ZLICZANIE cz. II

1. ZLICZANIE cz. II

2. Równania rekurencyjne Jak związki rekurencyjne wykorzystać jako narzędzie do przeliczania obiektów kombinatorycznych ? • Typowa droga postępowania jest następująca: • Znajdujemy związek rekurencyjny i obliczamy kilka początkowych wartości • Odgadujemy ogólny wzór • Udowadniamy go za pomocą indukcji matematycznej • Jeśli wzoru nie da się odgadnąć, to za pomocą równania rekurencyjnego • można czasem zbudować funkcję tworzącą, której współczynniki po • rozwinięciu w szereg potęgowy wyznaczą rozwiązanie. • UWAGA: Zależność rekurencyjna  Równanie rekurencyjne • Wyrazy ciągu zdefiniowane są za pomocą poprzednich wyrazów • Określony (-ne) są pewne warunki początkowe

3. Na ile spójnych obszarów dzieli płaszczyznę n prostych, z których żadne dwie nie są równoległe i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie ? Szukaną liczbę oznaczmy przez an Warunki początkowe mamy następujące: a0=1, a1=2 Prowadząc n-tą prostą, przetniemy wszystkie n-1 poprzednich prostych, a to oznacza, że przetniemy na dwie części n obszarów spójnych zwiększając liczbę obszarów o n an=a(n-1)+n Iterując an=a0+1+..+n=1+ Dowód indukcyjny Przykład

4. Przykład Wieże Hanoi – po jakim czasie kapłani przeniosą 64 (ogólnie n) złote krążki z pierwszego palika na trzeci (wspomagając się drugim) przy zachowaniu ograniczeń (przenosimy tylko jeden krążek, nie można położyć większego na mniejszym) Niech an będzie minimalną liczbą koniecznych ruchów. Aby przenieść największy krążek należy przenieść n-1 krążków na palik pomocniczy (a więc rozwiązać problem dla n-1 krążków – czyli a(n-1)). Uwolniwszy największy krążek przenosimy go na trzeci palik (1 ruch) i ustawiamy na nim n-1 krążków (kolejne a(n-1) ruchów), zatem an=2a(n-1)+1 warunkiem początkowym n=1 a1=1 n=2 a2=2*1+1=3 n=3 a3=2*3+1=7 n=4 a4=2*7+1=15 można zauważyć prawidłowość an=2n-1

5. Ogólna postać liniowego równania rekurencyjnego o stałych współczynnikach jest następująca: gdzie ci są stałymi. (jest to tzw. równanie charakterystyczne prezentowanej zależności rekurencyjnej) Liniowe równania rekurencyjne o stałych współczynnikach Dotychczas równania miały „głębokość” równą jeden. Takie równania daje się stosunkowo łatwo rozwiązać. Podstawmy do postaci tego równania ai=i(dla każdego i od n-r do n) oraz podzielmy wynik podstawienia przez n-r;otrzymamy Równanie to ma r pierwiastków (mogą być zespolone) 1, 2,.., r

6. Podstawienie jest szczególnym rozwiązaniem równania rekurencyjnego Jeśli wszystkie pierwiastki 1, 2,.., rsą różne, to dowolna kombinacja rozwiązań szczególnych jest również rozwiązaniem dla równania rekurencyjnego tzn. Jeśli znamy wartości początkowe a0, a1,..,ar-1 to rozwiązując układ równań: dla 0k r-1 wyznaczymy stałe A1,A2,..,Aruzyskując jawną postać wzoru na an Liniowe równania rekurencyjne cd.

7. Stwierdzenie Jeśli 1, 2 są różnymi pierwiastkami równania x2=c1x+c2, to równanie rekurencyjne an=c1an-1+c2an-2 ma rozwiązanie postaci Szczególny przypadek W szczególnym przypadku, gdy zależność rekurencyjna ma „głębokość” dwa, można sformułować następujące stwierdzenie Wartości A1, A2 obliczamy z warunków początkowych rekurencji – rozwiązując odpowiedni układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi

8. Stosując poprzednie Stw. do tego ciągu i rozwiązując równanie: x2=x+1 otrzymamy wzór skąd po uwzględnieniu warunków początkowych Przykład Ciąg Fibonacciego (rok ~1200 Leonardo de Pisa): Problem szybkości wzrostu populacji królików. Warunek początkowy – jedna para Każda para staje się płodna po miesiącu i co miesiąc produkuje potomstwo w postaci kolejnej pary królików. Króliki nie zdychają i reprodukują się w nieskończoność. Definiowaliśmy ten ciąg rekurencyjnie w postaci: F0=1 F1=1 Fn=Fn-1+Fn-2

9. Stąd obliczając współczynniki A1,A2 otrzymujemy ostatecznie Przykład cd. UWAGA: Dla równań rekurencyjnych, które nie są liniowe o stałych współczynnikach, nie istnieją ogólne metody rozwiązywania. Ogólne równania rekurencyjne rozwiązywane są metodą prób i błędów ?! Uzyskujemy oszacowanie asymptotyczne.

10. Niech {ai} będzie ciągiem liczb (w szczególności liczb całkowitych nieujemnych) Wtedy szereg potęgowy nazywamy zwykłą funkcją tworzącą (lub krótko funkcją tworzącą). Zachodzi wtedy wzór Taylora i=0,1,2,.. Funkcje tworzące Dla każdego takiego szeregu istnieje liczba rzeczywista R0 zwana promieniem zbieżności taka, że jeśli |x|<R, to szereg jest absolutnie zbieżny, a ponadto można go różniczkować i całkować wyraz po wyrazie dowolną liczbę razy UWAGA: Gdy ai są duże, wówczas R=0 i zwykłe funkcje tworzące stają się bezużyteczne Np. ai jest liczbą permutacji rzędu i czyli ai=i!

11. Aby ominąć problem dużych aiwprowadza się wykładniczą funkcję tworzącą: której promień zbieżności jest zwykle dodatni. Funkcje tworzące cd. UWAGA: Wykładnicze funkcje tworzące stosuje się na ogół w przypadkach, o których wiemy lub spodziewamy się, że ai rośnie szybciej niż wykładniczo (np. wariacje, permutacje). Koncepcja wykorzystania funkcji tworzących polega na związaniu z każdym ciągiem liczbowym pewnej funkcji zmiennej rzeczywistej (lub zespolonej) w taki sposób, aby operacje na ciągach odpowiadały prostym operacjom na związanych z nimi funkcjach. Analityczne metody działania na takich funkcjach są często prostsze niż metody kombinatoryczne działające bezpośrednio na ciągach.

12. Funkcje tworzące wybranych ciągów

13. Funkcje tworzące wybranych ciągów cd.

14. Dla dowolnych szeregów definiujemy operacje: dodawania mnożenia przez liczbę iloczynu Cauchy`ego (iloczynu) Własności

15. Przykład 1 Ile jest permutacji n-elementowych n! an=n*a(n-1) Niech f będzie wykładniczą funkcją tworzącą tego ciągu, wówczas czyli a zatem możemy obliczyć an=n! Przykład

16. Przykład Przykład 2 Wieże Hanoi an=2*a(n-1)+1 Czyli a stąd możemy wyznaczyć an=2n-1

17. n!nn • Dzięki wzorom Stirlinga mamy trzy przybliżenia silni • Wzór ogólny: • pierwsze przybliżenie: Oszacowanie liczby n!

18. Oszacowanie liczby n! źródło Wikipedia 