Unidad 4 Clase 4.3 Matrices: Definiciones, matrices especiales y operaciones con matrices

1. Matemática Básica para Economistas MA99 Unidad 4 Clase 4.3 Matrices: Definiciones, matrices especiales y operaciones con matrices

2. Objetivos: El alumno será capaz de: • Explicar la definición de una matriz. • Identificar la posición de los elementos de una matriz. • Identificar y clasificar los diversos tipos de matrices. • Realizar operaciones con matrices: suma, resta, multiplicación. • Aplicar las propiedades en las operaciones entre matrices.

3. Introducción: Las matrices son de suma importancia en las ciencias, como la ingeniería, la economía y otras ciencias aplicadas. Son útiles para representar datos en forma ordenada, para modelar problemas y resolver sistemas de ecuaciones, para indicar las interrelaciones que existen en los diferentes sectores de la economía (Matriz Insumo – Producto), entre otras.

4. Matriz Una matriz es un arreglo rectangular de elementos (números reales) ordenados en filas y columnas: aij es el elemento situado en la i-ésima fila y en la j-ésima columna. La matriz tiene m filas y n columnas. • B es una matriz de orden 2x5.

5. Las matrices filas son las de orden 1xn y las matrices columnas son las de orden mx1 (vectores) • B es una matriz columna. • A es una matriz fila. Igualdad de matrices Matrices especiales:Matriz fila y matriz columna Dos matrices A y B del mismo orden son iguales si todos sus elementos correspondientes son iguales.

6. i si i = j 0 si i ≠ j aij = Matrices especiales:Matriz diagonal Es la matriz cuadrada Anxn = [aij] definida por: i Є R Matrices especiales: Matriz identidad Es un caso particular de la matriz diagonal, en la cual los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 1.

7. Matrices especiales:Matriz Triangular Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos iguales a cero. Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada cuyos elementos situados por debajo de la diagonal principal son todos iguales a cero.

8. Matriz transpuesta Dada una matriz Amxn = [aij], llamaremos matriz transpuesta de A a la matriz que resulta de intercambiar en A las filas por columnas. Esta matriz estará denotada por Atnxm = [aji]. Propiedades:

9. Matrices especiales: Matriz simétrica y antisimétrica Una matriz cuadrada A se llama simétrica si At = A y antisimétrica si At = -A. • A es una matriz simétrica, pues At = A. • B es una matriz antisimétrica, pues Bt = -B.

10. Adición y sustracción de matrices Dadas las matrices Amxn = [aij] y Bmxn = [bij] del mismo orden, la suma (A+B) o diferencia (A-B) es una matriz cuyos elementos son las sumas o diferencias de cada uno de los elementos respectivos de las matrices. A + B = [aij + bij] ; A – B = [aij – bij] Multiplicación de un escalar por una matriz El producto de un escalar k por una matriz es otra matriz kA que se obtiene multiplicando cada elemento de A por k.

11. Ejercicios: Ejercicio: Construya una matriz A = [aij], si A es de orden 3x2 donde aij = 4i + 2j Ejercicio 6.1 – Prob. 12 (pág. 230) Construya la matriz B = [bij] si B es de orden 2x2 y bij = (-1)i+j(i2 + j2) Ejercicio 6.1 – Prob. 13 (pág. 230) Si A = [aij] es de orden 12x10, ¿cuántas entradas tiene A? Si aij = 1 para i = j y aij = 0 para i ≠ j, encuentre a33, a52, a10,10 y a12,10

12. 1 2 1 3 1 0 A= 0 -1 1 2 -1 B= C= D= 4 -1 1 2 1 0 2 7 0 Ejercicios: Ejercicio 6.2 – Probs. 29, 30 y 34 (pág. 238) Calcule: • 3AT + D • (B – C)T • (D – 2AT)T Dadas las matrices:

13. 2 6 1 2 0 2 8 4 E= F= 0 1 3 5 2 3 3 2 2 7 9 0 4 0 2 6 Aplicaciones: Ejercicio 6.1 – Prob. 29 (pág. 230) La compañía Widget tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices cuyos renglones (filas), en orden, representan el número de modelos regular, de lujo y extra lujo vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y púrpuras vendidas. Las matrices de enero (E) y febrero (F) son: a) En enero, ¿cuántas unidades de los modelos de extra lujo blancos se vendieron? b) En febrero, ¿cuántos modelos de lujo azules se vendieron? c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras? d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses?