Aufgabe 1

1. Aufgabe 1 4 2,00 3  10,00 kN 50,00 kN   6,00 2 5 6,00 kN/m  8,00 1 12,00 6,00 [m] Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das durch eine Gleichstreckenlast auf dem Stab  sowie durch zwei Einzellasten in den Knoten 3 und 4 belastet wird. Es gilt für die Stäbe  , und : EI = 10.000,00 [kNm2], EA , GA , und für Stab : EA , GA . a) Bestimmen Sie Auflagerkräfte und Schnittgrößen N, Q und M infolge der gegebenen Belastung. Geben Sie alle lokalen Extremstellen an und stellen Sie die Verläufe in der Anlage zu Aufgabe 1 grafisch dar. b) Berechnen Sie die horizontale Verschiebung des Knotens 2.

2. Anlage zu Aufgabe 1 N [kN] H5 M5 V5 H1 V1 Q [kN] M [kNm]

3. x z Aufgabe 2 3 4  “1“ 2,00 ······  1 2   2,00  5 5z = 0,20 m 3,00 2,00 1,00 4,00 [m] • Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das durch eine Stützensenkung des • Auflagers am Knoten 5 um 5Z = 0,20 m belastet wird. • Es gilt für alle Stäbe: EA  , • GA  , • und für die Stäbe , ,: EI = 1000,00 [kNm²]. • Berechnen Sie die Normalkraft im Stab  infolge der Stützensenkung. • Berechnen Sie in den Knoten 1 bis 4 die Ordinaten der Einflusslinie für die Normalkraft im Stab infolge einer über die Stäbe  bis  wandernden Einheitslast. • Stellen Sie die Einflusslinie unter Angabe der Knotenwerte qualitativ grafisch dar. Die Stützensenkung ist dabei nicht zu berücksichtigen. EL N5 [kN]

4. x z Aufgabe 3 1 5 tu to to tu 5,00   p p/2 3 2 4   1,00 2,00 1,00 1,00 2,00 1,00 [m] Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das durch konstante Teilstrecken- lasten auf den Stäben  und sowie durch eine ungleichmäßige Erwärmung der Stäbe  und  belastet wird. Es gilt für alle Stäbe: EI = 1,00 ·105 [kNm2], EA  , aT = 1,20 ·10-5 [K-1], h = 0,25 [m]. Belastungswerte: p = 300,00 [kN/m], to = -15,00 [°C], tu = +20,00 [°C]. Berechnen Sie mit Hilfe der Dreimomentengleichung nach Clapeyron die Stützmomente in den Knoten 1 bis 5.

5. x z Aufgabe 4 30,00 kN/m M1 1 H1 V1 3,00  M3 2 3 H3  V3 V2 3Z = 0,10 m 4,00 5,00 [m] • Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das durch eine global wirkende • Streckenlast auf dem Stab  und durch eine Stützensenkung 3Z im Knoten 3 • belastet wird. • Es gilt für sämtliche Stäbe:EI = 2,00 ·104 [kNm²], • EA =8,00 ·105 [kN]. • Berechnen Sie die Knotenverformungen des Knotens 2. • Berechnen Sie die lokalen Stabendkräfte und geben Sie das betragsmäßig größte Moment im Stab  an. • Bestimmen Sie alle Auflagerkräfte nach den oben angegeben Vorzeichen-definintionen.

6. x z Aufgabe 5 30,00 kN/m 1 4 2 3    25,00   5 10,00 10,00 12,00 20,00 20,00 [m] • Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das durch eine Gleichstreckenlast auf • den Stäben  und  belastet wird. • Es gilt für die Stäbe  - : EI = 1,00 ·105[kNm2], • EA  , • und für die Stäbe  und : EI = 2,00 ·105 [kNm2], • EA  . • Berechnen Sie mit dem Verfahren von Kani den Momenten- und Querkraftverlauf des Stabes . Es sind 3 Iterationsschritte durchzuführen. Geben Sie alle Momentenanteile an. Berechnen Sie nur diejenigen Stabendmomente, die für die Bestimmung des Momentenverlaufs im Stab  notwendig sind. • Geben Sie mit Hilfe des in Aufgabenteil a) berechneten Momentenverlaufs die Biegelinie des Stabes  an. Bestimmen Sie die vertikale Verschiebung in der Mitte von Stab .

7. x z p = 12,00 [kN/m] 3,00 Aufgabe 6 4    4,50 “1” ······ 3 1 2   6,00 4,00 [m] • Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk, das auf dem Stab durch eine • wandernde Einheitslast belastet wird. • Es gilt für die Stäbe  und : EI = 1,00 ·104 [kNm2], • EA  , • für die Stäbe  und : EA  1,50 ·104 [kN], • und für den Stab : EA  . • Berechnen Sie mit dem Weggrößenverfahren die Einflusslinie des Stabes  für die Normalkraft im Stab . • Werten Sie die in der Aufgabenstellung a) berechnete Einflusslinie mit der Resultierenden des unten angegebenen Lastenzuges aus.

8. x z Aufgabe 7 100,00 kN 50,00 kN 2 3  8,00   50,00 kN 50,00 kN 50,00 kN 4 6   1. Rahmen n-ter Rahmen 8,00  1 5 7 6,00 6,00 6,00 [m] Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk. Für Aufgabenteil a) ist nur das aus den Stäben  -  bestehende Fachwerk zu verwenden. Es gilt für die Stäbe  - :EA  , und für die Stäbe  und : EA = 10.000,00 [kN]. a) Berechnen Sie für das aus den Stäben  -  bestehende Fachwerk den kritischen Lastfaktor. b) Geben Sie, für das aus den Stäben  -  und den n-angependeltenRahmen bestehende statische System, das charakteristische Polynomzur Bestimmung des kritischen Lastfaktors in Abhängigkeit von der Anzahl n der angependelten Rahmen an. Eine Berechnung der Nullstellen (bzw. des kritischen Lastfaktors) ist nicht durchzuführen. Es gilt für alle Stäbe der angependelten Rahmen EA  .

9. x z  r (t) • Gegeben ist das dargestellte ebene Stabwerk aus masselosen Stäben, das am • Knoten 4 mit einer Einzelmasse M belegt ist. • Es gilt für die Stäbe  und : EA = 8,00·103 [kN], • für den Stab : EI = 2,00·104 [kNm2], • EA  , • und für die Masse: M = 3,50 [t]. • a) Idealisieren Sie das System als Einmassenschwinger und berechnen Sie die Eigenfrequenz des Systems. • Berechnen Sie die maximale Auslenkung des Knotens 4 infolge in der Anlage zu Aufgabe 8 gegebenen Fußpunktbeschleunigung r(t) durch numerische Aus-wertung des Duhamel-Integrals zu den Zeitpunkten t1-4 {0,05; 0,10; 0,15; 0,20} [s]. Verwenden Sie eine Zeitschrittweite von 0,05 [s]. • Für welchen Wert von R0 für die unten gegebene Belastung R(t) am Knoten 4 wird eine Auslenkung von r4x,max = 0,006 [m] nicht überschritten? Verwenden Sie dafür die in der Anlage zu Aufgabe 8 gegebenen Antwortspektren.  R(t) [kN] R0 t [s] 0 0,20 Aufgabe 8 1  2,00 M R(t) 4 3,00   2 3 2,00 2,00 [m]

10.  r [m/s2] Anlage zu Aufgabe 8 Zeitlicher Verlauf der Fußpunktbeschleunigung (x-Richtung): 7,0 3,0 1,5 t [s] 0,05 0,10 0,15 2,0 1,0 1,0

11. x z Aufgabe 9 M1 M2 1 2 3 4    4,00 8,00 6,00 [m] • Gegeben ist der dargestellte ungedämpfte Durchlaufträger aus masselosen Stäben. • Die beiden Kragarme sind in den Knoten 1 und 4 mit den Einzelmassen M1 bzw. M2 • belegt. • Es gilt für die Stäbe  - : EI = 10.000,00 [kNm2], EA  , • und für die Massen: M1 = 2,00 [t], • M2 = 1,00 [t]. • Berechnen Sie die Eigenfrequenzen des Systems. Das System ist dabei mit4 Freiheitsgraden zu idealisieren und für die Berechnung der Eigenfrequenzen auf 2 Freiheitsgrade zu kondensieren (siehe Anlage zu Aufgabe 9). • Geben Sie für eine Anfangsauslenkung von r4z,o = 0,10 [m] zum Zeitpunktto = 0,00 [s] die Gleichung für die Knotenverschiebung r4z(t) des Mehrmassen-schwingers an. Verwenden Sie für die Bestimmung der Lösung das kondensierte System und berücksichtigen Sie nur die Anteile aus der 1. Eigenform. Alle nicht angegebenen Anfangsverformungen und -geschwindigkeiten sind zum Zeitpunkt t0 = 0,00 [s] gleich Null.

12. Anlage zu Aufgabe 9 Kondensation des Eigenwertproblems (vgl. Kap. 7.2 Matrizenmethoden der Statik und Dynamik, Teil 2): Berechnen Sie unter Ausnutzung der Struktur der Massenmatrix: Kondensiertes Eigenwertproblem:

13. F X • Gegeben ist die dargestellte Stütze der Länge L, die mittig am Stützenkopf durch • eine Einzelkraft F belastet wird. Das Eigengewicht ist zu vernachlässigen. • Es gilt: • E =30.000,00 MN/m², • Ansatzfunktion: • w(s) = c·(s3– s2) • Überprüfen Sie, ob die Ansatzfunktion die wesentlichen Randbedingungen erfüllt. • Berechnen Sie mit dem Verfahren von Ritz die kritische Last des Systems.  Aufgabe 10 0,05 0,30 0,05 0,05 0,05 0,30 [m] F 0,25·L 0,75·L x,s

14. 3 (0,00 | 2,00) 4 (1,50 | 1,50) y x 2 (2,00 | 0,00) 1 (0,00 | 0,00) Aufgabe 11 Einheitskoordinaten (0,00 | 1,00) 3 4 (0,50 | 0,50) s r 2 (1,00 | 0,00) 1 (0,00 | 0,00) • Gegeben ist das dargestellte isoparametrische Scheibenelement mit einem Zwischen- • knoten auf dem Rand 2-3, das durch Eigengewicht (negative y-Richtung) belastet wird. • Es gilt: •  = konst. • t = konst. • Ansatzfunktionen: • h1=1 – r – s • h2=r(1 – 2s) • h3=s(1 – 2r) • h4=4rs • Determinante: • det J = • Überprüfen Sie, ob die Ansatzfunktionen die Eigenschaft von Formfunktionen erfüllen. • Berechnen Sie die Determinante der Jakobimatrix. • Berechnen Sie mit det J = 4 (1 + r + s) die Komponenten des Ersatzknoten-lastvektors am Knoten 1.

15. Aufgabe 12 p 4 5 p   3,00   y 3 2 1 x 3,00 3,00 [m] • Gegeben ist das dargestellte ebene Tragwerk, das aus 2 Dreieckscheiben mit • linearem Verschiebungsansatz und 2 Fachwerkstäben besteht. Das Tragwerk ist • durch 2 konstante Steckenlasten p belastet. • Es gilt für die Elemente  und : E = 2,00 ·105 [kN/m2], • t = 0,25 [m], • n = 0,30 [-], • für die Elemente  und : E = 2,10 ·105 [kN/m2], • A = 0,15 [m2], • und für die Last p = 500,00 [kN/m]. • Berechnen Sie die Knotenverformungen des Tragwerks. • Berechnen Sie die Vergleichspannung im Scheibenelement  und die Normalkraft des Fachwerkstabes .