TEMA 2 : ALGEBRA DE MATRICES.

1. TEMA 2 : ALGEBRA DE MATRICES. 1.- Definiciones. 2.- Fórmulas. 3.- Esquema. 4.- Ejercicios.

2. 2.1.NOMENCLATURA Y DEFINICIONES • Matriz:Son unas tablas de números dispuestos en filas y columnas. Los son números reales • Dimensión de una matriz: La dimensión viene dada así: el número de filas × el número de columnas. • Vector Fila: Matriz de dimensión (1×j). • Vector Columna:Matriz de dimensión (i×1). • Matriz Cuadrada:Matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas.

3. Matrices iguales:Dos matrices son iguales cuando son de la misma dimensión y además, coinciden término a término. • Matriz Traspuesta:La matriz traspuesta de una matriz A es otra matriz que se obtiene al cambiar en A las filas por las columnas y las columnas por filas. La Matriz traspuesta se denota por • Matriz Simétrica:Una matriz es simétrica si cumple: Una matriz simétrica ha de ser Cuadrada.

4. 2.2 OPERACIONES CON MATRICES • Suma de matrices: Dos matrices se pueden sumar si tienen la misma dimensión y se suman término a término. • Producto de un número por una matriz: Se multiplica cada término por el número. • Producto de una matriz fila por una matriz columna: El producto de un vector fila por un vector columna, ambos de la misma dimensión, es un número que se obtiene multiplicándolos término a término y sumando los resultados

5. Producto de Matrices: Para que dos matrices A y B puedan multiplicarse debe cumplirse la siguiente condición: “El número de columnas de la primera matriz (A) coincida con el número de filas de la segunda (B).” En tal caso, el producto A∙B=C es otra matriz cuyos elementos se obtienen multiplicando cada vector fila de la primera matriz(A) por cada vector columna de la segunda (B). La matriz C resultante tiene tantas filas como A y tantas columnas como B.

6. 2.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES • Propiedades de la suma de matrices: • ASOCIATIVA: • CONMUTATIVA: • ELEMENTO NEUTRO: la matriz O cuyos elementos son todos ceros, sumada con cualquier otra matriz de su misma dimensión, la deja igual. • MATRIZ OPUESTA: • Propiedades del producto de números por matrices: Sean a, b números reales y A, B matrices: • ASOCIATIVA: • DISTRIBUTIVA I: • DISTRIBUTIVA II: • PRODUCTO POR EL NÚMERO 1:

7. Propiedades del producto de matrices: • ASOCIATIVA: Esta propiedad nos permite prescindir de los paréntesis cuando multipliquemos matrices siempre y cuando las matrices sean multiplicables. • El producto de matrices NO ES CONMUTATIVO en general: Como consecuencia, hemos de mantener el orden en que aparezcan las matrices que han de multiplicarse, utilizamos expresiones del tipo “ La matriz M está multiplicando por la izquierda (o por la derecha)…”

8. 2.4 MATRICES CUADRADAS Las matrices cuadradas de orden m, además de sumarse y multiplicarse por un número, pueden multiplicarse entre sí. Veamos algunas definiciones y propiedades: Matriz Unidad: Matriz cuya diagonal principal son todos unos y el resto de términos son ceros. Matriz Inversa de otra: Algunas matrices cuadradas tienen matriz inversa, pero otras no. La notación si existe de la matriz inversa es A-1 Cumple la siguiente propiedad: El procedimiento para calcularla lo veremos en la unidad 4.

9. 2.5 COMPLEMENTOS TEÓRICOS PARA EL ESTUDIO DE MATRICES • Espacio vectorial:Todo conjunto V que cumpla las dos siguientes operaciones se define como Espacio Vectorial: • Suma de dos elementos: • Producto por un número real: El conjunto de las matrices forman un espacio vectorial. • n-Uplas de números reales: Una colección de n números reales dados en un cierto orden se llama n-upla. Tanto las filas como las columnas de las matrices son n-uplas de números reales. • Combinación lineal de vectores: Dados El vector formado por Se llama combinación lineal de los vectores

10. Dependencia e independencia lineal: Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente independientes (L.I.) si ninguno de ellos se puede poner como combinación lineal de los demás. El máximo número posible de n-uplas linealmente independientes es n.

11. 2.6 RANGO DE UNA MATRIZ Llamamos rango de una matriz al número de filas (o columnas) que son linealmente independientes. • Teorema: En una matriz, el número de filas L.I. coincide con el número de columnas L.I. Según esto, el rango de una matriz es el número de filas o de columnas L.I. Ejemplos: el máximo rango posible es 2 porque

12. ESQUEMA TEMA 2