved forfall ST = verdi av salgsopsjon ved forfall T = forfallstidspunkt I = innløsningskurs c= pris/opsjonspremie (t = 0) Ved forfall (t=T) er verdien av kjøpsopsjonen (KT) avhengig av aksjeprisen på den dagen (AT). Er aksjeprisen lavere enn opsjonens innløsningskurs (I), er kjøpsopsjonen verdiløs, siden aksjen kan kjøpes billigere direkte. I motsatt fall er gevinsten (AT- I). Ved forfall (t=T) er verdien av salgsopsjonen (ST) avhengig av aksjeprisen på den dagen (AT). Er aksjeprisen høyere enn opsjonens innløsningskurs (I), er salgsopsjonen verdiløs, siden aksjen kan selges dyrere direkte. I motsatt fall er gevinsten (I - AT).

5. Noen begreper • Egenverdi kjøpsopsjon: Aksjepris – innløsningspris • Egenverdi salgsopsjon: Innløsningspris – aksjepris • In themoney: Egenverdi > 0 • At themoney: Egenverdi = 0 • Out ofthemoney: Egenverdi < 0 • Merk at prisen/opsjonspremien (c) etter tidspunkt t = 0 blir en historisk kost, og påvirker ikke optimale beslutninger.

6. Å skrive opsjoner • Å skrive eller selge opsjoner har motsatte karakteristika av kjøp. Maksimal gevinst er premien, mens tapet er ubegrenset. Merk at en selger av en opsjon må etterkomme valg gjort av kjøper av opsjonen. • Eksempel: Selger en kjøpsopsjon med kontraktspris på 100 for en premie på 15 (man har dermed solgt en rett til å kjøpe for 100). • Dersom nå markedsprisen på den underliggende aksje ikke beveger seg over 100, så vil opsjonen ikke bli innløst og selger sitter tilbake med premien som er betalt for opsjonen. • Anta at prisen på underliggende aksje beveger seg til 150. I denne situasjonen vil kjøpsopsjonen bli innløst fra kjøper. Kjøper krever å få underliggende aksjer for 100. Selger må dermed kjøpe aksjene i markedet for 150 og levere de til kjøper for 100; som gir et tap på 50 pr. underliggende aksje minus premien på 15, dvs. 35. • Til høyere underliggende aksjepris til høyere blir selger sitt tap.

7. Verdi ved kjøp av kjøpsopsjon KT Kjøper kan kjøpe til innløsningskurs, selv om aksjekursen er høyere. AT - c I En kjøpsopsjon blir innløst hvis aksjekursen er større enn innløsningskursen. Kjøper vil i så fall tjene på opsjonen. (Kan selge til innløsningskurs.)

8. Verdi ved salg av kjøpsopsjon KT c AT I Selger må kjøpe til innløsningskurs, selv om aksjekursen er høyere. En kjøpsopsjon blir innløst hvis aksjekursen er større enn innløsningskursen. Selger vil i så fall tape på opsjonen. (Må kjøpe til innløsningskurs.)

9. Verdi ved kjøp av salgsopsjon ST Kjøper kan selge til innløsningskurs, selv om aksjekursen er lavere. AT - c I En salgsopsjon blir innløst hvis aksjekursen er mindre enn innløsningskursen. Kjøper vil i så fall tjene på opsjonen. (Kan selge til innløsningskurs.)

10. Verdi ved salg av salgsopsjon ST - c AT Selger må selge til innløsningskurs, selv om aksjekursen er lavere. I En salgsopsjon blir innløst hvis aksjekursen er mindre enn innløsningskursen. Selger vil i så fall tape på opsjonen. (Må selge til innløsningskurs.)

11. Kjøp/salg av kjøp/salgs -opsjoner Kan kjøpe til innløsningskurs og selger aksjen Kan selge til innløsningskurs og kjøper aksjen Må selge til innløsningskurs og kjøper aksjen Må kjøpe til innløsningskurs og selger aksjen

12. Porteføljekombinasjoner • Vi kan selvsagt kombinere både kjøp og salg av opsjoner (både kjøps- og salgs-opsjoner), sammen med direkte kjøp av aksjer, og i tillegg investere i risikofrie obligasjoner. AT= Kjøp av aksje direkte KT= Kjøp av kjøpsopsjon på aksjen ST= Kjøp av salgsopsjon på aksjen B = Kjøp av risikofri obligasjon

13. Kjøp aksje og kjøp salgsopsjon XT I AT I Kontantstrømmen på tidspunkt T (XT) består av salget av den kjøpte aksjen (AT) og kjøpet av salgsopsjonen (ST), som vi bare gjennomfører hvis innløsningskursen (I) er større enn aksjekursen (AT). Historiske kostnader (kjøpsprisen for aksjen og opsjonsprisen) er irrelevante.

14. Kjøp risikofritt og kjøp kjøpsopsjon XT I AT I Kontantstrømmen på tidspunkt T (XT) består av salget av den kjøpte risikofrie obligasjonen (BT) med pålydende I og kjøpet av kjøpsopsjonen (KT), som vi bare gjennomfører hvis innløsningskursen (I) er mindre enn aksjekursen (AT). Historiske kostnader (kjøpsprisen for obligasjonen og opsjonsprisen) er irrelevante.

15. Lik kontantstrøm = lik verdi Siden vi kan oppnå samme kontantstrøm ved: - en portefølje bestående av en aksje og en kjøpt salgsopsjon med innløsningskurs I, - en portefølje bestående av en risikofri obligasjon med pålydende I og en kjøpt kjøpsopsjon med innløsningskurs I, så må disse porteføljene ha samme verdi:AT+ ST= BT + KT Løst for BT gir dette: BT= AT+ ST– KT (minus-tegnet foran KT viser at kjøpsopsjonen er solgt). En portefølje av en aksje, en kjøpt salgsopsjon og en solgt kjøpsopsjon gir derfor en risikofri kontantstrømpå forfallstidspunktet T.

16. Portefølje med risikofri kontantstrøm I I Kontantstrømmen på tidspunkt T (XT) består av kjøpet av salgsopsjonen (ST), som vi kan gjennomføre hvis innløsningskursen (I) er større enn aksjekursen (AT); salget av kjøpsopsjonen (KT), som vi må gjennomføre hvis innløsningskursen (I) er mindre enn aksjekursen (AT), og salget av aksjen (AT). XT er konstant (risikofri).

17. Salg – kjøp – paritet Anta du kjøper aksjer i Orkla til dagens kurs kr. 235. Samtidig selger (skriver) du en kjøpsopsjon og kjøper en salgsopsjon på samme aksje, med lik innløsningskurs kr. 220 og forfall om tre måneder. Fra forrige figur vet vi at dette vil gi en sikker kontantstrøm på 220 (I) ved forfall. Vi tester med to tilstander: Aksjekursen blir enten 255 eller 215. Investeringen på t = 0 er kjøp av en aksje, kjøp av en salgsopsjon og salg av en kjøpsopsjon, dvs. til sammen A0 + S0 – K0 . Hvis rf er den risikofrie renten for denne perioden må vi ha følgende sammenheng: SKP (salg-kjøp paritet) sier at forskjellen i kjøps- og salgsopsjonens verdi er lik differansen mellom aksjens verdi og nåverdien av innløsningskursen.

18. Arbitrasjemulighet? Anta du kjøper aksjer i Orkla til dagens kurs kr. 235. Samtidig selger (skriver) du en kjøpsopsjon og kjøper en salgsopsjon på samme aksje, med lik innløsningskurs kr. 220 og forfall om tre måneder. Samme dag ble kjøpsopsjonen omsatt for kr. 20. Tremåneders risikofri diskret rente var 1%, mens den kontinuerlige risikofrie årsrenten var 3,98%. SKP (salg-kjøp paritet) gir oss at salgsopsjonen må ha verdien kr. 2,82 hvis kjøpsopsjonen har verdien kr. 20,-. Vi skal nå vise at hvis salgsopsjonen for eksempel bare kostet kr. 2,- kan investor bli uendelig rik ved å utnytte en arbitrasjemulighet. Ingen har blitt uendelig rik, følgelig kan ikke salgsopsjonen koste bare kr. 2,-.

19. Risikofri arbitrasjegevinst Hvis salgsopsjonen omsettes for kr. 2,- kan investor oppnå en risikofri arbitrasjegevinst. Det skjer ved å finansiere den risikofrie porteføljen med et risikofritt lån lik nåverdien av innløsningskursen: 220/1,01 = 217,82. Denne porteføljen vil altså gi en netto nåverdi på kr. 0,82 ved lånefinansiering. I et effisient marked må nødvendigvis en slik pengemaskin forsvinne når mange nok bruker den: prisen på salgsopsjonen vil stige inntil gevinsten er borte.

20. Verdi av kjøpsopsjon før forfall Vi har så langt sett på kontantstrømmen ved forfall (T), og SKP ved t = 0. Vi skal nå se på verdien av en kjøpsopsjon før forfall. Vi har følgende grenseverdier: Verdien av en kjøpsopsjon kan aldri bli negativ. Verdien av en kjøpsopsjon kan aldri bli mer verd enn underliggende aksje. Verdien av en kjøpsopsjon kan aldri bli mindre verd enn verdien ved øyeblikkelig innløsning. K0 Den virkelige verdien i dag av en kjøpsopsjon (K0) er en eller annen stigende kurve som befinner seg i det skraverte området. A0 I

21. Flere faktorer som påvirker Kt • Det er i tillegg flere forhold som påvirker verdien av en kjøpsopsjon før forfall: • Opsjonsverdien avtar med økende innløsningskurs. Jo høyere innløsningskursen er, desto mindre er sjanse for at aksjekursen ved forfall er hyere enn innløsningskursen. • Opsjonsverdien øker med lengden på tiden til forfall. Forklaringen er at en rett (uten plikt) er mer verd jo lenger tid du har denne retten. • Opsjonsverdien øker med aksjekursens usikkerhet, volatilitet (varians). Sannsynlighet Kontantstrøm kjøpsopsjon Aksje 1 Større usikkerhet gir større sjanse for positiv kontantstrøm Aksje 2 I E(AT) AT

22. Flere faktorer som påvirker Kt Merk at det er størst mulig totalrisiko i aksjekursen som er best for opsjonseieren. I motsetning til CAPM, hvor aksjeinvestor er risikoavers og bare er opptatt av systematisk risiko. I tillegg påvirker renten kjøpsopsjonens verdi. Den framtidige innløsnings-kursen reduserer dagens verdi av kjøpsopsjonen. En høy rente reduserer nåverdien av innløsningskursen, og reduserer derved verdireduksjonen. Det er den risikofrie renten som her er relevant, fordi det er mulig å lage en risikofri sikringsportefølje ved å selge kjøpsopsjoner på samme aksje som det investeres i. Det er altså den risikofrie renten som påvirker dagens verdi av kjøpsopsjonen. Verdien av en kjøpsopsjon vil altså øke jo større den risikofrie renten er.

23. Verdi av opsjoner Kjøpsopsjoner: En kjøpsopsjon stiger i verdi med økende aksjepris, fordi det er større sjanse for at opsjonen da blir innløst (aksjekursen er større enn innløsningskursen). Verdien av en kjøpsopsjon synker med økt innløsningskurs, fordi det da er mindre sjanse for at opsjonen blir innløst. Verdien av en kjøpsopsjon stiger med økt risikofri rente, fordi nåverdien av fradraget for innløsningskursen blir lavere. Salgsopsjoner: En salgsopsjon minker i verdi med økende aksjepris, fordi det da er mindre sjanse for at opsjonen blir innløst (aksjekursen er større enn innløsningskursen). Verdien av en salgsopsjon øker med økt innløsningskurs, fordi det da er større sjanse for at opsjonen blir innløst. Verdien av en kjøpsopsjon minker med økt risikofri rente, fordi nåverdien av tillegget for innløsningskursen blir lavere. Alle opsjoner: Alle opsjoner øker i verdi ved lang tid til forfall, fordi rettigheten varer lenger. Alle opsjoner øker i verdi med økt volatilitet, fordi det er større sjanse for positiv kontantstrøm.

24. Verdi av europeiske opsjoner Verdsettelsen av amerikanske opsjoner er langt mer komplisert. Men: En amerikansk opsjon har minst like stor verdi som en tilsvarende europeisk opsjon, fordi den har en tilleggsfordel; retten til selv å velige innløsningstidspunkt når som helst før forfall. Hvis dividende ikke utbetales i kontraktsperioden, vil det aldri lønne seg å innløse en amerikansk kjøpsopsjon før forfall, det vil lønne seg å selge den. Tilleggsfordelen er da i seg selv verdiløs. Hvis det forventes dividende i kontraktsperioden, kan det være lønnsomt å innløse opsjonen like før aksjen går ex-dividende (mister retten til å motta ut bytte).

25. Binomisk opsjonsprismodell I den én-periodiske binomiske modellen tar en utgangspunkt i at neste periodes aksjekurs, som sammenfaller med opsjonens forfallstidspunkt, har to mulige utfall: ett med høyere aksjekurs enn i dag, det andre utfallet har lavere aksjekurs enn i dag. Eksempel: Anta at dagens aksjekurs på Norsk Hydro er kr. 620. Avhengig av resultatet fra et oljeboringsprosjekt vil aksjeprisen om tre måneder stige med 25% til kr 775 med 60% sannsynlighet, eller falle med 15% til kr. 527 med 40% sannsynlighet. Tre måneders risikofri rente er 1%. Innløsningskurs på en kjøpsopsjon med forfall om tre måneder er kr. 680. Hva er verdien av denne opsjonen?

26. Kontantstrømfordeling for en aksje Tidspunkt 0 Tidspunkt 1 Aø = kontantstrøm for aksje ved økning i aksjepris i periode 1 A0= dagens aksjepris = 620 ø = multiplikator for økning i aksjepris = 1,25 p = sannsynlighet for økning i aksjepris = 0,6 n = multiplikator for nedgang i aksjepris = 0,85 (1-p) = sannsynlighet for nedgang i aksjepris = 0,4 An = kontantstrøm for aksje ved nedgang i aksjepris i periode 1

27. Kontantstrømfordeling for kjøpsopsjon Tidspunkt 0 Tidspunkt 1 A0= dagens aksjepris = 620 ø = multiplikator for økning i aksjepris = 1,25 p = sannsynlighet for økning i aksjepris = 0,6 n = multiplikator for nedgang i aksjepris = 0,85 (1-p) = sannsynlighet for nedgang i aksjepris = 0,4 K0= dagens pris på kjøpsopsjonen = ? I = innløsningskurs = 680 Kø = kontantstrøm for kjøpsopsjon ved økning i aksjepris Kn = kontantstrøm for kjøpsopsjon ved nedgang i aksjepris

28. Kontantstrømfordeling sikringsportefølje Sikringsportefølje: Kjøpe en aksje og samtidig selge m kjøpsopsjoner. Tidspunkt 0 Tidspunkt 1 For at sikringsporteføljen skal være risikofri, må utfallene på tidspunkt 1 være identiske: Løst for m: A0= dagens aksjepris = 620 ø = multiplikator for økning i aksjepris = 1,25 p = sannsynlighet for økning i aksjepris = 0,6 n = multiplikator for nedgang i aksjepris = 0,85 (1-p) = sannsynlighet for nedgang i aksjepris = 0,4 K0= dagens pris på kjøpsopsjonen = ? I = innløsningskurs = 680 Kø = kontantstrøm for kjøpsopsjon ved økning i aksjepris = 95 Kn = kontantstrøm for kjøpsopsjon ved nedgang i aksjepris = 0 m = 2,61 solgte kjøpsopsjoner pr eid aksje.

29. Sikringsporteføljen Sikringsporteføljen garanterer følgelig en utbetaling på 527 ved forfall uansett hva aksjekursen blir. Nåverdien av utfallene på tidspunkt 1 må være lik nettoinvesteringen på tidspunkt 0, ellers vil det foreligge arbitrasjemuligheter. Siden utfallene er sikre, er korrekt diskonteringsrente den risikofrie renten. Vi har dermed: Investeringsbeløpet må være lik nåverdien av framtidig kontantstrøm. (Det spiller ingen rolle om vi bruker kontantstrøm fra økning eller nedgang, de er jo like.) Løser vi for opsjonsverdien K0 , og setter inn for sikringsforholdet m, får vi: Sikringssannsynligheten q:

30. Verdien av en kjøpsopsjon Tidspunkt 0 Tidspunkt 1 A0= dagens aksjepris = 620 ø = multiplikator for økning i aksjepris = 1,25 p = sannsynlighet for økning i aksjepris = 0,6 n = multiplikator for nedgang i aksjepris = 0,85 (1-p) = sannsynlighet for nedgang i aksjepris = 0,4 K0= dagens pris på kjøpsopsjonen = ? I = innløsningskurs = 680 Kø = kontantstrøm for kjøpsopsjon ved økning i aksjepris = 95 Kn = kontantstrøm for kjøpsopsjon ved nedgang i aksjepris = 0

31. Kontroll av sikringsporteføljen Sikringsportefølje: Kjøpe en aksje og samtidig selge m kjøpsopsjoner. Tidspunkt 0 Tidspunkt 1 Den risikofrie avkastningen på sikringsporteføljen må være lik risikofri rente, ellers finnes arbitrasjemuligheter. A0= dagens aksjepris = 620 ø = multiplikator for økning i aksjepris = 1,25 p = sannsynlighet for økning i aksjepris = 0,6 n = multiplikator for nedgang i aksjepris = 0,85 (1-p) = sannsynlighet for nedgang i aksjepris = 0,4 K0= dagens pris på kjøpsopsjonen = 37,62 I = innløsningskurs = 680 Kø = kontantstrøm for kjøpsopsjon ved økning i aksjepris = 95 Kn = kontantstrøm for kjøpsopsjon ved nedgang i aksjepris = 0 m = antall solgte kjøpsopsjoner pr aksje = 2,61 Om avkastningen på sikringsporteføljen ikke var lik risikofri rente, kunne en konstruere porteføljer som kostnadsfritt ga en meravkastning. Det er ikke mulig i likevekt.

32. Prisfastsetting kjøpsopsjon Hakeparentesen tilsvarer en sikkerhetsekvivalent kontantstrøm på tidspunkt 1, som neddiskonteres med risikofri rente. Usikkerheten om hvilket utfall som vil inntreffe er korrigert for ved sikringssannsynligheten q. q kalles også risikojustert sannsynlighet, som altså omdanner usikre kontantstrømmer til en sikkerhetsekvivalent kontantstrøm. K0= dagens pris på kjøpsopsjonen A0= dagens aksjepris = 620 ø = multiplikator for økning i aksjepris = 1,25 n = multiplikator for nedgang i aksjepris = 0,85 I = innløsningskurs = 680 Kø = kontantstrøm for kjøpsopsjon ved økning i aksjepris = 95 Kn = kontantstrøm for kjøpsopsjon ved nedgang i aksjepris = 0 rf = risikofri rente = 1% Merk at i den enperiodiske binomiske modellen inngår ikke sannsynligheten p for kursoppgang eller nedgang. Den eneste usikre variabelen i modellen er hva aksjekursen blir ved forfall. Det har heller ikke vært gjort forutsetninger om investors risikopreferanser for å utlede disse resultatene.

33. Opsjonsprismodellens resultater • Kjøpsopsjonens verdi er uavhengig av investorens risikoholdning. • Kjøpsopsjonens verdi er uavhengig av sannsynligheten for at aksjeprisen stiger eller faller. • Siden sannsynlighetene er irrelevante er det heller ingen beregninger av forventede verdier. • Kjøpsopsjonens verdi kan sees på som en neddiskontert sikkerhetsekvivalent kontantstrøm, der sikkerhetsekvivalenten er beregnet basert på risikojustert sannsynlighet (sikringssannsynligheten). • Kjøpsopsjonens verdi avhenger kun av: • A0= dagens aksjepris • ø = multiplikator for økning i aksjepris • n = multiplikator for nedgang i aksjepris • rf = risikofri rente • I = innløsningskurs

34. Black-Scholes opsjonsmodell Vi har så langt beskrevet opsjonsmodeller i diskret tid, dvs. tiden inndelt i perioder. Tiden er jo som kjent en kontinuerlig variabel, og det finnes opsjonsmodeller som er utviklet for kontinuerlig tid. I 1973 utledet Black og Scholes følgende modell: • Vi ser at alle fem faktorene som vi tidligere har sett påvirker opsjonsverdien er med. • A0= dagens aksjepris • ø = multiplikator for økning i aksjepris • n = multiplikator for nedgang i aksjepris • rf = risikofri rente • I = innløsningskurs • Fra den en-periodiske binomiske modellen er en egen variabel for tid (T) lagt til, mens økning og nedgang er erstattet med standardavviket. • Med unntak av  kan de resterende fire parameterne observeres direkte, for eksempel fra børssidene i Dagens Næringsliv. • A0= dagens aksjepris • T = gjenværende løpetid, som andel av et år • if = kontinuerlig risikofri årsrente • I = innløsningskurs •  = aksjeavkastningens årlige standardavvik • N(d) = sannsynligheten for at en standard normalfordel stokastisk variabel er mindre eller lik d • e = 2,71828 (grunntallet naturlig logaritme)

35. Regneark for B&S opsjonsmodell • http://www.skarvet.no/finansiell_okonomi.html • Her finnes et regneark (last ned excel-fil) for beregning av opsjonspriser for kjøp av kjøps- og salgs-opsjoner. • Merk at vi kan benytte kjøp-salg –paritets sammenhengen til å beregne prisen på en salgsopsjon straks vi har beregnet prisen på en tilsvarende kjøpsopsjon: Aksjer i Norsk Hydro ble den 29.07.05 notert til kr. 620. Samme dag er risikofri årsrente beregnet til 3% (norsk interbankrente NIBOR). Basert på aksjens daglige avkastninger de siste 6 mnd. er aksjeavkastningens årlige standardavvik estimert til 25%. Kjøps- og salgsopsjoner med forfall 15.12.05 har innløsningskurs kr. 650. Hva er riktig pris på disse opsjonene?

36. Beregning av pris på kjøp- og salgsopsjoner basert på B&S

37. Beregnede og virkelige priser • Vi har beregnet prisen på en kjøpsopsjon til kr. 28,55 (K0) og prisen på en tilsvarende salgsopsjon til kr. 51,16 (S0). • Virkelige priser var hhv. Kr. 23,75 og kr. 51,00. • Er det her mulighet for arbitrasjegevinst, det er jo en forskjell på kr. 4,80 for en kjøpsopsjon? • Transaksjonskostnader vil fort kunne redusere eventuell gevinst. • B&S modellen er svært følsom for avrundingsfeil, det er derfor viktig på bruke presise verdier. • I tillegg er det vanskelig å beregne standardavviket. Vi har beregnet dette basert på historiske data for en relativt kort periode. Kanskje det bør baseres på en lengre tidshorisont. • Dessuten er historiske data kun et substitutt for framtidige verdier. • Om vi bruker Goal Seeki regnearket for å finne det standardavvik som gir pris på kjøpsopsjonen lik faktisk pris (K0= 23,75), finner vi at aksjens standardavvik må være 21,8% mot 25% beregnet i eksemplet. • Kanskje er markedsprisene riktige, mens vårt estimat er feil?

38. Forutsetninger bak B&S modellen • Gjelder europeiske opsjoner • Markedet opererer kontinuerlig • Short-selling er mulig (dvs. salg av en aksje til avtalt pris for fremtidig levering, uten at selger eier aksjen på avtaletidspunktet) • Ingen skatt eller transaksjonskostnader • Aksjen betaler ikke dividende • Risikofri rente er kjent og konstant i løpetiden

39. Opsjoner og risiko • I kapitalverdimodellen er relevant risiko systematisk risiko, og beta baseres på hele sannsynlighetsfordelingen. • Selv om opsjoner baserer seg på samme sannsynlighetsfordeling, er det bare den ene halen som er relevant for opsjoner. • Stor hale, dvs. stor varians er derfor en fordel for opsjoner. • En aksjeinvestor derimot påvirkes av begge halene, og foretrekker derfor sannsynlighetsfordelinger med korte haler. • Like fullt, også finansopsjoner er risikable investeringer, og har normalt både usystematisk og systematisk risiko.

40. Realopsjoner • Vi har så langt sett på finansopsjoner (verdipapirer). • Men realinvesteringer har også ofte opsjonselementer i seg. • Fleksibiliteten som ofte finnes i et investeringsprosjekt har en ekstra verdi, kan sees på som en opsjon (rett, men ikke plikt). • Verdien av denne fleksibiliteten blir ikke tatt hensyn til i vanlige nåverdiberegninger. Vi må derfor korrigere: • NV = Tradisjonell NV + Opsjonsverdi • Fleksibilitet som har ekstra verdi kan være: • Mulighet til å utsette investeringer • Mulighet til å tilpasse produksjonskapasiteten • Mulighet til å skaffe mer informasjon (for eksempel leteboring, etc.) • Mulighet til å selge eller avslutte prosjektet før tiden