Ahlem ALIA, H. Sadok, M. Souli

1. Université des Sciences et Technologies de Lille Laboratoire de Mécanique de Lille Simulationnumérique des problèmes d’acoustique et de vibroacoustique: Application de CMRH Ahlem ALIA, H. Sadok, M. Souli GDR-IFS 3-4/06/2010, Compiègne

2. Introduction • TechniquesAnalytiques • Formes géométriques simples • Méthode des Eléments Finis (FEM) • Discrétisation de tout le volume du domaine • Méthode des Eléments Finis de Surface (BEM) • Discrétisation de la surface du domaine • Collocation • Variationnelle

3. Introduction BEM MEF • BEM • La discrétisation de la surface du domaine acoustique • Prise en compte du rayonnement en champs libre

4. VIBEM (BEM variationnelle indirecte) 1 2 S S V BEM Théorème de Green Equation d’Helmholtz Equation intégrale Condition de Neumann

5. VIBEM (BEM variationnelle indirecte) • Matrices BEM • Complexes (fonction de Green) • Pleines (interaction de chaque nœud avec tous les nœuds du maillage) • Mémoire • Temps CPU • Construction de la matrice (Intégration double) • Résolution du système linéaire • Analyse multi-fréquentielle

6. Système linéaire • Généralement, Gmres (Generalized Minimal Residual Method) est la méthode itérative la plus utilisée (Marburg et al. (Performance of iterative solvers for acoustic problem, 2003)) • Gmres (en plus de la matrice BEM, stockage de la matrice d’Hessenberg, vecteurs de Krylov) • Besoin d’une méthode itérative plus économique en terme de mémoire • Cmrh (Changing Minimal Residual method based on Hessenberg process ) développée par Pr. H. Sadok • Méthode d’Hessenberg • Résolution d’un problème de moindres carrés • La matrice A sert d’espace de stockage pour CMRH

7. Méthodes itérative: CMRH • Processus d’Hessenberg: matrice trapézoïdale unitaire • Ses colonnes sont des vecteurs de base de l’espace de Krylov • Orthogonal aux vecteurs ek(n)=(0,…, 0,1,0,…,0)T. • hj,k sont déterminés tq: lk+1┴ e1,e2,…,ek et (lk+1)k+1=1 • (i-1) composantes de li sont nulles et (li)i=1

8. Méthodes itérative: CMRH Hessenberg Arnoldi - Produit A q - Produit scalaire - Produit A par une matrice trapézoïdale

9. Méthodes itérative: CMRH Lk A Stockage de Lk et Hk dans A A l’étape k, Lk est trapézoïdale inférieure u=Alk, (k-1) premières colonnes de A ne sont pas utilisées

10. Applications numériques • Performance de CMRH en comparaison avec GMRES (sans l’option: restart) • Applications numériques • Sphère pulsante • Rayonnement d’un ventilateur excité avec ses modes propres

11. Sphère pulsante • Une sphère de rayon 1m excitée par une vitesse de 7mm/s entourée par l’air. • Deux maillages: 21602 noeuds et 7352 noeuds • Performance de CMRH: le vecteur b est choisi de telle sorte que la solution exact x* soit connue. Ce qui permet de bien calculer ||res=b-Ax|| et l’erreur ||err=x-x*|| • Un critère d’arrêt de 10-9.

12. Sphère pulsante Figure(1): Variation de la norme du résidu et de l’erreur en fonction du nombre des itérations ( maillage 7352 nœuds )

13. Sphère pulsante Figure(2): Variation de la norme du résidu et de l’erreur en fonction du nombre des itérations ( maillage 21602 nœuds )

14. Sphère pulsante • Une sphère de rayon 1m excitée par une vitesse de 7mm/s entourée par l’air. • Maillage 7352 nœuds • Pression au centre de la sphère • Un critère d’arrêt de 10-9 pour les deux méthodes

15. Sphère pulsante Figure(3): Variation de la pression au centre de la sphère pulsante en fonction de la fréquence( maillage 7352 nœuds )

16. Sphère pulsante Figure(4): Variation du nombre des itérations en fonction de la fréquence ( maillage 7352 nœuds )

17. Rayonnement d’un ventilateur • Rayonnement des pales d’un ventilateur comprenant des bords libres • Excitations aux modes propres du ventilateur • Maillage (5407 nœuds) • Analyse modale pour des fréquences <1000Hz • 3 modes propres à 399.31, 462.15 et 999.15 Hz • Pression rayonnée sur un plan distant de 0.3m du ventilateur

18. Rayonnement d’un ventilateur Figure(5): Variation du nombre des itérations en fonction de la fréquence ( maillage 7352 nœuds )

19. Rayonnement d’un ventilateur Figure(6): Vitesse à la fréquence propre 399.31Hz, 462.15Hz et 999.15Hz

20. Rayonnement d’un ventilateur Figure(9): Pression acoustique rayonnée dans le plan d’observation

21. Rayonnement d’un ventilateur • Performance de GMRES et CMRH • Cmrh demande 3 fois moins de mémoire que Gmres

22. Conclusion • Analyse de la performance de Cmrh appliquée pour des problèmes d’acoustique simulés par la BEM. • Cette analyse a été faite par comparaison avec Gmres • Elle a montré que Cmrh a le même comportement de Gmres mais demande moins de mémoire • Cmrh peut être utilisée comme une bonne alternative de Gmres pour les problèmes de très grande taille • En perspective, cette méthode sera testée avec un préconditionnement