Rasterizzazione

1. Rasterizzazione Prof. Roberto Pirrone

2. Sommario • Algoritmi per il drawing • DDA • Midpoint • Tracciamento di curve • Tracciamento di linee con spessore e stile • Algoritmi per il filling • Active EdgeTable • Algoritmi per il clipping • Cohen-Sutherland • Liang-Barsky • Sutherland-Hodgman • Antialiasing • Unweighted Area Sampling • WeightedArea Sampling • Newmann-Sproull

3. Generalità La rasterizzazione è legata a tutto ciò che comporta il prendere una decisione sul colore di un pixel da accendere sullo schermo. Essa è la parte finale della pipeline di rendering. E’ inserita, di solito, nel ciclo dell’algoritmo scan-line

4. Generalità Nella pipeline di rendering, la rasterizzazione è affidata ai fragment o pixel shader Questi determinano se le proprietà di colore di un pixel possono essere propagate ad un intero frammentodi linea di scansione in modo da applicare gli algoritmi coinvolti in parallelo

5. Generalità • Oltre alle tecniche legate alla determinazione di ombreggiatura, trame o trasparenza, la rasterizzazione include: • Drawing, cioè ilproblema del tracciamento di primitive bidimensionali (eventualmente proiezioni di primitive 3D) • Filling, cioè il riempimento di una figura chiusa con un colore(colore solido, sfumatura, trama, trasparenza tra più colori …) • Clipping, cioè il troncamento di una linea rispetto ad altre linee presenti (proiezioni di poligoni che si occludono, bordi esterni dell’immagine cioè del front plane del volume di vista mappato sullo schermo) • Antialiasing, cioè riduzione dell’effetto di sotto-campionamento dell’immagine generata dovuto alla risoluzione spaziale fissa data dalla dimensione del pixel.

6. Drawing Il problema principale è quello del tracciamento di un segmento di retta, visto che si parte da un mondo popolato da poligoni piani. Il tracciamento avviene all’interno di una grigia regolare di pixel che hanno distanza unitaria in ascissa e in ordinata (coordinate schermo)

7. Drawing

8. Algoritmo DDA Calcola m=(y1-y0)/(x1-x0) Se |m|<=1 allora Poni y=y0 Ripeti per x=x0; x<=x1; x++ Accendi il punto (x,round(y)) y+=m Altrimenti Poni x=x0 Ripeti per y=y0; y<=y1; y++ Accendi il punto (round(x), y) x+=(1/m)

9. Algoritmo DDA Incrementale x=x0, num=x1-x0, den=y1-y0, delta=0; Ripeti per y=y0;y<=y1;y++ Accendi il pixel di coordinate (x,y) delta+=num Se delta>den x++; delta=0;

10. Algoritmo Midpoint Si assumerà inizialmente di considerare m>0 e, in particolare, m ∈ [0,1]. La soluzione per le altre pendenze si può ottenere semplicemente per riflessione della geometria illustrata in figura rispetto agli assi principali. Si consideri di aver già acceso i pixel della primitiva fino al generico punto P di coordinate (xp, yp).

11. Algoritmo Midpoint L’idea di base di questo approccio è quella di individuare, passo dopo passo, il pixel più vicino all’effettivo punto di intersezione Q tra la retta e l’ascissa x = xp+ 1 corrispondente al successivo punto da accendere. I candidati, ad ogni passo sono solo i due pixel E (xp+1, yp) ovvero NE (xp+1, yp+1). Per far questo si valuterà il passaggio della retta, espressa in forma implicita F(x, y) = ax+ by + c = 0 , per il punto medio M (xp+1, yp+1/2)

12. Algoritmo Midpoint Ripeti per ogni punto da accendere Se F(M)>0 // la retta passa sopra M Accendi NE Altrimenti // F(M)<=0 la retta passa per M o al di sotto Accendi E

13. Algoritmo Midpoint L’implementazione è, anche in questo caso, incrementale. Si consideri l’equazione della retta in forma implicita: y=mx+q=(y1 − y0)/(x1 - x0)x+q=(dy/dx)x+q. Allora la forma esplicita si ottiene come: F (x, y) = dy⋅x − dx⋅y+ dx⋅q= ax+ by+ c = 0 Si definisce una variabile di decisioned Per d > 0 si accenderà NE, mentre per d ≤ 0 si accenderà E. L’algoritmoconsiste nelcalcolare incrementalmente la sola variabile di decisione. Se ad un certopassop+1 si accendeil pixel E, allorailnuovo valore dellavariabilednew, noto doldal passo precedente p, si ottiene come:

14. Algoritmo Midpoint Alternativamente, se al passop+1siaccendeil pixel NE, allora: Il processo si inizializza calcolando il valore di partenza. Partendo da ( x0 , y0 ) calcoliamo dstart: Per eliminare la divisione ed utilizzare solo l’aritmetica intera si può far riferimento alla nuova variabile di decisione 2d che deve solamente essere confrontata con il valore 0 ad ogni passo. Quindi: dstart=2dy-dx deltaNE=2dy deltaE=2(dy-dx)

15. Algoritmo Midpoint Calcola dx=x1-x0; Calcola dy=y1-y0; Calcola dstart=2dy-dx; Calcola deltaE=2(dy-dx); Calcola deltaNE=2dy; x=x0; y=y0; d=dstart; Ripeti finché x<x1 Se d<=0 allora d+=deltaE; x++; Altrimenti d+=deltaNE; x++; y++; Accendi il pixel (x,y)

16. Midpoint per circonferenze o ellissi L’equazione implicita di una circonferenza F(x,y)=x2+y2-R2=0 fornisce 2 valori di y per dato x. Si calcola il midpoint per il primo ottante x∈[0,R/√2] e poi si replica per gli altri

17. Midpoint per circonferenze o ellissi Partendo dal punto di valutazione della circonferenza P=(xp,yp) si sceglie il successivo pixel da accendere sulla base dell'analisi del punto medio M (xp+1, yp− 1/2) tra i pixel E ed SE di P. La variabile di decisione sarà definita come l’equazione implicita della circonferenza valutata in M. Se F(M)>=0 // M giace o è esterno alla circonferenza Accendi SE Altrimenti // F(M)<0 cioè M è interno alla circonferenza Accendi E

18. Midpoint per circonferenze o ellissi Procedendo in maniera analoga a quanto fatto per il tracciamento delle rette, si possono calcolare i due incrementi della variabile di decisione al generico passo p+1, noto il valore dold della varibile di decisione al passo p nei due casi in cui venga acceso il pixel E o SE. Nel caso di accensione, al passo p, di E: mentre, nel caso di accensione di SE: dstart si valuta nel punto (0, R) che è la sommità dell'ottante. Per mantenere l’uso dell’aritmetica intera, si considera h=d-1/4  hstart=1-R h si confronta sempre con 0

19. Midpoint per circonferenze o ellissi

20. Midpoint per circonferenze o ellissi Per un’ellissi l’algoritmo è lo stesso che per una circonferenza, a meno del valore della F(x,y). Inoltre, per ogni quadrante, si individuano due regioni separate dal punto in cui il vettore gradiente di F è inclinato a 45°. Le due regioni differiscono per i punti candidati all’accensione ad ogni passo.

21. Filling Il riempimento può essere relativo a poligoni o a polilinee. Il riempimento di poligoni si effettua con l’algoritmo scan-line in cui il tracciamento dei lati è fatto con il DDA incrementale sulla x, visto che ad ogni passo la linea di scansione (cioè la y) aumenta di 1. Si vuole riempire i punti certamente interniper cui l’algoritmo è leggermente modificato per accendere i pixel immediatamente a destra(sinistra) del lato del poligono

22. Filling Linee curve chiuse possono essere riempite con il midpoint valutando ad ogni pixel pil segno di F(p) per stabilire se il pixel è interno o meno alla curva. Questo è il flaginda usare nell’algoritmo scan-line x=x0, num=x1-x0, den=y1-y0, delta=den; Ripeti per y=y0;y<=y1;y++ Accendi il pixel di coordinate (x,y) delta+=num Se delta>den x++; delta-=den;

23. Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto • Quando una linea deve essere tracciata con spessore non unitario si pone un problema di riempimento che deve tenere in considerazione una serie di requisiti di natura prettamente stilistica: • Quale forma ha il pennello: rettangolare o circolare? • Quale orientazione ha un pennello non circolare? • La linea ha sempre spessore costante? • Quale forma hanno le estremità della linea? • Le metodologie da applicare sono varie e differiscono per precisione del tratto e carico computazionale.

24. Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto • Replicazione di righe/colonne rispetto alla primitiva di spessore unitario • Il metodo consiste nell’aggiungere sopra e sotto (a destra e a sinistra) del pixel che viene acceso dall’algoritmo di tracciamento un numero di pixel tale da raggiungere lo spessore voluto. • Problemi di variazione di spessore con la pendenza • Problemi negli spigoli in cui si incontrano due linee (estremi condivisi) che danno origine a dei buchi • Linea di spessore pari: sbilanciamento tra lato destro e sinistro • Nel caso di un arco di circonferenza si nota che questo tende ad assottigliarsi nelle zone con pendenza della tangente |m|≃1. Lo spessore t della primitiva, in queste regioni si riduce a t/√2.

25. Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto

26. Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto • Uso di un pennino mobile • In questo metodo, il centro dell'impronta del pennino si muove lungo la traiettoria teorica. L'impronta si sposta di conseguenza. • Si possono pensare tracce di pennino di forma qualunque, ma si deve tener conto del problema che il pennino, quando il suo centro si sposta di un pixel, ha una parte della traccia che copre una zona bianca del disegno ed un’altra che, invece, ripassa sopra zone che erano già state accese. • Si utilizzano delle strutture dati simili alle tabelle ET e AET per calcolare in anticipo quali siano le nuove linee di scansione prese in considerazione dalla traccia del pennino, quando questo si sposta: queste saranno le uniche linee soggette a riempimento. • L’approccio va bene per le rette, ma, nelle circonferenze o nelle ellissi, i tratti non orizzontali e non verticali risultano ispessiti.

27. Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto

28. Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto

29. Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto Riempimento dello spazio tra due primitive di spessore unitario distanti tra loro quanto lo spessore t voluto Con questa tecnica si tracciano due primitive di spessore unitario a distanza t/2 dalla ideale linea mediana. Non ci sono problemi di spessori pari o dispari e lo spessore non cambia con la pendenza. Per le rette si tracciano rettangoli di lunghezza l e larghezza t che vengono riempiti come al solito. Per le circonferenze si tracciano due cerchi concentrici di raggio R+ t/2 e R - t/2. Analogamente per le ellissi due primitive concentriche di semiassi rispettivamente (a - t/2,b - t/2) e (a + t/2,b + t/2).

30. Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto

31. Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto • Tratteggio • Il tratteggio di una linea si può ottenere guidandone il tracciamento con una tecnica di mascheramento. Per semplicità si farà riferimento ad un segmento di retta, ma il procedimento si estende immediatamente anche ad altri tipi di linea. • Lo stile del tratteggio è codificato con una costante intera di 16 o 32 bit che, come maschera binaria, ha dei bit 1 in corrispondenza dei pixel del tratto da accendere e dei bit 0 in corrispondenza dei pixel da lasciare spenti. • “tratto e punto” in 32 bit: 11111001100111111111100110011111

32. Tracciamento di primitive con spessore e stile del tratto Ogni bit comanda l'accensione di un tratto di linea di lunghezza data, in dipendenza di un fattore di scala alla quale vogliamo ripetere il tratto. Sia sla scala alla quale si vuole disegnare una iterazione dello stile del tratteggio e sia t l’intero a 32 bit che codifica lo stile: Ripeti per x=x0, i=0; x<=x1; x++, i++ Se t>>((i/s)%(32)) & 1 == 1 Accendi il pixel alla coordinata (x,y) // y determinato dall’algoritmo di //tracciamento

33. Clipping • Il problema del clipping è intrinsecamente 3D, ma sorge anche nel 2D quando bisogna determinare l’estensione di curve proiettate sullo schermo che possono • Intersecarsi tra loro • Essere interrotte dai bordi della viewport • Il clipping verrà analizzato per • Rette • Poligoni • Curve

34. Clipping di rette • Algoritmo di Cohen-Sutherland • Si basa sull’uso di un test per effettuare l’accettazione o la reiezione banale delle linee che siano interamente visibili o interamente invisibili rispetto a una regione rettangolare. Siano (xmin,ymin) e (xmax, ymax) i punti che definiscono la regione di visibilità, allora il piano può essere diviso in 9 regioni dalle 4 rette che la delimitano. • Ad ogni regione viene assegnato un codice a 4 bit che risulta dal test effettuato per i punti (x,y) di ogni regione con le 4 rette: • 1° bit=1 per y > ymax • 2° bit=1 per y < ymin • 3° bit=1 per x > xmax • 4° bit=1 per x < xmin

35. Clipping di rette

36. Clipping di rette Ripeti Valuta i codici dei due estremi Se entrambi i codici sono nulli La linea è totalmente visibile // caso AB Altrimenti se l’AND bit a bit degli estremi è diverso da 0 La linea è totalmente invisibile // caso CD: si tratta di // linee che sono tutte in una // delle 4 regioni definite dai // bit del codice perché gli // estremi hanno un bit 1 nella // stessa posizione) Altrimenti Si considera il primo estremo con codice diverso da 0 //caso EF e IL: se un estremo ha codice pari a 0 // allora è visibile Si effettua l’intersezione con la retta corrispondente al primo bit 1 del codice // punto H in EF e punto M in IL Si considera il nuovo segmento che va dal punto intersezione al secondo estremo e si calcola il nuovo codice per l’intersezione Finché non ricadi in uno dei due casi banali

37. Clipping di rette Algoritmo di Cyrus-Beck E’ il caso bidimensionale dell’intersezione retta-poligono in 3D Per ogni lato della viewport si considera una geometria semplificata

38. Clipping di rette Algoritmo di Cyrus-Beck

39. Clipping di rette Ripeti per ogni segmento che deve essere troncato Se P1== P0 esci // linea degenere Altrimenti tE=0, tL=1 // gli estremi del segmento: non // ha senso andare oltre Ripeti per ogni lato da intersecare Calcola numeratore e denominatore di t Se −Ni⋅D== 0 // linea parallela al lato di clipping Se Ni⋅[P0− PEi]>0 // lato esterno //segmento parallelo ed esterno Esci Altrimenti restituisci gli estremi P0 e P1 Altrimenti se −Ni⋅D> 0 tE=max(t ,tE) Altrimenti tL=min(t ,tL) Se tE > tL esci // falso positivo: un punto potenzialmente // entrante è successivo ad un punto potenzialmente // uscente, quindi la linea è esterna Altrimenti restituisci gli estremi corrispondenti a tE e tL

40. Clipping di rette • Liang-Barsky • Algoritmo semplificato • Tiene conto delle reali orientazioni delle normali Ni • Determina delle formule semplici di calcolo di t • Non necessita di un posizionamento particolare per PEi

41. Clipping di poligoni Sutherland-Hodgman Estensione del clipping di un segmento alla lista dei segmenti di un poligono Il poligono da troncare è espresso come una lista di vertici v1,v2,...,vne viene scandito da vna v1e di nuovo a vnper ogni lato del rettangolo di clipping (o della viewport)

42. Clipping di poligoni I test di interno/esterno e di parallelismo si possono condurre con l’approccio di Liang-Barsky

43. Clipping di Poligoni Ripeti per ogni lato del rettangolo di clipping listaout=null s=listain(lunghezza(listain)) Ripeti per l che va da 1 a lunghezza(listain) p=listain(l) Se s è esterno al lato Se p è interno Calcola l’intersezione i listaout=listaout+i listaout=listaout+p Altrimenti Se p è interno listaout=listaout+p Se p è esterno Calcola l’intersezione i listaout=listaout+i s=p Fine listain=listaout Fine

44. Clipping di circonferenze o ellissi • Si effettua una serie di test semplici di accettazione e reiezione rispetto ai lati di clipping • Con il rettangolo includente • Con ogni suo quadrante • Con ogni singolo ottante • I test sono dei clipping poligonali • L’intersezione è calcolata solo per i lati di interesse

45. Antialiasing Per effetto della dimensione finita (e non infinitesima) dei pixel dei sensori di acquisizione e dei display, è possibile riprodurre le immagini inseguendo solo fino ad un certo punto le brusche variazioni di luminosità e/o colore, cioè le elevate frequenze spaziali. Come conseguenza di questa limitazione, i profili degli oggetti disegnati in un’immagine presentano delle “seghettature”: a questo fenomeno si da il nome di aliasinged è una caratteristica tipica della digitalizzazione di qualunque segnale analogico, anche temporale, nel momento in cui vengono fissati i parametri di campionamento.

46. Antialiasing Approccio Unweighted Area Sampling (UAS) Si pensi al display come ad una disposizione regolare di tessere quadrate o rettangolari. Anche la retta (linea) più sottile, ha un suo spessore ≠ 0 e quindi possiamo pensarla come un rettangolo pieno (o come una striscia curvilinea).

47. Antialiasing L'idea dell'antialiasing di tipo UAS è quella di accendere tutti i pixel interessati anche marginalmente dal rettangolo che rappresenta analiticamente il segmento di retta di dato spessore o, più in generale, la striscia che rappresenta la generica linea curva. In questo approccio, i pixel vengono accesi con un'intensità "proporzionale" alla porzione della loro area che è interessata dalla linea. Così, da un punto di vista percettivo, inganna l'occhio e fa percepire contorni continui e non seghettati. Analogamente si può dire che, più distante è il centro del pixel dalla linea, minore è l'intensità con cui viene acceso: il pixel sarà spento se è completamente esterno alla linea.

48. Antialiasing La tecnica UAS non è apprezzabile da un punto di vista percettivo perché gli estremi della primitiva tendono a “sbordare” in quanto pixel molto distanti dal centro della linea, ma con una piccola sovrapposizione con essa risultano accesi.

49. Antialiasing Approccio Weighted Area Sampling (WAS) Si sopperisce ai difetti dell’approccio UAS tenendo conto anche della distanza del centro del pixel dalla traccia teorica della primitiva, pensata come priva di spessore. Le due tecniche UAS e WAS sono delle vere e proprie tecniche di filtraggio dell’immagine e possono essere spiegate ricorrendo al concetto di filtraggio spaziale tramite convoluzione di un opportuno nucleo con ogni singolo pixel e non con un vicinato.

50. Antialiasing Sia Imax l’intensità massima di accensione di un pixel in assenza di antialiasing. Sia L⊂R2 l’insieme dei punti della primitiva. Ogni pixel che ha intersezione non vuota con L sarà acceso con un’intensità I=Imax*Ws ottenuto come filtraggio con un opportuno nucleo di convoluzione W(τ,ν) centrato nel pixel p(xp,yp) con una funzione dA(x,y) che esprime l’area ricoperta dalla primitiva. Per una scelta opportuna del nucleo di convoluzione, le tecniche UAS e WAS sono casi particolari del medesimo approccio.