La frequenza angolare di una particella che gira in un sincrotrone è data da:

1. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni e stabilità dei fasci La presenza della radiofrequenza fa sί che le particelle si raggruppano in pacchetti (bunch). Questo è vero anche in un acceleratore circolare In un acceleratore circolare si innestano inoltre, ogniqualvolta la particella passa nella cavità a RF con la fase F non giusta (ma comunque molto vicina a FS ) delle oscillazioni di sincrotrone o oscillazioni longitudinali ( oscillazioni di fase o di energia), così come in un acceleratore lineare. Nel caso di piccoli movimenti si innescano delle oscillazioni identiche a quelle dell’oscillatore armonico e con frequenza proporzionale ( in genere minore) alla frequenza di rivoluzione. Marisa Valdata Dottorato 2014

2. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni e stabilità dei fasci Per avere stabilità (ovvero soluzione dell’equazione dell’oscillatore armonico (sin e cos)) la particella deve passare nella RF quando questa ha una fase FS<p/2 per un acceleratore circolare a focalizzazione forte (con quadrupoli) quando la particella accelerata è non relativistica ( g ~1 ), mentre per g più elevato deve essere p/2<FS<p. Questo comporta che all’iniezione ho una certa fase, che cambia per g più elevato  devo spegnere la RF  si spacchetta il fascio  posso perdere il fascio. Ricorda: in un LINAC la fase FS<p/2sempre (cioè indipendentemente dell’energia della particella) Marisa Valdata Dottorato 2014

3. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni e stabilità dei fasci La frequenza angolare di una particella che gira in un sincrotrone è data da: Con t periodo di rivoluzione e L circonferenza dell’orbita. Differenziando ln(w) otteniamo: Ricorda p=gbc Dove ap è chiamato fattore di compressione dell’impulso, ed è definito come ap=(dL/L)/(dp/p) L’espressione fra parentesi è normalmente scritta come: Si osserva che htr<0 quando l’energia del fascio è maggiore di Utr=gtrmc2 mentre è >0 per sincrotroni all’iniezione (bassa energia) o sempre per acceleratori lineari. È questo il momento in cui bisogna cambiare la fase del campo elettrico. Marisa Valdata Dottorato 2014

4. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni di sincrotrone Le quantità fisiche della particella generica sono connesse a quelle della particella sincrona ( indicata con l’indice s) tramite le seguenti relazioni: Energia totale U = Us+dU Impulso p = ps+dp Frequenza angolare w = ws+dw Periodo di rivoluzione t = ts+dt ( dw e dt hanno segno opposto). Siccome la particella sincrona deve arrivare alla RF in fase possiamo scrivere: wrf = hws Con h intero. h è chiamato numero armonico e rappresenta il numero di cicli che fa la RF durante un giro della particella sincrona. Se indichiamo con fs la fase del voltaggio della RF quando la particella sincrona arriva alla cavità RF e confquella della particella generica avremo: • = df = f – fs Marisa Valdata Dottorato 2014

5. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni di sincrotrone Il guadagno di energia per giro della particella generica e di quella sincrona sarà (si assume che il voltaggio non cambi quando la particella attraversa la cavità a RF): DU = qVsinf DUs = qVsinfs Se all’ inizio del giro n la differenza in energia della particella generica rispetto alla particella sincrona è (dU)n=U-Us alla fine del giro n sarà: (dU)n+1=(U+DU)-(Us+DUs) Dopo un giro avremo chedU cambia di D(dU)=DU- DUs=qV(sinf-sinfs) Nell’ipotesi di oscillazioni lente possiamo scrivere: Che diventa definendo W=-dU/wrf=-(U-Us)/wrf Marisa Valdata Dottorato 2014

6. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni di sincrotrone Sempre nell’ ipotesi di oscillazioni lente dopo un giro abbiamo: D(d/dt)ts=wrfdt Dovedt è la differenza nei tempi di arrivo della particella generica e di quella sincrona alla RF. Dopo un giro dt cambia di: D(dt)=t-ts=dt=-htrt(dp/p)  Dove Derivando rispetto al tempo e sostituendo la dW/dt nella d2/dt2 otteniamo per le oscillazioni di fase della particella generica: Marisa Valdata Dottorato 2014

7. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni di sincrotrone Per piccole variazioni della fase possiamo scrivere: ed otteniamo così l’equazione di un oscillatore armonico: Ws è la frequenza delle oscillazioni di sincrotrone. Osserviamo che htrcosfs deve essere positivo per avere frequenze di oscillazione reali e per assicurare la stabilità di fase. Ricordando che per ogni giro si guadagnano pochi MeV nella RF avremo che Ws/ws<<1.(meno di un’oscillazione per giro). Marisa Valdata Dottorato 2014

8. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni di betatrone Abbiamo visto che le particelle vengono mantenute sull’orbita circolare con dei magneti bipolari ed il fascio viene focalizzato tramite l’uso di quadrupoli (e sestupoli per abolire le aberrazioni cromatiche) che funzionano quali lenti convergenti (divergenti).  Oscillazioni anche nel piano trasverso chiamate oscillazioni di betatrone Marisa Valdata Dottorato 2014

9. P2 P1 P2 P1 s Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni di betatrone Oscillazioni di btrone. Consideriamo un acceleratore circolare con solamente magneti bipolari. Sul piano orizzontale ho una focalizzazione geometrica (se Bè uniforme e verticale in direzione). P1 dista daP2 ½ circonferenza e la particella fa quindi un’oscillazione completa per giro. (numero di oscillazioni = nx=Q=1). Attenzione: un angolo di deviazione a=1 mrad (rispetto alla particella di riferimento) dà una deviazione =ar (r raggio dell’acceleratore), ma se r=1 km ar=1m  tubo a vuoto enorme ed apertura del magnete enorme. Marisa Valdata Dottorato 2014

10. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni di betatrone Se la deflessione è nel piano // a B, la particella spiralizza e se ne va. Anche con l’inserzione di quadrupoli, le particelle con posizione trasversa o direzione leggermente diverse da quella della particella di riferimento (quella sul piano mediano) fanno un moto oscillatorio attorno alla particella di riferimento (nel piano trasverso xy)  Oscillazioni di betatrone  Inserzione di quadrupoli ( focheggiamento forte) Marisa Valdata Dottorato 2014

11. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleSincrotroni: oscillazioni di betatrone Nel caso di un acceleratore circolare a focalizzazione forte le oscillazioni di betatrone sono di frequenza molto maggiore di quelle di sincrotrone ( SPS(CERN) Tsinc 100000 Tbtrone (radiali) ). Inoltre le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono disaccoppiate da quelle verticali (y) e da quelle di sincrotrone (longitudinali). Normalmente le oscillazioni di betatrone radiali (x) sono di ampiezza > di quelle verticali, in quanto su quelle radiali influisce anche la dispersione in impulso.  Tubo a vuoto ellittico Marisa Valdata Dottorato 2014

12. y x s y’=dy/ds x’=dx/ds Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleOscillazioni e stabilità del fascio Consideriamo il sistema di coordinate: Si puo’ mostrare che: Discorso del tutto analogo per le x. Marisa Valdata Dottorato 2014

13. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleOscillazioni e stabilità del fascio L’equazione: è l’equazione di un’ ellisse di area pR2=pss’ con s es’ = semiassi dell’ellisse. L’ area dell’ellisse è una costante, ma la forma puo’ cambiare al variare di s, in quanto a, b, g dipendono da s. b(funzione di ampiezza) dipende dall’ottica della macchina e b=s/s’ Marisa Valdata Dottorato 2014

14. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleOscillazioni e stabilità del fascio b=s/s’  In un anello di collisione conviene avere b basso, ovvero focalizzare nel punto d’interazione. bI.P.=0.5 m <b>arc=80 m LHC Marisa Valdata Dottorato 2014

15. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleEmittanza ed accettanza Emittanza: se i punti rappresentativi y ed y’ del 90% delle particelle del fascio sono contenuti in pR0 (area ellisse), pR0 è per definizione l’emittanza del fascio. Abbiamo quindi un’emittanza verticale e radiale che restano costanti. Per definire l’ellisse di area costante abbiamo assunto che l’impulso delle particelle non varia (in modulo) durante il movimento nel piano trasverso. Questo èquasi vero, comunque se varia adiabaticamente (ovvero molto lentamente), l’invariante diventa: Marisa Valdata Dottorato 2014

16. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleEmittanza ed accettanza Marisa Valdata Dottorato 2014

17. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleEmittanza ed accettanza Inviluppo delle traiettorie (x o y, x’ o y’)  Fondamentale conoscere yB in quanto determina le dimensioni sia del tubo a vuoto che l’apertura dei magneti, necessarie a far passare il fascio di accettanza nota. y’ L’inviluppo delle traiettorie delle particelle del fascio non è altro che l’ascissa del punto B (quello con la y maggiore) in funzione di s y’B B y yB Marisa Valdata Dottorato 2014

18. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleEmittanza ed accettanza Accettanza. L’accettanza è per definizione l’emittanza massima accettata dalla camera a vuoto all’iniezione. Accettanze ed emittanze si esprimono in p (mmxmrad) Accettanza tipica di un sincrotrone è: ~ 30 p (mmxmrad) Marisa Valdata Dottorato 2014

19. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Una particella accelerata irraggia. La radiazione di sincrotrone è importane in maniera particolare negli anelli di collisione. Se gli anelli di collisione sono costruiti per generare luce di sincrotrone questo è un vantaggio. Se invece sono costruiti per mantenere i fasci a lungo (ricerca di fisica subnucleare) è un male e bisogna rifornire energia alle particelle accelerate e circolanti negli anelli (in maniera particolare se sono elettroni) . Marisa Valdata Dottorato 2014

20. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Una particella accelerata irraggia. Se la particella carica è accelerata, ma osservata in un sistema di riferimento dove la sua velocità è piccola se paragonata a quella della luce, il campo delle accelerazioni è (nel sistema di riferimento dell’osservatore): E = campo elettrico R =distanza carica-osservatore n = versore carica-osservatore b = velocitàdella particella Marisa Valdata Dottorato 2014

21. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Il flusso di energia istantanea è dato dal vettore di Poynting: • La potenza irraggiata per angolo solido unitario è (formula di Larmor): dv/dt n q Marisa Valdata Dottorato 2014

22. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone La potenza totale istantanea si ottiene integrando su tutto l’angolo solido: Formula di Larmor Marisa Valdata Dottorato 2014

23. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone La formula di Larmor può essere generalizzata al caso relativistico osservando che la potenza irraggiata è un invariante di Lorentz e facendo una trasformazione di Lorentz a dp/dt Formula di Lienard Marisa Valdata Dottorato 2014

24. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone La generalizzazione invariante per Lorentz della formula di Larmorè : Marisa Valdata Dottorato 2014

25. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone • Caso di accelerazione lineare In questo caso abbiamo a che fare con acceleratori lineari dove l’accelerazione è dovuta esclusivamente alle RF. Abbiamo : La velocità di cambiamento dell’impulso è uguale al cambiamento in energia della particella per unità di distanza  Marisa Valdata Dottorato 2014

26. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Siccome la velocità di cambiamento di pè uguale al guadagno di energia per unità di distanza (dW/ds), si ha che il rapporto fra la potenza irraggiata e la potenza fornita dalla RF (sorgente esterna) è: Dove v=c, la forza acceleratrice F=dW/ds e r0è il raggio classico dell’elettrone. Marisa Valdata Dottorato 2014

27. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone • La potenza irraggiata dipende solo dalle forze esterne (RF) e non dall’energia della particella. • A meno che la velocità di guadagno di energia sia paragonabile alla massa dell’elettrone (0.511 MeV) in una distanza dell’ordine del raggio dell’elettrone (2.8x10-13 cm), la perdita di energia è trascurabile (idem se abbiamo a che fare con particelle più pesanti, come il protone). • Quale esempio consideriamo un gradiente di accelerazione di 100 MeV/m che fa irraggiare ~1.1 KeV/s ad un elettrone  se consideriamo un acceleratore da 1 TeV, lungo 10 km si ha P ≤ 0.04 eV. Marisa Valdata Dottorato 2014

28. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Caso di accelerazione centripeta. Il discorso cambia drasticamente nel caso di acceleratori circolari. In tali macchine l’impulso p cambia rapidamente in direzione mentre la particella ruota, ma il cambiamento di p durante una rivoluzione, dovuto alla RF, è piccolo. (possiamo trascurare il termine (db/dt)2)  Dove rè il raggio di curvatura. La potenza irraggiata è sempre molto piccola ( 7mW in LEP(200)), ma la perdita di energia per giro è tutt’altro che trascurabile. Marisa Valdata Dottorato 2014

29. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Per b~1 la perdita di energia per giro va come g4   Poca nel caso di acceleratori per protoni, considerevole in acceleratori di elettroni (al di sopra di una certa energia). Marisa Valdata Dottorato 2014

30. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone • e+e- (utilizzati per la fisica subnucleare) Marisa Valdata Dottorato 2014

31. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone • pp(utilizzati per la fisica subnucleare) Marisa Valdata Dottorato 2014

32. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Acceleratori circolari per elettroni (utilizzati per la fisica subnucleare) Bisogna inserire molte RF per mantenere l’energia al valore nominale (la radiazione di sincrotrone va come g4)  Fattore limitante per la costruzione di acceleratori circolari per elettroni (LEP 100+100 aveva 128 RF superconduttrici). Sistema a vuoto. I fotoni che urtano la pipe producono fotoelettroni che a loro volta strappano molecole di gas dalle superfici. (H2, CO, CO2, CH4) sale la pressione del gas residuo  la vita media del fascio diminuisce  per pulire le pareti molte pompe a vuoto in funzione. Radiationshielding (schermi) Quando l’energia critica dei fotoni emessi e’ alta i fotoni escono dal tubo a vuoto (Al o Fe) e causano danni da radiazione agli avvolgimenti dei magneti, all’elettronica, producono ozono e acido nitrico  si corrode il tubo a vuoto  Hera usa un tubo a vuoto di rame-bronzo.  LEP scherma il tubo a vuoto con 3-6 mm di Pb. Marisa Valdata Dottorato 2014

33. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Acceleratori circolari per protoni In pratica nessun limite alla max energia, ma non bisogna trascurare la potenza emessa. Ad LHC è 9 KW. In LHC si usano magneti superconduttori (a freddo). La potenza della radiazione emessa deve essere assorbita a temperature criogeniche e riscalda il sistema criogenico di raffreddamento dei magneti. Per evitare questo problema si usano schermi a temperatura più alta di quella criogenica e si assorbe in maniera più efficiente la radiazione. Inoltre l’energia critica è 63 eV degassamento  pompe a vuoto ovunque. Marisa Valdata Dottorato 2014

34. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Al giorno d’oggi la maggioranza dei Sincrotroni per elettroni sono utilizzati per produrre luce di sincrotrone. Marisa Valdata Dottorato 2014

35. circa 40 beam lines intorno all’anello Marisa Valdata Dottorato 2014

36. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Marisa Valdata Dottorato 2014

37. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Marisa Valdata Dottorato 2014

38. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone La radiazione è emessa in un ampio spettro fino ad una frequenza critica: ed un angolo critico: ed un’ energia critica: Per frequenze molto maggiori della frequenza critica ed angoli molto maggiori dell’angolo critico la radiazione di sincrotrone è trascurabile. Marisa Valdata Dottorato 2014

39. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Marisa Valdata Dottorato 2014

40. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Marisa Valdata Dottorato 2014

41. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Marisa Valdata Dottorato 2014

42. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Marisa Valdata Dottorato 2014

43. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRadiazione di sincrotrone Utilizzando un ondulatore si amplifica la radiazione di sincrotrone tramite un’interferenza positiva. Marisa Valdata Dottorato 2014

44. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRaffreddamento dei fasci Adun’energia cinetica èsempre associata una temperatura mediante la relazione: La velocità <v2> indica la varianza della velocità di un singolo ione rispetto alla velocità media di tutti gli ioni. Quindi la temperatura di un fascio è da intendersi come una misura del disordine, ovvero della dispersione in energia del fascio. Siccome spesso il fascio non è isotropo è opportuno definire una temperatura longitudinale T// ed una trasversale T┴. In pratica, per misurare la temperature T// e T┴ del fascio, si utilizzano l’emittanza trasversa ed il Dp/p longitudinale. Raffreddare un fascio vuol dire ridurre la sua temperatura ovvero ridurre la dispersione in energia e le dimensioni trasverse del fascio. Marisa Valdata Dottorato 2014

45. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleRaffreddamento dei fasci Si raffreddano i fasci per molti scopi: • Accumulo di particelle stabili, ma rare (e.g. antiprotoni) • Ridurre il Dp/p (fasci monocromatici e collimati) • Mantenere la qualità del fascio (aumento della vita media) • Aumentare il rate di interazioni e la risoluzione • Produzione di ioni pesanti La temperatura finale del fascio è il risultato dell’equilibrio fra il processo di raffreddamento ed i vari processi di riscaldamento e dipende fortemente dal metodo di raffreddamento usato. I principali metodi di raffreddamento utilizzati sono: • Raffreddamento a radiazione di sincrotrone • Raffreddamento stocastico • Raffreddamento con elettroni • Raffreddamento tramite laser Marisa Valdata Dottorato 2014

46. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleTeorema di Liouville Enunciato: In un fluido continuo sotto l’influenza di forze conservative la densità dello spazio delle fasi è costante. Ad esempio se il letto di un fiume si restringe l’acqua va più veloce (se consideriamo come spazio delle fasi la dimensione trasversa del fiume e la velocità) Nel campo della fisica degli acceleratori il teorema di Liouville può essere così enunciato: La densità di particelle nello spazio delle fasi è costante purché le particelle si muovano in un campo magnetico esterno o in un campo in cui le forze non dipendono dalla velocità (forze conservative). Questo teorema sembra dimostrare che, dato un fascio di particelle, non c’ è alcun modo di aumentare la densità di particelle del fascio. La realtà non è così tragica e ci sono molti modi per aggirare il teorema di Liouville. Marisa Valdata Dottorato 2014

47. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleForze dissipative Questo metodo, valido unicamente per acceleratori circolari di elettroni (positroni), usa la radiazione di sincrotrone (forza dissipativa per cui non vale Liouville). • Effetto della radiazione di sincrotrone sull’energia. Marisa Valdata Dottorato 2014

48. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleForze dissipative Marisa Valdata Dottorato 2014

49. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleForze dissipative Marisa Valdata Dottorato 2014

50. Fisica ed Applicazioni degli Acceleratori di ParticelleForze dissipative Marisa Valdata Dottorato 2014