INE5381 - Fundamentos Matemáticos da Computação

1. INE5381 - Fundamentos Matemáticos da Computação Parte I - Elementos básicos: 1. Lógica Matemática 2. Conjuntos e subconjuntos - Operações sobre conjuntos 3. Indução e recursão 4. Números inteiros - Divisão nos inteiros, inteiros módulo n 5. Matrizes 6. Seqüêncas e somas

2. Matrizes • Matrizes são usadas para representar relações entre elementos de conjuntos. • Exemplo: redes de comunicações • Definição: uma matriz é uma tabela numérica arranjada em um número m de linhas e um número n de colunas.

3. Matrizes • A i-ésima linha de A é: • A j-ésima coluna de A é:

4. Matrizes – Notações e terminologia Amxn: matriz A com m linhas e n colunas Anxn: matriz quadrada de tamanho n : diagonal principal de A aij: elemento da i-ésima linha e da j-ésima coluna da matriz A [aij]: denota uma matriz A onde a dimensão está definida

5. Exemplos de matrizes

6. Matrizes Definição: Uma matriz quadrada A=[aij] em que todos elementos fora da diagonal são iguais a zero, isto é, aij=0 para ij, é chamada de matriz diagonal. Exemplos:

7. Matrizes Definição: Duas matrizes mxn A=[aij] e B=[bij] são ditas iguais se aij=bij para 1im e 1jn. Exemplo: • A=B se e somente se x=-3, y=0, e z=6.

8. Aritmética de matrizes Def.: Se A=[aij] e B=[bij] são duas matrizes mxn, então a soma de A e B é a matriz C=[cij], de ordem mxn, definida por: cij = aij + bij (1im , 1jn) Exemplo:

9. Aritmética de matrizes Definição: Uma matriz cujos elementos são todos nulos é chamada de matriz nula e é denotada por 0. Exemplos:

10. Propriedades da soma de matrizes Teorema: a) A + B = B + A b) (A + B) + C = A+ (B + C) c) A + 0 = 0 + A = A

11. Aritmética de matrizes Def.: Se A=[aij] é uma matriz mxp e B=[bij] é uma matriz pxn, então o produto de A e B (AxB) é a matriz C=[cij], de ordem mxn, definida por:

12. Produto de matrizes Exemplo:

13. Propriedades do produto de matrizes • As propriedades básicas do produto de matrizes são dadas pelo seguinte teorema: • Teorema: a) A(BC) = (AB)C b) A(B + C) = AB + AC c) (A + B)C = AC + BC • Note que, dadas duas matrizes Amxp e Bpxn, então A.B pode ser calculada (mxn). Quanto a B.A pode ocorrer: 1. o produto B.A pode não ser definido 2. (m=n) e B.A é definida  mas A.B  B.A (tamanho) 3. A.B e B.A podem ter o mesmo tamanho mas A.B  B.A 4. A.B = B.A

14. Propriedades do produto de matrizes Exemplos:

15. Multiplicação de matrizes Questão: quantas operações são necessárias para calcular o produto Cmxn de duas matrizes Amxp e Bpxn? Resp.: - Há mxn elementos no produto de Amxp e Bpxn - Para encontrar cada elemento são necessárias p (x) e p (+) - Logo, um total de m.n.p (x) e m.n.p (+) são usadas. Questão: Em que ordem as matrizes A1(30x20), A2(20x40) e A3(40x10) devem ser multiplicadas (matrizes de inteiros) para usar o menor no possível de operações? • A1(A2A3)  20.40.10 para obter a matriz 20x10 A2A3 + 30.20.10 para multiplicar por A1 = 14000 • (A1A2)A3 30.20.40 + 30.40.10 = 36000 (!)

16. Matriz identidade • Definição: a matriz diagonal nn na qual todos os elementos da diagonal são 1’s é chamado de matriz identidade de ordem n e é denotada por In. • Nota: se A é uma matriz mn, vale: Im.A = A.In = A

17. Potências de matrizes • Pode-se definir potências de matrizes quadradas. • Se A é uma matriz quadrada nxn, temos: Ap = A.A...A p vezes onde: A0 = In • Também se pode provar as leis de exponenciação: ApAq = Ap+q (Ap)q = Ap.q

18. Matrizes transpostas Definição: Se A é uma matriz mxn, então a matriz nxm: onde: é chamada de transposta da matriz A. Exemplos:

19. Propriedades de matrizes transpostas a) (At)t = A Teorema: Se A e B são matrizes, então: b) (A+B)t = At + Bt c) (A.B)t = Bt.At Definição: Uma matriz A=[aij] é chamada simétrica se At=A • se A é simétrica, A deve ser uma matriz quadrada. Exemplo:

20. Matrizes booleanas • Matrizes constituídas apenas de zeros e 1’s são frequentemente utilizadas para representar estruturas discretas (como as relações - parte II). Definição: Uma matriz booleana é uma matriz mxn em que os elementos são zeros ou uns. Exemplo:

21. Operações com matrizes booleanas Def.: sejam A=[aij] e B=[bij] duas matrizes booleanas, 1) AB=C=[cij] é a junção de A e B, dada por: 2) AB=D=[dij] é o encontro de A e B, dado por: Note que A e B devem ter o mesmo tamanho

22. Operações com matrizes booleanas Exemplo: Calcule a junção e o encontro de: Solução:

23. Operações com matrizes booleanas Def.: Sejam as matrizes booleanas A=[aij] (mxp) e B=[bij] (pxn). O produto booleano de A e B é a matriz C mxn cujos elementos são dados por: cij = (ai1b1j)  (ai2b2j)  ... (aipbpj) • Denota-se este produto por AB • Note que esta operação é idêntica à multiplicação matricial ordinária em que: - a adição é substituída por  - a multiplicação é substituída por 

24. Produto booleano Exemplo: Encontre o produto booleano de A e B, onde: Note que #-colunas de A deve ser = #-linhas de B

25. Operações com matrizes booleanas Teorema: Se A, B e C são matrizes booleanas, então: 1) a) A  B = B  A b) A  B = B  A 2) a) (A  B)  C = A  (B  C) b) (A  B)  C = A  (B  C) 3) a) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) b) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 4) A  (B  C) = (A  B)  C