Prática de Ensino de Matemática I Aula 03

1. Prática de Ensino de Matemática IAula 03 Curso de Licenciatura em Matemática – 1º Ano Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br

2. Os Sistemas de Numeração - Histórico Desde os tempos mais antigos a humanidade sentiu a necessidade de realizar contagens. No início utilizou-se pedrinhas (calculus) para realizar contagem, em seguida foram as marcações em ossos, passando pela criação de palavras-número. Finalmente criou-se a notação de certas quantidades através de símbolos.

3. Sistema de Numeração Egípcio (Antigo) Os antigos egípcios utilizavam um sistema de numeração em que cada símbolo podia repetir-se, no máximo, nove vezes. O valor dos numerais era definido adicionando o valor de cada símbolo, o que dava um caráter aditivo ao sistema. Outro fator era que os símbolos podiam ser escritos em qualquer ordem (era um sistema não-posicional) sendo que os egípcios não possuíam um símbolo para o zero.

4. Sistema de Numeração Romano Os antigos romanos utilizavam algumas letras do alfabeto para escrever seus numerais. As letras eram separadas em dois grupos: o primeiro com letras cujo valor começavam em 1 e o segundo cujo valor das letras começavam com 5. As letras do primeiro grupopodiam repetir-se, no máximo, três vezes; enquanto que as do segundo gruponão podiam repetir-se. Quando uma letra de valor menor era colocada antes de outra, seu valor era subtraído; enquanto que ao ser posta depois de outra seu valor era adicionado.

5. Sistema de Numeração Indo-Arábico (Decimal) Com a publicação de LiberAbaci em 1202 por Leonardo de Pisa (vulgo Fibonacci) os povos europeus começaram a conhecer os tais “algarismos que vieram das Índias” e a operar com regras semelhantes as utilizadas atualmente. O sistema de numeração mais utilizado atualmente originou-se na Índia e aperfeiçoou-se na Arábia. Ele possui uma base de contagem decimal, sendo que a posição em que cada algarismo ocupa na escrita determina seu valor (posicional). Vale lembrar que este sistema não é aditivo (para representar três não escrevemos 111) e que a existência do zero é fundamental para indicar que a ordem encontra-se vazia.

6. Bases de contagem Provavelmente a primeira base de contagem utilizada pela humanidade foi a base cinco, pois temos cinco dedos em cada mão. Apesar de atualmente utilizarmos a base 10 (sistema decimal) para realizar as contagens em algumas tribos ainda utiliza-se a base 20 (vigesimal) e há reminiscências da base 60 (sexagesimal) utilizada pelos antigos babilônios em medidas de tempo (a cada sessenta segundos formamos um minuto). Lembramos também que a base binária (dois) é utilizada pelos sistemas eletrônicos.

7. Conversões entre bases - Exemplos Escreva o numeral (37)10 na base cinco. Logo o numeral é (101)2. Logo o numeral é (122)5. Escreva o numeral (1011)2 na base decimal. Escreva o numeral (2304)5 na base decimal. Logo temos, 8 + 2 + 1 = (11)10. Logo temos, 250 + 75 + 4 = (329)10. Escreva o numeral (5)10 na base binária.

8. A Base Decimal (Slide 1) 1ª Troca 2ª Troca (. . .) 10ª Troca Troca Final 1ª Situação-problema Juninho está participando de uma promoção: a cada 10 tampinhas de garrafas ele troca por 1 selo da promoção. Caso ele consiga juntar 10 selos da promoção ele ganha 1 bola de futebol. Quantas tampinhas de garrafa ele deverá juntar para conseguir ganhar a bola de futebol?

9. A Base Decimal (Slide 2) 10 tampinhas = 1 selo 10 selos = 1 bola Resposta: Juninho precisou juntar 100 tampinhas para trocar pelos 10 selos e, depois, trocar pela bola. 10 unidades = 1 dezena 10 dezenas = 1 centena 10 centenas = 1 milhar Em nosso sistema de numeração temos algo semelhante: Resumindo o que Juninho fez:

10. O material dourado (Slide 1) A cada 10 unidades formamos uma dezena. As unidades simples são: O material dourado representa bem estas quantidades.

11. O material dourado (Slide 2) A cada 10 dezenas formamos uma centena. As dezenas são:

12. O material dourado (Slide 3) A cada 10 centenas formamos um milhar. As centenas são: As palavras unidade, dezena e centena são conhecidas como ordens do sistema de numeração. 2ª Situação-problema Para expressar os membros de uma família geralmente precisamos compor um numeral com 1 algarismo (só as unidades). Para contar quantos alunos têm numa sala de aula usamos numerais com 2 algarismos (dezenas e unidades). Se quisermos saber quantos alunos têm em nossa escola vamos precisar usar 3 algarismos para compor o numeral (centenas, dezenas e unidades).

13. Compondo numerais (Slide 1) • A família de Patrícia possui 5 pessoas (5 unidades); 5 unidades • Na sala de aula de Patrícia existem 32 alunos (3 dezenas e 2 unidades); 3 dezenas 2 unidades = 32 unidades

14. Compondo numerais (Slide 2) • Na escola de Patrícia em que Patrícia estuda há 461 crianças (4 centenas, 6 dezenas e 1 unidade); = 461 unidades 1 unidade 4 centenas 6 dezenas

15. Ordens e Classes A cada três ordens formamos uma classe. As classes são infinitas no sistema de numeração decimal. • No meu bairro moram 2 583 pessoas, ou seja, 2 unidades de milhar, 5 centenas, 8 dezenas e 3 unidades. • Na cidade de Cambuci (RJ) existem 14 368 habitantes, ou seja, 1 dezena de milhar, 4 unidades de milhar, 3 centenas, 6 dezenas e 8 unidades. • A população de Ribeirão Preto (SP) é 547 407 habitantes, ou seja, 5 centenas de milhar, 4 dezenas de milhar, 7 unidades de milhar, 4 centenas e 7 unidades. • No Brasil existe cerca de 191 270 987 habitantes, ou seja, 1 centena de milhão, 9 dezenas de milhão, 1 unidade de milhão, 2 centenas de milhares, 7 dezenas de milhares, 9 centenas, 8 dezenas e 7 unidades

16. Valor Absoluto e Valor Relativo Todo algarismo possui seu próprio valor, chamado valor absoluto. Por exemplo, o algarismo 8 vale 8 unidades. Dependendo do lugar onde o algarismo se encontra ele possui um valor diferente. Este valor é chamado de valor relativo. Caso o algarismo 8 se encontre na ordem das dezenas, por exemplo, seu valor será 80 unidades. • Em 2 583, o algarismo 2 vale 2 000, o 5 vale 500, o 8 vale 80 e o 3 vale 3. Resumindo: 2 583 = 2 000 + 500 + 80 + 3 • Em 14 386, o algarismo 1 vale 10 000, o 4 vale 4 000, o 3 vale 300, o 8 vale 80 e o 6 vale 6. Resumindo: 14 386 = 10 000 + 4 000 + 300 + 80 + 6

17. Para refletir Por quê a etimologia da palavra calcular refere-se à pedra? Quais são as principais características do sistema de numeração egípcio (antigo)? Em quais situações ainda utilizamos o sistema de numeração romano? Caracterize o sistema de numeração decimal indo-arábico. Cite algumas utilizações das bases binária, decimal e sexagesimal nos dias atuais. Descreva como ocorrem os agrupamentos no sistema de numeração decimal. Quais são as ordens no sistema de numeração decimal? O que são classes? Diferencie valor absoluto de valor relativo de um algarismo utilizando exemplos numéricos.