Threshold Autoregressive Modelle

1. Threshold Autoregressive Modelle

2. Agenda • 1. Einführung • 2. Modellstruktur • Inferenz in SETAR-Modellen • 3.1 Schätzung der Steigungsparameter • 3.2 Schätzung des Threshold Parameters/Schwellenwertes • 3.3 Schätzung des Verzögerungsparameters • 3.4 Schätzung eines SETAR(3)-Modells • Tests • 4.1 Test auf Threshold Autoregression vs. Linearität • 4.2 Test auf optimale Anzahl an Regimen • 4.3 Weitere Tests • 4.4 Heteroskedastie • 5. Beispiel

3. Einführung • Self-exciting Threshold Autoregressive (SETAR)-Modelle gehören zu der Klasse der nicht-linearen Modelle • Sie sind motiviert von vielen nicht-linearen, in der Praxis beobachtbaren Charakteristiken • Nicht-Linearitäten werden sehr wichtig in der Anwesenheit von • natürlichen Sättigungsprozessen, welche Grenzzyklen implizieren • asymmetrischen Anpassungskosten, • Zins- und Arbeitslosenraten, • Unumkehrbarkeiten, • Transaktionskosten, • Budgetrestriktionen und andere Formen der Beschränkung • Im allgemeinen versuchen (SE)TAR-Modelle die Asymmetrie in steigenden und fallenden Mustern/Effekten eines Prozesses zu erklären und zu modellieren

4. SETAR-Modelle bestehen aus einzelnen linearen AR(p)-Modellen Modellstruktur • (SE)TAR-Modelle bestehen aus verschiedenen Regimen • Diese Regime hängen von dem Threshold-Parameter/Schwellenwert und einer spezifischen Threshold-Variable ab • Einzeln betrachtet, ist jedes Regime ein lineares AR(p)-Modell • In Zusammenarbeit miteinander versuchen sie den nicht-linearen Prozess zu erklären und zu beschreiben

5. Modellstruktur Formale Darstellung eines mit • und sind die Steigungsparameter des jeweiligen Regimes • ist die Threshold-Variable und der Threshold-Parameter selbst • und bezeichnen die autoregressiven Ordnungen jedes linearen Teils • wird Verzögerungsparameter genannt • ist mit

6. Modellstruktur • ist • eine univariate Zeitreihe • Stationär, wenn • Geometrisch ergodisch, wenn • Der Mittelwert von ist der gewichtete Durchschnitt der bedingten Erwartungswerte der einzelnen Regime (Gewichte: W´keit für sich in dem bestimmten Regime zu befinden)

7. Modellstruktur • Für  lineares AR(p)-Modell = • (SE)TAR-Modelle gehören nur zur Klasse der nicht-linearen Modell, wenn • die Anzahl der Regime • die Steigungsparameter unterschiedlich sind (vorausgesetzt der Autoregressive Grad in jedem Regime ist gleich, )

8. Modellstruktur Alternative Darstellung (1) mit und

9. Modellstruktur Kompakte Form Dafür definiert man und So kann Gleichung (1) geschrieben werden mit und

10. Modellstruktur Kompakteste Form mit , , und

11. Modellstruktur • Das Beispiel zeigt ein SETAR-Modell mit 2 Regimen und der Threshold Variablen • Der einzige und wesentliche Unterschied zwischen einem SETAR- und einem TAR-Modell ist die Threshold Variable • TAR-Modell Funktion der Daten • SETAR-Modell abhängig von • Aus diesem Grund sind SETAR-Modelle self-exciting (selbst initiierend)

12. Inferenz in SETAR-Modellen • 3. Inferenz in SETAR-Modellen • 3.1 Schätzung der Steigungsparameter • 3.2 Schätzung des Threshold-Parameters/Schwellenwertes • 3.3 Schätzung des Verzögerungsparameters • 3.4 Schätzung eines SETAR(3)-Modells • Inferenz in SETAR- oder TAR-Modellen ist gleich • Ausnahme: Verzögerungsparameter muss in TAR-Modellen nicht geschätzt werden

13. Schätzung der Steigungsparameter • Zur Vereinfachung: Kompakteste Form für die Schätzung • Fokus liegt auf den Steigungsparametern • Annahme: ist • Für die Schätzung wird die Kleinste-Quadrate(KQ) Methode (least squares method (LS)) genutzt, aber aufgrund der Nicht-Linearität des SETAR-Modells müssen sequentiell bedingte KQ-Schätzungen angewendet werden • Sequentiell: Steigungsparameter jedes Regimes separat schätzen • Bedingt: Schätzung hängt von dem Threshold-Parameter ab, der die Daten in die einzelnen Regime aufteilt

14. Schätzung der Steigungsparameter • Für einen gegebenen Wert von lautet die KQ-Schätzung von mit und (ähnelt )

15. Schätzung der Steigungsparameter • Für die Residuen erhalten wir • Für die Varianz der Residuen erhalten wir • ist  KQ-Schätzung = Maximum-Likelihood Schätzung

16. Schätzung des Threshold Parameters/Schwellenwertes • Problem: Stichprobenverteilung des Threshold Parameters • kann an den exakten Grenzen des Regimewechsels nur schwer spezifiziert werden • Nichtsdestotrotz kann die KQ-Schätzung durchgeführt werden und der Schätzer lautet • mit und

17. Schätzung des Threshold Parameters/Schwellenwertes • Schritt 1: Um zu erhalten, werden OLS Regressionen von durchgeführt für • Schritt 2: Setze • Schritt 3: kann geschätzt werden • Schritt 4: Einsetzten von in and , sodass und •  Damit sind die Schätzer von und gefunden

18. Schätzung des Verzögerungsparameters • In SETAR-Modellen • wird Verzögerungsparameter genannt • Er misst die Verzögerung in Bezug auf den Referenzpunkt • Im allgemeinen ist eine positive ganze Zahl und Element aus dem Intervall , was gewöhnlich unbekannt ist • Unter Nutzung des KQ-Schätzers wird die Schätzung simultan zu der des Threshold-Parameters durchgeführt • So werden anstatt Regressionen durchgeführt, da viele Kombinationen von und geschätzt werden müssen

19. Schätzung des Verzögerungsparameters • Die Lösung des Optimalisierungsproblems ist eine Kombination von und , welche die Residuenvarianz minimiert • ist super konsistent, da es aus einem diskreten Parameterraum gebildet wird

20. Schätzung eines SETAR( )-Modells • SETAR(3)-Modell: • Die Schätzmethode für ein SETAR(3)-Modell ist exakt gleich zu der eines SETAR(2)-Modells • Unterschied: SETAR(2)-Model vs. SETAR(3)-Model

21. Schätzung eines SETAR( )-Modells • Auch ändert sich: SETAR(2)-Model vs. SETAR(3)-Model mit , und • Auch die Anzahl der Regressionen bei der Schätzung von und steigt auf anstatt , da jetzt und kombiniert werden müssen

22. Tests 4. Tests 4.1 Test auf Threshold Autoregression vs. Linearität 4.2 Test auf optimale Anzahl an Regimen 4.3 Weitere Tests

23. Test auf Threshold Autoregression vs. Linearität • Benötigen wir ein SETAR-Modell? • Test auf Threshold Autoregression vs. Lineariät • Nullhypothese vs. Alternativhypothese • Wenn und die autoregressive Ordnung jedes Regimes gleich ist, dann reduziert sich ein 2-Regime zu einem linearen AR(p)-Modell • Gegeben  Linearität alle Steigungsparameter der verschiedenen Regime sind gleich ≙

24. Test auf Threshold Autoregression vs. Linearität • Teststatistik unter • mit und • ist der OLS Schätzer für die Steigungsparameter, wenn • Ähnlich der Teststatistik eines Wald-Tests

25. Test auf Threshold Autoregression vs. Linearität • Teststatistik unter • Durch Integration des Verzögerungsparameters lautet die Teststatistik • Die Nullhypothese wird für große Werte von verworfen

26. Schätzung des Verzögerungsparameters • In SETAR-Modellen • wird Verzögerungsparameter genannt • Er misst die Verzögerung in Bezug auf den Referenzpunkt • Im allgemeinen ist eine positive ganze Zahl und Element aus dem Intervall was gewöhnlich unbekannt ist • Unter Nutzung des KQ-Schätzers wird die Schätzung simultan zu der des Threshold-Parameters durchgeführt • So werden_____anstatt Regressionen durchgeführt, da viele Kombinationen von und geschätzt werden müssen

27. Test auf Threshold Autoregression vs. Linearität • Um Threshold Autoregression nachzuweisen muss groß sein • Die Kombination von und sollte somit maximieren • Für fixe und ist asymptotisch -verteilt • Ohne fixe Kombination: Suche nach dem Maximum aus unterschiedlichen asymptotischen Zufallsvariablen • Intuitiv ist die Verteilung von größer als eine -Verteilung • Für die Bestimmung des kritischen Wertes wird die -Verteilung genutzt

28. Test auf Threshold Autoregression vs. Linearität • Alternatives Verfahren: Bootstrap Prozess (Für detailierte Darstellung siehe Hansen (1997)) • Problem: Annahme für • Unter Heteroskedastie: Wald oder Lagrange Multiplier Test • mit ,

29. Test auf optimale Anzahl an Regimen • Wie viele Regime sollte ein SETAR-Modell haben, um adäquat zu sein? • Schritt 1: Ermittlung von und der Residualvarianz aus dem geschätzten SETAR-Modell heraus • Schritt 2: Bezeichnung von eines SETAR(j)-Modells als und eines SETAR(k)-Modells als , mit k>j • Annahme: ist mit

30. Test auf optimale Anzahl an Regimen • Null- und Alternativhypothese SETAR(j)-Modell ist das adäquate Modell vs. SETAR(k)-Modell ist adäquat • Teststatistik • wird für große Werte von verworfen

31. Weitere Tests • Ist gleich ? • Annahmen • ist mit • Die linearen Gleichungen jedes Regimes sind stationär, so dass • Existenz eines Multi-Regime Modells, so dass oder • Null- und Alternativhypothese vs.

32. Weitere Tests • Teststatistik • wird für große Werte von verworfen • Problem: Stichprobenverteilung von  um den kritischen Wert zu ermitteln wird eine asymptotische Verteilung genutzt • Wenn dann dann • 1. • 2.

33. Heteroskedastische Fehlerterme • Wenn konditionell heteroskedastisch ist, sind einige Anpassungen notwendig • Die Anpassungen werden mit Hilfe eines Anpassungsparameters durchgeführt • Somit lautet die formale Anpassung 1. 2. 3.

34. Beispiel • SETAR(2,1,1)-Modell • mit

35. Graph

36. Literatur • Hansen, B.E. (1996a). „Inference when a nuisance parameter is not identified under the null hypothesis.“ Econometrica, 64: 413-430. • Hansen, B.E. (1996b). „Sample splitting and threshold estimation“. Working paper 319. Chestnut Hill, Massachusetts: Boston College • Hansen, B.E. (1997). „Inference in TAR Models“. Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics 2:1-14 • Hansen, B.E. (1999). „Testing for linearity“. Journal of Economic Surveys 13: 551-576 • Tsay, R.S. (2002). „Analysis of Financial Time Series“, Wiley, New York.