1 / 19

Algorytmy i struktury danych

Algorytmy i struktury danych. Reprezentacja grafu Wybrane problemy. Graf. 11. Skierowany. Wielokrotne krawędzie. 10. 11. Pętle. 7. Wagi. Prosty. Reprezentacja grafu. 1. 0. 0. A. 1. 1. B. 1. C. D. A. B. C. D. A. B. D. A. B. C. D. Macierz sąsiedztwa. C.

dana
Download Presentation

Algorytmy i struktury danych

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Algorytmy i struktury danych Reprezentacja grafu Wybrane problemy

  2. Graf 11 Skierowany Wielokrotne krawędzie 10 11 Pętle 7 Wagi Prosty

  3. Reprezentacja grafu 1 0 0 A 1 1 B 1 C D A B C D A B D A B C D Macierz sąsiedztwa C Lista sąsiedztwa B A C D B D B C • Jeśli macierz jest symetryczna (graf nieskierowany), można przechowywać tylko jedną połówkę.

  4. Reprezentacja grafu 0 1 0 1 m 1 0 1 1 n 0 1 0 1 o 1 1 1 0 p m n o p m p m n o p Macierz incydencji n o Lista incydencji n p m o p p n m n o

  5. Reprezentacja wag 0 0 0 0 A 2 0 0 0 B 0 3 0 2 C 0 7 5 0 D A B C D A 2 7 B D A B C D Macierz sąsiedztwa 3 5 C 2 Lista incydencji A,2 D,2 B,3 C,5 B,7

  6. Składowe spójnosci DFS

  7. Minimalne drzewo spinające 2 4 2 3 1 8 5 6 2 3 4 6 Zastosowania – np. budowa sieci dróg

  8. Minimalne drzewo spinające Alg Kruskala: Wybieraj kolejno krawędzie o minimalnej wadze tak, by nie tworzyły cyklu. Pot. problem: stwierdzanie obecności cyklu. Alg Prima-Dijkstry: Drzewo = krawędź o minimalnej wadze; Spośród krawędzi incydentnych z aktualnym drzewem wybierz krawędź o najmniejszej wadze; Dodaj krawędź do drzewa. Pot. problem: grafy niespójne.

  9. Minimalna droga 2 4 3 3 1 9 7 6 7 3 4 3 Zastosowania: - wybór najkrótszej (najszybszej) trasy przejazdu; - wybór najtańszego procesu technologicznego.

  10. Alg. Dijkstry • Z.: Wagi są nieujemne • Dla sąsiadów wierzchołka startowego S ustaw odległość di równą wadze krawędzi e(s,i), dla każdego wierzchołka innego niż S inicjujemy di =  • Spośród nieodwiedzonych wierzchołków wybierz wierzchołek i o mininimalnej ogległości di • Dla sąsiadów j wybranego wierzchołka aktualizuj odległość jako min{ dj,di+e(j,w) } • Jeżeli są nieosiągnięty został wierzchołek końcowy K (lub są nieodwiedzone wierzchołki gdy nie zadajemy K) przejdź do punktu 2

  11. Droga, cykl Eulera Marszruta – otwarta (zamknięta), zawierająca wszystkie krawędzie w grafie Zastosowania: Problem chińskiego listonosza; Rysowanie/wycinanie figur przy pomocy plotera.

  12. Minimalne drzewo spinające Algorytm Dijkstry: • Dla wszystkich wierzchołków ustal s=¥; • Dla w. początkowego P ustal s=0. Podstaw D={P}; • Zaktualizuj odległość s’ dla wszystkich wierzchołków sąsiednich do D; • s’[w] = min { s[x] + waga krawędzi {x, w} ; po wszystkich x należących do D }; • Wybierz wierzchołek o minimalnej s’, podstaw dla niego s=s’. D = D È {w}. Algorytm pozwala efektywnie wyznaczyć sieć dróg - z określonego wierzchołka do wszystkich innych.Pot. problem: ujemne wagi.

  13. Cykl Eulera - alg Fleury’ego • Wystartuj z wierzchołka o nieparzystym stopniu (jeśli jest); • Wybierz dowolną krawędź, ale most wybieraj w ostateczności; • Przejdź do kolejnego wierzchołka. Algorytm działa dla grafów eulerowkich, półeulerowskich. Problematyczna jest jednak implementacja testu, czy krawędź jest mostem.

  14. Cykl Eulera – alg. ze stosem • Wystartuj z dowolnego wierzchołka; • Jeżeli istnieją nie przechodzone dotąd krawędzie incydentne z bieżącym wierzchołkiem: • Wybierz dowolną krawędź; • Przejdź do kolejnego wierzchołka i odłóż go na stos; • W przeciwnym wypadku: • Przenieś wierzchołek do rozwiązania i zdejmij go ze stosu; • Przejdź do wierzchołka na szczycie stosu. Algorytm wymaga grafu eulerowskiego.

  15. Kolorowanie grafów wierzchołków krawędzi Należy przeprowadzić przydział kolorów w taki sposób, aby sąsiedzi otrzymali różne kolory KOLOROWANIE

  16. Kolorowanie grafów heuryst. LF • Wybierz niepomalowany wierzchołek o największym stopniu; • Przydziel wierzchołkowi najniższy możliwy kolor. Dobroć algorytmu jest liniowa, tj. można pokazać graf, dla którego: liczba użytych kolorów ~ liczba wierzchołków optymalna liczba kolorów

  17. Kolorowanie grafów heuryst. SL • Wybierz wierzchołek o najmniejszym stopniu w nieprzetworzonym podgrafie; • Wstaw wierzchołek na początek sekwencji; • Usuń z podgrafu wierzchołek i incydentne z nim krawędzie; • Po uporządkowaniu wszystkich wierzchołków przydzielaj kolejnym wierzchołkom w sekwencji najniższe możliwe kolory. Dobroć algorytmu jest liniowa

  18. Kolorowanie grafów heuryst. SLF • Wybierz wierzchołek o największym stopniu saturacyjnym (największej liczbie różnobarwnych sąsiadów), a w przypadku kilku wierzchołków o tym samym stopniu wybierz ten o najwyższym stopniu klasycznym; • Przydziel wierzchołkowi najniższy możliwy kolor.

  19. Cykl Hamiltona • Cykl Hamiltona; • Problem Komiwojażera; • Algorytm przybliżony.

More Related