Ausgleichungsrechnung

1. Ausgleichungsrechnung • Einleitung • Methode der kleinsten Quadrate • Ausgleichungsverfahren • Stochastisches Modell a posteriori • Anmerkungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

2. Aufgabe der Ausgleichsrechnung (Helmert 1872) Kontrolle durch überschüssige Messungen Vermehrung der Kontrollen führt zu größerer Annäherung an den wahren Wert, wenn nur zufällige Fehler auftreten Ziel: Resultat aus allen Beobachtungen bestimmen, das möglichst frei von zufälligen Fehlern ist Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

3. Bisher Messgrößen haben einen (unbekannten) wahren Wert Unsere Beobachtungen sind mit zufälligen Fehlern behaftet Aus Messgrößen werden oft andere Größen abgeleitet (z.B. Koordinaten aus Strecken und Richtungen) Für die abgeleiteten Größen kann eine Standardabweichung angegeben werden Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

4. Gewünscht Bisherige Erkenntnisse in einem größeren Kontext Ausdehnung auf komplexe Systeme Definition von Standard-Verfahren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

5. Ziele • Kontrolle: Aufdecken von (groben) Fehlern • Plausibilität: Wahrscheinlichste Schätzwerte für die wahren Werte der Unbekannten bzw. Messwerte • Qualität: Angabe von Standardabweichungen für die Unbekannten und Messwerte Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

6. Beispiel: Ausgleichende Gerade (1) • 10 Punkte gegeben • Repräsentation durch Gerade gesucht Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

7. Beispiel: Ausgleichende Gerade (2) Mathematischer Ansatz: Jeder Punkt liefert eine Gleichung bzw. in Matrizenschreibweise Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

8. Beispiel: Ausgleichende Gerade (3) rk(A)=2, rk(A,L)=3 nicht lösbar Jeweils zwei Punkte liefern eine Lösung, die Lösungen passen nicht alle zusammen Gesucht: Möglichkeit, eine eindeutige Lösung zu ermitteln Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

9. Gerade durch ersten und letzten Punkt Zweiteilung der Punktwolke in linke und rechte Hälfte, Gerade durch die Schwerpunkte Gerade, bei der k und d als Mittel- wert aus allen eindeutigen Lösungen bestimmt wurden Gerade, auf der die meisten Punkte liegen Welche Lösung sollen wir nehmen??? Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

10. Beispiel: Ausgleichende Gerade (5) Annahme: Nur y-Werte sind Messwerte – x-Werte sind Konstante (varianzfrei) y-Werte bilden BeobachtungsvektorL Plausibelste Werte sind die, welchen nach der Statistik die höchste Wahrscheinlichkeit zukommt Annahme Normalverteilung für Messwerte Annahme mehr Beobachtungen als Unbekannte (Überbestimmung) Messwerte werden verbessert, sodass Ax=l gilt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

11. Beispiel: Ausgleichende Gerade (6) Ax=l+v v=Ax-l Zusätzliche Bedingung: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

12. Verteilung zufälliger Messabweichungen (1) • Lambert: Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche (1765) • zufällige Abweichungen gleicher Größe nach beiden Seiten möglich • geringe Abweichungen häufiger als große • Kurve mit Wahrscheinlichkeit der Abweichungen ist • symmetrisch • Abweichung Null hat höchste Wahrscheinlichkeit • Wendepunkt auf beiden Seiten • beidseitig asymptotische Annäherung an Null • Gauß: Weitere Untersuchungen  Normalverteilung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

13. Verteilung zufälliger Messabweichungen (2) Folgerung: Messwerte sind normalverteiltzufällige Abweichungen normalverteilt Gilt auch, wenn Abweichungen aus empirischen Verbesserungen vi geschätzt Danach: Übergang von den einzelnen Abweichungen auf die Summe der Abweichungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

14. Verteilung zufälliger Messabweichungen (3) Gesamtwahrscheinlichkeitsdichte: Produkt der einzelnen Dichten Gesucht: Maximum, also jene vi, für die W maximal wird  K minimal Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

15. Verteilung zufälliger Messabweichungen (4) Bedingung: oder in Matrizenschreibweise Gewichtepi umgekehrt proportional zu den Varianzen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

16. Stochastisches Modell a prioriDie Gewichtsmatrix Beschreibung der stochastischen Zusammenhänge in einem Zufallsvektor: Kovarianzmatrix Für einen Beobachtungsvektor: • Hauptdiagonale: Varianz der Beobachtung • Außerhalb der Hauptdiagonale: Kovarianz oder Null wenn stochastisch unabhängig Bezeichnet mit SLL Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

17. Festlegung von Gewichten (1) Gewichtung der Verbesserungen umgekehrt proportional zu den Varianzen Oft nur relative Genauigkeiten vorhanden Wir wählen Bezugsvarianz: Varianz der Gewichtseinheit a priorioder Varianzfaktor Kofaktormatrix Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

18. Festlegung von Gewichten (2) Elemente der Kofaktormatrix: Kofaktoren oder Gewichtsreziproke Gewichtung ist umgekehrt proportional zu den Varianzen bzw. Kofaktoren, also Inversion der Matrix Festlegung geschieht vor der Messung bzw. Ausgleichung  a priori VarianzenVarianz der Gewichtseinheit a prioristochastisches Modell a priori Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

19. Funktionales Modell (1) n BeobachtungenL um u Unbekannte X(Parametervektor) zu bestimmen Realisierungen L1, … Ln sind Näherungen des wahren Wertes Wir geben Schätzwert für den wahren Wert an:Ausgeglichene Beobachtungen Auch Parametervektor hat wahren Wert Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

20. Funktionales Modell (2) Oft Parameter näherungsweise bekannt: Genäherter ParametervektorX0 Differenz ausgeglichener – genäherter Parametervektor: gekürzter Parameter-vektorx Funktionaler Zusammenhang: r Funktionen j1, … jr mit den Parametern L und X Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

21. (ursprüngliches) funktionales Modell Widerspruchsvektor gekürzter Beobachtungsvektor‚gemessen minus gerechnet‘ genäherter Beobachtungsvektor Beziehungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

22. Linearisiertes funktionales Modell Funktionen j1, … jr von beliebigem Typ Annahme: x und v klein gegenüber X0 und L Linearisierung über Taylor-Entwicklung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

23. Jacobi-Matrix • Modellmatrix (Designmatrix) A • Matrix B Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

24. Funktionales Modell Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

25. Allgemeine Auflösung (1) Extremwertaufgabe mit NebenbedingungenLösung mit Lagrange‘schen Vektoren Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

26. Allgemeine Auflösung (2) Ableitung nach v: Gleich Null setzen: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

27. Allgemeine Auflösung (3) Ableitung nach x analog und es ergibt sich: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

28. Allgemeine Auflösung (4) Gemeinsames Gleichungssystem: Auflösung durch Inversion: Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Verbesserungsgleichungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

29. Iteration Neu aufstellen Geprüfte Programme verwenden Hauptprobe Annahme war, dass x und v klein gegen-über X0 und Lsind Annahme muss überprüft werden! Einsetzen in ursprüngliches (nicht linearisiertes) Gleichungssystem Wenn nicht genügend genau erfüllt? • Näherungswerte nicht gut genug • Funktionales Modell fehlerhaft • Rechenfehler Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

30. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

31. Fehler im funktionalen Modell Hauptprobe zeigt Fehler im funktionalen Modell an Kandidat für Fehler ist die Funktion, bei der die Hauptprobe nicht aufgeht z.B. 3. Gleichung geht nicht auf – möglicherweise 3. Zeile der A-Matrix oder 3. Element des w-Vektors fehlerhaft Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

32. Iterative Ausgleichung Ergebnis der Ausgleichung als Näherung für eine neuerliche Ausgleichung verwendet L, SLL und B bleiben erhalten A und w werden neu berechnet (hier kommen die Näherungswerte der Unbekannten vor) Iteration so lange, bis Hauptprobe aufgeht Iteration muss nicht konvergieren! Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

33. Sonderfälle • In jeder Gleichung ji kommt jeweils nur eine Beobachtung vor: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen • Es treten keine unbekannten Parameter auf, die Gleichungen ji beschreiben nur den funktionalen Zusammenhang der Beobachtungen: Ausgleichung bedingter Beobachtungen • In n Gleichungen tritt jeweils nur eine Beobachtung auf und in den übrigen r-n Gleichungen treten nur Unbekannte auf: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

34. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen Pro Gleichung nur eine Beobachtung Gleichungen explizit nach Liauflösbar n Messgrößen, r=nGleichungen, uUnbekannte Überschüssige Beobachtungen: nfu=n-uAnzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

35. Art des Problems Unterscheidung über die Redundanz: • Redundanz < 0: unterbestimmt, nicht eindeutig lösbar • Redundanz = 0: Problem eindeutig lösbar • Redundanz > 0: Ausgleichungsaufgabe Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

36. Funktionales Modell Taylorentwicklung: B= –I Modellmatrix A wie bisher weiters: bzw. Verbesserungsgleichung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

37. Gewichtsmatrix Anwendung des Varianzfortpflanzungs-gesetzes auf gibt für die Kovarianzmatrix des gekürzten Beobachtungsvektors: Die Kofaktormatrix ergibt sich somit zu Somit erhalten wir dieselbe Gewichtsmatrix P wie bisher. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

38. Normalgleichung Lösung Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu Die Auflösung ergibt Normalgleichungsmatrix Verbesserungen: Ausgeglichene Beobachtungen: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

39. Hauptprobe Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? Einsetzen in Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

40. Sonderfall: Lineare Verbesserungsgleichungen z.B. Koordinatendifferenzen (Nivellement) Verbesserungsgleichungen sind linear Keine Linearisierung notwendig Keine Näherungswerte für die Parameter notwendig (oft trotzdem aus numerischen Gründen verwendet – kleine Werte in x und l) Hauptprobe: Nur aufgestelltes Modell und Rechnung können falsch sein Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

41. Sonderfall: Ausgleichung direkter Beobachtungen z.B. Ausgleichung direkt und mehrfach gemes-sener Größen (Strecke) A-Matrix ist ein 1-Vektor Auflösung: Gewichtsmatrix Einheitsmatrix: einfaches arithmetisches Mittel Gewichtsmatrix Diagonalmatrix: gewogenes arithmetisches Mittel Sonst: allgemeines arithmetisches Mittel Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

42. Ausgleichung bedingter Beobachtungen Keine unbekannten Parameter nBeobachtungen sollen so verbessert werden, dass sie rBedingungen (sind aufzustellen) erfüllen r = n – n0 mit n0 = Anzahl der notwendigen Beobachtungen für eine eindeutige Lösung nfb=r Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Das Problem vereinfacht sich zu Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

43. Funktionales Modell Widerspruchsvektor: Ableitungen nach X alle Null, somit A-Matrix eine Nullmatrix, also Korrelaten: Verbesserungen: Normalgleichungsmatrix der bedingten Ausgleichung: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

44. Hauptprobe Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen das ursprüngliche funktionale Modell? Einsetzen in Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

45. Ausgleichung vermittelnder Beobacht-ungen mit Bedingungsgleichungen Pro Gleichung nur eine Beobachtung Zusätzlich Bedingungen zwischen den Unbekannten nBeobachtungen, uUnbekannte, nbBedingungen nfvb = n – u + nb = r – uAnzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

46. Lösungsansätze • Elimination von Unbekannten: r Unbe-kannte werden mit Hilfe der Bedingungen eliminiert • Strenge Lösung: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen • Fiktive Beobachtungen: Bedingungen werden als (fiktive) Beobachtungen mit großem Gewicht eingeführt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

47. Wann Ausgleichungsproblem? nfvb = n – u + r Ausgleichungsproblem, wenn nfvb > 0 Somit: n + r > uDie Summe aus Beobachtungen und Bedingungen muss größer als die Anzahl der Unbekannten sein Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

48. Funktionales Modell Funktionales Modell der vermittelnden Ausgleichung und die Bedingungen Getrennte Betrachtung der beiden Teile: Beobachtungen Bedingungen Keine Bedingungen zwischen den Beobachtungen  B ist eine Nullmatrix Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

49. Lösung (1) Methode von Langrange: Differenziert und gleich Null gesetzt: Einsetzen von gibt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

50. Lösung (2) 1. Gleichung: Kombiniert mit 2. Gleichung: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil