D émonstration d ’opérations sur les fractions algébriques à saveur «enseignement stratégique» .

1. Démonstration d’opérations sur les fractions algébriques à saveur «enseignement stratégique». Une fois la page lue, clique une fois afin que la démonstration se poursuive.

2. Je vais simplifier une expression algébrique, tout en démontrant les liens s’effectuant avec d’autres notions mathématiques déjà vues. Il faut tout d’abord savoir ce que signifie factoriser et polynôme. Le sais-tu?

3. Factoriser signifie décomposer en facteurs premiers. Polynôme signifie plusieurs termes. Ceci nous amène à une autre question: qu’est-ce qu’un facteur premier? Un facteur ou un diviseur, c’est la même chose. Un facteur premier est un facteur qui ne se décompose plus.

4. Par exemple, les facteurs premiers ou un diviseurs de 10 sont: 1, 2, 5 et 10, car 1 x 10 = 10 et 2 x 5 = 10.

5. À ton tour! Quels sont les facteurs premiers de 12? Si tu as répondu 1, 2, 3, 4, 6, 12, c’est bien cela, car 1 x 12 = 12 2 x 6 = 12 3 x 4 = 12.

6. Maintenant, nous disions plus tôt que polynôme signifie plusieurs termes. Qu’est-ce qu’un terme?

7. Un terme peut être un coefficient numérique (chiffre ou nombre), une variable (lettre), ou une combinaison des deux. Par exemple, le chiffre 2 est un terme, la lettre x aussi, et 12y également. Donc, en combinant le tout, 2 + x – 12y constitue un polynôme, plus précisément un trinôme. Il existe des monômes, des binômes, des trinômes et des polynômes.

8. Monôme signifie un terme, par exemple 2 ou x. Binôme signifie deux termes séparés par un signe d’addition ou soustraction, par exemple 2 + x ou encore 4x – 3. Trinôme signifie trois termes séparés par des signes: addition et/ou soustraction. Par exemple: 2x –3y + 5 ou encore –7 + 12m –15n.

9. Polynôme signifie plusieurs termes séparés par des signes: addition et/ou soustraction. Par exemple: 2x –3y + 5z – 6.

10. Tu as certainement compris que ce sont les signes d’addition et de soustraction qui séparent les termes d’un binôme, trinôme ou polynôme. As-tu remarqué aussi que les polynômes que je t’ai présentés n’avaient pas d’exposant: 2 + x – 12y, 2 + x, 4x – 3, 2x –3y + 5, –7 + 12m –15n ?

11. Qu’est-ce qu’un exposant? C’est un petit symbole en haut et à droite d’un autre symbole. Exposant est synonyme de puissance. Voici un exemple:

12. 3 au carré ou 3 à la puissance 2 ou 3 exposant 2 ou 3 x 3 = = 9 .

13. Ainsi, les polynômes n’ayant pas d’exposant sont appelés polynômes du premier degré. Les polynômes comme sont appelés polynômes du second degré, en raison de l’exposant 2. Les polynômes du second degré se décomposent de différentes façons, vues dans le cours précédent. Nous ne reverrons pas ici les techniques de factorisation.

14. Revenons donc à la question initiale, à savoir, simplifier une expression algébrique. Voici donc cette expression: Première étape: factoriser les polynômes. Pour ce faire, débutons toujours par la simple mise en évidence.

15. Par la suite, factorisons les binômes, trinômes, polynômes et différences de carrés. Maintenant, reste-t-il des termes encore décomposables? Si oui, décomposons-les.

16. Il reste encore un terme décomposable. Décomposons-le. Maintenant que l’expression est entièrement décomposée, procédons aux calculs.

17. Une telle expression fait appel à plusieurs concepts telles la priorité des opérations et les 4 opérations (addition, soustraction, multiplication et division) sur les fractions.

18. Tout d’abord, rappelons en quoi consiste la priorité des opérations. On doit débuter les calculs par les opérations comprises entre parenthèses. Par la suite, la multiplication et la division ont priorité sur l’addition et la soustraction. Toutefois, la multiplication n’a pas de priorité la division, et vice versa. Il en est de même pour l’addition et la soustraction.

19. Ainsi, quelle opération prioriser entre la multiplication et la division, entre l’addition et la soustraction? La réponse est fort simple. Lorsqu’on lit un texte en français, on lit de gauche à droite, eh bien, c’est la même chose dans le cas qui nous concerne.

20. Donc, entre la multiplication et la division, on calcule en priorité l’opération de gauche. Même chose en ce qui concerne l’addition et la soustraction. Allons-y d’un exemple.

21. Calculons l’expression suivante: Un petit truc: mets des parenthèses autour des opérations à prioriser soit la multiplication et la division. Nous obtenons ainsi: Procédons maintenant aux calculs:

22. Ceci conclut le rappel concernant la priorité des opérations. Rappel suivant: les 4 opérations (addition, soustraction, multiplication et division) sur les fractions. La façon de procéder est la même pour l’addition et la soustraction.

23. Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut leur trouver un dénominateur commun. Tout d’abord, qu’est qu’un dénominateur? C’est le terme sous la division, comme 3 dans 2/3. Maintenant, qu’est-ce qu’un dénominateur commun? C’est ce qu’on appelle le P.P.C.M. ou plus petit commun multiple. Qu’est-ce qu’un multiple?

24. Allons-y d’un exemple. Pour trouver les multiples de 7, il suffit de multiplier 7 par 0, par 1, par 2, par 3… pour obtenir les multiples de 7 qui sont 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42…

25. Ainsi, pour effectuer la soustraction suivante: Il faut tout d’abord connaître le dénominateur commun: 15.

26. Multiplions chacune des fractions de façon à les mettre au même dénominateur:

27. Maintenant, qu’en est-il de lamultiplication et division des fractions? Il faut tout d’abord savoir que dans les cas de multiplication et division de fractions, contrairement à l’addition et la soustraction, on ne doit pas chercher de dénominateur commun. Que faire alors? Voici.

28. Dans le cas d’une division par une fraction, on inverse la fraction située à droite de la division, tout en changeant cette division pour une multiplication, ce qui donne: Par la suite?

29. On multiplie les numérateurs entre eux, et de même pour les dénominateurs. Qu’est-ce qu’un numérateur? C’est le terme au-dessus de la division dans une fraction. Dans la fraction 2 représente le numérateur, et 3 le dénominateur.

30. Donc: Ici se terminent les rappels.

31. Revenons donc à la question initiale, à savoir, simplifier l’expression algébrique suivante: Changeons tout d’abord la division pour une multiplication, tout en inversant la fraction située à droite de la division.

32. Simplifions la première fraction: Ceci donne:

33. Reprenons ce dernier résultat: Simplifions maintenant la deuxième fraction: À noter que x+1 = 1+x.

34. De ce dernier résultat: simplifions la dernière fraction: À noter que (2x+y) du numérateur s’est simplifié avec l’exposant 2 de (2x+y) du dénominateur.

35. Reprenons ce dernier résultat: Il est possible de simplifier les numérateurs et dénominateurs des deuxième et dernière fractions, car celles-ci sont reliées par une multiplication. À noter que (1-x) = -1(x-1) .

36. Par ailleurs, il est impossible de simplifier les numérateurs et dénominateurs des première et deuxième fractions, car celles-ci sont reliées par une addition. Il en serait ainsi pour une soustraction.

37. Reprenons ce dernier résultat: et effectuons les opérations en respectant les règles de priorité qui stipulent d’effectuer la multiplication et la division, avant l’addition et la soustraction, ce qui donne:

38. Reprenons ce dernier résultat: Il nous reste ici à effectuer l’addition de deux fractions. Pour ce faire, nous devons trouver le dénominateur commun à ces deux fractions. À noter que (3-x) = -1(x-3) .

39. Ce qui nous permet de transformer la fraction de droite de ceci: à

40. Reprenons ce dernier résultat: Le dénominateur commun à ces deux fractions est: 2x(x+2)(x-3) . ou encore

41. Effectuons les produits au numérateur:

42. Reprenons ce dernier résultat: et additionnons les termes semblables au numérateur.

43. Le numérateur de cette expression est-il décomposable? Si oui, décomposons-le de façon à voir s’il est possible par la suite de simplifier encore des termes du numérateur et dénominateur. Dans le cas présent, le numérateur ne se décompose pas. Ainsi, le résultat final est:

44. Voilà ce qu’était une démonstration à saveur «enseignement stratégique». J’ai voulu présenter ici un exemple de ce que tu devrais faire face à un problème à résoudre: le démanteler afin d’en saisir le sens et l’essence. Face à n’importe quelle situation de la vie, on se doit d’analyser toutes les facettes du problème qui se présente à nous, afin d’en tirer la meilleure conclusion.