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Ausgleichungsrechnung

Ausgleichungsrechnung. Einleitung Stochastisches Modell a priori Ausgleichungsverfahren Stochastisches Modell a posteriori. Ziele. Kontrolle : Aufdecken von (groben) Fehlern Plausibilität : Wahrscheinlichste Schätzwerte für die wahren Werte der Unbekannten bzw. Messwerte

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Presentation Transcript

  1. Ausgleichungsrechnung • Einleitung • Stochastisches Modell a priori • Ausgleichungsverfahren • Stochastisches Modell a posteriori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  2. Ziele • Kontrolle: Aufdecken von (groben) Fehlern • Plausibilität: Wahrscheinlichste Schätzwerte für die wahren Werte der Unbekannten bzw. Messwerte • Qualität: Angabe von Standardabweichungen für die Unbekannten und Messwerte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  3. Verteilung zufälliger Messabweichungen (1) • Lambert: Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche • zufällige Abweichungen gleicher Größe nach beiden Seiten möglich • geringe Abweichungen häufiger als große • Kurve mit Wahrscheinlichkeit der Abweichungen ist • symmetrisch • Abweichung Null hat höchste Wahrscheinlichkeit • Wendepunkt auf beiden Seiten • beidseitig asymptotische Annäherung an Null • Weitere Untersuchung durch Gauß Normalverteilung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  4. Verteilung zufälliger Messabweichungen (2) • Bedingung: • oder in Matrizenschreibweise • Gewichtepi umgekehrt proportional zu den Varianzen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  5. Stochastisches Modell a prioriDie Gewichtsmatrix • Beschreibung der stochastischen Zusammenhänge in einem Zufallsvektor: Kovarianzmatrix • Für einen Beobachtungsvektor: • Hauptdiagonale: Varianz der Beobachtung • Außerhalb der Hauptdiagonale: Kovarianz oder Null wenn stochastisch unabhängig • Bezeichnet mit SLL Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  6. Festlegung von Gewichten (1) • Gewichtung der Verbesserungen umgekehrt proportional zu den Varianzen • Oft nur relative Genauigkeiten vorhanden • Wir wählen Bezugsvarianz: Varianz der Gewichtseinheit a priorioder Varianzfaktor • Kofaktormatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  7. Festlegung von Gewichten (2) • Elemente der Kofaktormatrix: Kofaktoren oder Gewichtsreziproke • Gewichtung ist umgekehrt proportional zu den Varianzen bzw. Kofaktoren, also Inversion der Matrix • Festlegung geschieht vor der Messung  a priori VarianzenVarianz der Gewichtseinheit a prioristochastisches Modell a priori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  8. Funktionales Modell (1) • n BeobachtungenL um u Unbekannte X(Parametervektor) zu bestimmen • Realisierungen L1, … Ln sind Näherungen des wahren Wertes • Wir geben Schätzwert für den wahren Wert an:Ausgeglichene Beobachtungen • Auch Parametervektor hat wahren Wert Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  9. Funktionales Modell (2) • Oft Parameter näherungsweise bekannt: Genäherter ParametervektorX0 • Differenz ausgeglichener – genäherter Parametervektor: gekürzter Parameter-vektorx • Funktionaler Zusammenhang: r Funktionen j1, … jr mit den Parametern L und X Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  10. (ursprüngliches) funktionales Modell Widerspruchsvektor genäherter Beobachtungsvektor gekürzter Beobachtungsvektor‚gemessen minus gerechnet‘ Beziehungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  11. Linearisiertes funktionales Modell • Funktionen j1, … jr von beliebigem Typ • Annahme: x und v klein gegenüber X0 und L • Linearisierung über Taylor-Entwicklung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  12. Jacobi-Matrix • Modellmatrix (Designmatrix) A • Matrix B Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  13. Funktionales Modell Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  14. Allgemeine Auflösung (1) • Extremwertaufgabe mit NebenbedingungenLösung mit Lagrange‘schen Vektoren • Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  15. Allgemeine Auflösung (2) Ableitung nach v: Gleich Null setzen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  16. Allgemeine Auflösung (3) Ableitung nach x analog und es ergibt sich: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  17. Allgemeine Auflösung (4) • Gemeinsames Gleichungssystem: • Auflösung durch Inversion: Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  18. Iteration Neu aufstellen Geprüfte Programme verwenden Hauptprobe • Annahme war, dass x und v klein gegen-über X0 und Lsind • Annahme muss überprüft werden! • Einsetzen in ursprüngliches (nicht linearisiertes) Gleichungssystem • Wenn nicht genügend genau erfüllt? • Näherungswerte nicht gut genug • Funktionales Modell fehlerhaft • Rechenfehler Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  19. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  20. Fehler im funktionalen Modell • Hauptprobe zeigt Fehler im funktionalen Modell an • Kandidat für Fehler ist die Funktion, bei der die Hauptprobe nicht aufgeht • z.B. 3. Gleichung geht nicht auf – möglicherweise 3. Zeile der A-Matrix oder 3. Element des w-Vektors fehlerhaft Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  21. Iterative Ausgleichung • Ergebnis der Ausgleichung als Näherung für eine neuerliche Ausgleichung verwendet • L, SLL und B bleiben erhalten • A und w werden neu berechnet (hier kommen die Näherungswerte der Unbekannten vor) • Iteration so lange, bis Hauptprobe aufgeht • Iteration muss nicht konvergieren! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  22. Sonderfälle • In jeder Gleichung ji kommt jeweils nur eine Beobachtung vor: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen • Es treten keine unbekannten Parameter auf, die Gleichungen ji beschreiben nur den funktionalen Zusammenhang der Beobachtungen: Ausgleichung bedingter Beobachtungen • In n Gleichungen tritt jeweils nur eine Beobachtung auf und in den übrigen r-n Gleichungen treten nur Unbekannte auf: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  23. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen • Pro Gleichung nur eine Beobachtung • Gleichungen explizit nach Li auflösbar • n Messgrößen, r=n Gleichungen, u Unbekannte • Überschüssige Beobachtungen: nfv=n-uAnzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  24. Art des Problems Unterscheidung über die Redundanz: • Redundanz < 0: unterbestimmt, nicht eindeutig lösbar • Redundanz = 0: Problem eindeutig lösbar • Redundanz > 0: Ausgleichungsaufgabe Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  25. Funktionales Modell Taylorentwicklung: B= –I Modellmatrix A wie bisher weiters: bzw. Verbesserungsgleichung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  26. Gewichtsmatrix • Anwendung des Varianzfortpflanzungs-gesetzes auf gibt für die Kovarianzmatrix des gekürzten Beobachtungsvektors: • Die Kofaktormatrix ergibt sich somit zu • Somit erhalten wir dieselbe Gewichts-matrix P wie bisher. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  27. Normalgleichung Lösung • Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu • Die Auflösung ergibt • Normalgleichungsmatrix • Verbesserungen: • Ausgeglichene Beobachtungen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  28. Hauptprobe • Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? • Einsetzen in Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  29. Sonderfall: Lineare Verbesserungsgleichungen • z.B. Koordinatendifferenzen (Nivellement) • Verbesserungsgleichungen sind linear • Keine Linearisierung notwendig • Keine Näherungswerte für die Parameter notwendig (oft trotzdem aus numerischen Gründen verwendet – kleine Werte in x und l) • Hauptprobe: Nur aufgestelltes Modell und Rechnung können falsch sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  30. Sonderfall: Ausgleichung direkter Beobachtungen • z.B. Ausgleichung direkt und mehrfach gemes-sener Größen (Strecke) • A-Matrix ist ein 1-Vektor • Auflösung: • Gewichtsmatrix Einheitsmatrix: einfaches arithmetisches Mittel • Gewichtsmatrix Diagonalmatrix: gewogenes arithmetisches Mittel • Sonst: allgemeines arithmetisches Mittel Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  31. Ausgleichung bedingter Beobachtungen • Keine unbekannten Parameter • n Beobachtungen sollen so verbessert werden, dass sie r Bedingungen (sind aufzustellen) erfüllen • r = n – n0 mit n0 = Anzahl der notwendigen Beobachtungen für eine eindeutige Lösung • nfb=r Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) • Das Problem vereinfacht sich zu Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  32. Funktionales Modell • Widerspruchsvektor: • Ableitungen nach X alle Null, somit A-Matrix eine Nullmatrix, also • Korrelaten: • Verbesserungen: • Normalgleichungsmatrix der bedingten Ausgleichung: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  33. Hauptprobe • Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen das ursprüngliche funktionale Modell? • Einsetzen in Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  34. Ausgleichung vermittelnder Beobacht-ungen mit Bedingungsgleichungen • Pro Gleichung nur eine Beobachtung • Zusätzlich Bedingungen zwischen den Unbekannten • n Beobachtungen, u Unbekannte, r Bedingungen • nfvb = n – u + nbAnzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  35. Lösungsansätze • Elimination von Unbekannten: r Unbe-kannte werden mit Hilfe der Bedingungen eliminiert • Strenge Lösung: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen • Fiktive Beobachtungen: Bedingungen werden als (fiktive) Beobachtungen mit großem Gewicht eingeführt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  36. Wann Ausgleichungsproblem? • nfvb = n – u + nb • Ausgleichungsproblem, wenn nfvb > 0 • Somit: n + nb > uDie Summe aus Beobachtungen und Bedingungen muss größer als die Anzahl der Unbekannten sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  37. Funktionales Modell • Funktionales Modell der vermittelnden Ausgleichung • und die Bedingungen • Getrennte Betrachtung der beiden Teile: • Beobachtungen • Bedingungen • Keine Bedingungen zwischen den Beobachtungen  B ist eine Nullmatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  38. Lösung (1) • Methode von Langrange: • Differenziert und gleich Null gesetzt: • Einsetzen von gibt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  39. Lösung (2) • 1. Gleichung: • Kombiniert mit 2. Gleichung: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  40. Hauptprobe • Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? • Erfüllen die ausgeglichenen Parameter die Bedingungen? • Einsetzen in Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  41. Ausgleichung bedingter Beobacht-ungen mit Unbekannten • Entspricht dem Allgemeinfall der Aus-gleichungsrechnung • n Beobachtungen, n0 Beobachtungen zur eindeutigen Lösung notwendig, u Unbekannte • Anzahl der aufzustellendenBedingungen: r = (n – n0) + u = nfa + u • Lösung: siehe Allgemeinfall Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  42. Stochastisches Modell a posteriori • a posteriori: nach der Ausgleichung • Beim stochastischen Modell a priori Ausgangspunkt Kovarianzmatrix, aber schließlich verwendet die Kofaktormatrix • Kovarianzfortpflanzungsgesetz ange-wendet auf Gleichungssystem f=Fx gibt Kofaktorfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  43. Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (1) • gekürzter Beobachtungsvektor: • Ausgeglichene Beobachtungen aus • Somit gilt: • Nun können wir l, x, l und v als Funktion von l ausdrücken. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  44. Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (2) Das Kofaktorfortpflanzungsgesetz liefert: Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  45. Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (3) Und weiters: Grund: Unterscheiden sich nur durch konstante Faktoren Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  46. Probe • Gewichtsreziprokenprobe nach Ansermet • Die Summe der Hauptdiagonalglieder der Produktmatrix muss gleich der Anzahl der Unbekannten sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  47. Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung Das Kovarianzfortpflanzungsgesetz liefert: Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  48. Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnde Ausgleichung mit Bed. • Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: • Und weiters: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  49. Kofaktoren a posteriori bei der bed. Ausgleichung mit Unbekannten • Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: • Und weiters: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

  50. Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (1) • Im stochastischen Modell s02 herausge-hoben und die Kofaktormatrix Q erhalten • Somit Übergang auf relative Genauigkeits-angaben (ausreichend für Gewichtung) • Ausgleichung liefert Kofaktormatrizen für ausgeglichene Parameter etc. • Gesucht: Kovarianzmatrizen • Multiplikation mit Varianz der Gewichts-einheit a posteriori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

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