BA03 Deskriptivn í ge ometrie

1. BA03Deskriptivní geometrie Mgr. Jan Šafařík přednášková skupina P-B1VS2 učebna Z240 letní semestr 2013-2014

2. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Kontakt: Ústav matematiky a deskriptivní geometrie Žižkova 17, 662 37 Brno místnost Z221 telefon: 541147606 e-mail:safarik.j@fce.vutbr.cz www: http://vyuka.safarikovi.org/ konzultační hodiny:čtvrtek, 10:00 – 11:00 V případě potřeby je možné domluvit konzultaci i mimo stanovený čas po individualní domluvě.

3. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Základní literatura: • Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně: Deskriptivní geometrie, verze 4.0 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Soubor CD-ROMů Deskriptivní geometrie, Fakulta stavební VUT v Brně, 2012. ISBN 978-80-7204-626-3.

4. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Základní literatura: • Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Roušar, Josef - Šafařík, Jan - Zrůstová, Lucie: Sbírka zkouškových příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2009. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php • Bulantová, Jana - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Roušar, Josef - Roušarová, Veronika - Slaběňáková, Jana - Šafařík, Jan - Šafářová, Hana, Zrůstová, Lucie: Sbírka řešených příkladů z deskriptivní geometrie pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, Fakulta stavební VUT v Brně, 2006. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php • Autorský kolektiv Ústavu matematiky a deskriptivní geometrie FaSt VUT v Brně:Vyrovnávací kurz deskriptivní geometrie BA91 , Fakulta stavební VUT v Brně, 2007. http://math.fce.vutbr.cz/studium.php • Puchýřová, Jana: Cvičení z deskriptivní geometrie, Část A, Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., Fakulta stavební VUT, Brno 2005. • Puchýřová, Jana: Cvičení z deskriptivní geometrie, Část B, Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., Fakulta stavební VUT, Brno 2005.

5. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Doporučená literatura: • Stránky Deskriptivní geometrie pro 1. ročník kombinovaného studia FAST, http://math.fce.vutbr.cz/ks_dg.php. • Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie I. - Kuželosečky, Fakulta stavební VUT, Brno 1988. • Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie II. - Promítací metody, Fakulta stavební VUT, Brno 1989. • Holáň, Štěpán - Holáňová, Libuše: Cvičení z deskriptivní geometrie III. - Plochy stavebně technické praxe, Fakulta stavební VUT, Brno 1992. • Moll, Ivo - Prudilová, Květoslava - Puchýřová, Jana - Slaběňáková, Jana - Roušar, Josef - Slatinský, Emil - Slepička, Petr - Šafářová, Hana - Šafařík, Jan - Šmídová, Veronika - Švec, Miloslav - Tomečková, Jana: Deskriptivní geometrie, verze 1.0 - 1.3 pro I. ročník Stavební fakulty Vysokého učení technického v Brně, FAST VUT Brno, 2001-2003. • Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie I, SNTL/SVTL, Praha 1966. • Piska, Rudolf - Medek, Václav: Deskriptivní geometrie II, SNTL/ALFA, Praha 1975. • Vala, Josef: Deskriptivní geometrie I, Fakulta stavební VUT, Brno 1997. • Vala, Josef: Deskriptivní geometrie II, Fakulta stavební VUT, Brno 1997.

6. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Cíl předmětu: Zvládnout konstrukci kuželoseček na základě ohniskových vlastností. Pochopit principy perspektivní kolineace a perspektivní afinity a umět je použít při řešení příkladů. Pochopit a zvládnout základy promítání: Mongeova, kolmé axonometrie a lineární perspektivy. Rozvinout prostorovou představivost a zvládnout prostorové řešení jednoduchých úloh. Umět zobrazit jednoduchá geometrická tělesa a plochy v jednotlivých projekcích, jejich řezy. V lineární perspektivě zvládnout zobrazení stavebního objektu. Seznámit se se stručným výběrem poznatků z teorie křivek a ploch, umět konstrukci šroubovice ze zadaných prvků a konstrukci pravoúhlé uzavřené přímkové šroubové plochy. Seznámit se se stručným výběrem z teorie zborcených ploch, umět konstrukci hyperbolického paraboloidu a konoidů ze zadaných prvků. http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

7. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Harmonogram předmětu: • Rozšířený euklidovský prostor. Dělící poměr. Princip promítání středového a rovnoběžného. Perspektivní kolineace, perspektivní afinita. • Systém základních úloh, užití na příkladech. Mongeovo promítání. Základní pojmy. Základní úlohy. • Mongeovo promítání. Základní úlohy. Průmět kružnice. Zavedení třetí průmětny. • Mongeovo promítání. Zobrazení tělesa. Řezy těles, příklady. • Kolmá axonometrie. Základní pojmy. Konstrukce v souřadnicových rovinách, kružnice v souř. rovině. Úlohy polohy. • Kolmá axonometrie. Zobrazení tělesa. Řez tělesa s podstavou v půdorysně, průsečíky přímky s tělesem. Zářezová metoda. Šikmé promítání na nárysnu (konstrukce v půdorysně, těleso s podstavou v půdorysně) http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

8. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Harmonogram předmětu: • Úvod do středového promítání. Lineární perspektiva. Promítací aparát. Průsečná metoda. • Lineární perspektiva. Vynášení výšek. Metoda sklopeného půdorysu. Délky úseček v základní rovině. Metody volné perspektivy. • Lineární perspektiva. Další metody konstrukcí perspektivy (metoda dvou úběžníků, měřících bodů, hloubkových přímek). Kružnice v základní a svislé rovině. Gratikoláž. • Prostorová křivka. Šroubovice (zadání: (o, A, v/vo, točivost), (o,t); oskulační rovina v bodě šroubovice). Úvod do teorie ploch. • Přímý šroubový konoid. Zborcené plochy. Zborcené plochy druhého stupně. Zborcený hyperboloid. Hyperbolický paraboloid. • Zborcené plochy vyššího stupně. Kruhový a parabolický konoid, Marseillský a Montpellierský oblouk. • rezerva http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

9. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Harmonogram cvičení: • Ohniskové vlastnosti kuželoseček. • Perspektivní kolineace, perspektivní afinita. Křivka afinní ke kružnici. Konstukce sdružených průměrů. • Konstrukce elipsy založené na afinitě, Rytzova konstrukce, proužková konstrukce. Mongeova projekce. Základní konstrukce. • Mongeova projekce. Základní úlohy. Rozbor jednoduchých konstruktivních úloh. Užití třetí průmětny. • Mongeova projekce. Zobrazení tělesa. Řezy těles. • 1. kontrolní práce. Kolmá axonometrie. Metrické úlohy v souřadnicových rovinách. Zobrazení tělesa. • Kolmá axonometrie. Řez tělesa s podstavou v půdorysně, průsečíky přímky s tělesem. Šikmé promítání. Konstrukce v půdorysně (kružnice). • Lineární perspektiva • Lineární perspektiva. • Lineární perspektiva. • 2. kntrolní práce. Šroubovice. Šroubový konoid v kolmé axonometrii • Hyperbolický paraboloid. Kruhový konoid. • Rezerva. Zápočty. http://www.fce.vutbr.cz/studium/predmety/Predmet.asp?kod=BA03

10. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Požadavky k zápočtu • dvě zápočtové písemky – úspěšnost alespoň 30% ze součtu obou písemek 1. zápočtová písemka – 6. týden semestru 2. zápočtová písemka – 11. týden semestru • 2 rysy – jednotné zadání pro všechny studijní skupiny, zadání budou upřesněna během semestru, rýsujte tužkou, na kladívkový papír, popis šablonkou • účast na cvičeních je povinná, tolerují se maximálně dvě omluvené neúčasti (viz studijní řád) • kontrola sešitu, vypracované typové příklady ze cvičení • domácí úlohy – řeší vyučující individuálně

11. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Okruhy k písemné zkoušce • Budou upřesněny během semestru na stránkách http://vyuka.safarikovi.org/

12. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Geometrie a stavitelství Návrh geometrie Konstrukce Prostředí Stavba Technologie provádění Ekonomika Náklady Materiál

13. Jan Šafařík: Úvod do předmětu deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie BA03 Geometrie v návrhu Transformace operace s objekty Tvary Tělesa Křivky Plochy Dimenze Proporce Zobrazení objektu Skicování Promítací metody Počítačové zobrazování

14. Přehled ploch stavební praxe

15. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Graham McCourt Architects, 1983, sportovní aréna, Calgary, Alberta, Canada

16. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid Frei Otto, Günther Behnisch, Fritz Auer, Carlo Weber, 1968-1972, Olympijský stadión, Mnichov, Německo

17. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Hyperbolický paraboloid F. Calatrava, 1982, oceánografické muzeum, Valencie

18. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Kulová plocha K zastřešení užito trojúhelníkových úsečí kulových ploch o shodném poloměru R=74.0m arch. Jørn Utzon, 1973, Opera v Sydney, Nový Jižní Wales , Austrálie

19. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid arch. Oscar Niemeyer, 1970, Cathedral of Brasília (Catedral Metropolitana Nossa Senhora Aparecida)

20. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid The James S. McDonnell Planetarium , St. Louis, Missouri, U.S.A.

21. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Jednodílný hyperboloid Chladící věže jaderných elektráren

22. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Rotační paraboloid Ještěd, arch. Karel Hubáček, 1963 - 1966 arch. Norman Foster a Ken Shuttleworth, 2001-2004, 30 St Mary Axe, Londýn, velká Británie

23. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Rotační plocha • Nejedná se o jednodílný rotační hyperboloid • Hyperbola rotuje kolem asymptoty • Zbytek plochy rotací spline funkcí Ještěd, arch. Karel Hubáček, 1963 - 1966

24. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Šroubová plocha Šroubování krychle o ¼ závitu; po stranách otevřené pravoúhlé přímkové šroubové plochy (svidřík) arch. Santiago Calatrava, 2001-2005, Turning Torso

25. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Šroubová plocha arch. Santiago Calatrava, 2007-2011, Fordham Spire

26. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Šroubová plocha Fordham Spire - návrh

27. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Přímý šroubový konoid Lednice - Minaret Schodová plocha

28. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Plocha Štramberské trůby

29. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Plocha šikmého průchodu Vyšehradský tunel

30. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 Přímý parabolický konoid

31. Jan Šafařík: Přehled ploch stavební praxe Deskriptivní geometrie BA03 „Corne de Vache“plocha kravského rohu Most Legií, Praha

32. Deskriptivní geometrie BA03

33. Deskriptivní geometrie BA03 Jak zvládnout deskriptivu? Tajemství úspěchu není dělat jen to, co se nám líbí, ale najít zalíbení v tom, co děláme. T. A. Edison

34. Deskriptivní geometrie BA03 Kdo nerozumí jednomu pohledu,nepochopí ani dlouhé vysvětlováni. arabské přísloví

35. Přednáška č.1 Rozšířený euklidovský prostor. Dělící poměr. Princip středového a rovnoběžného promítání. Perspektivní kolineace, perspektivní afinita.

36. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Rozšířený euklidovský prostor • každá vlastní přímka má jeden nevlastní bod (je incidentní s jedním nevlastním bodem), • nevlastní bod je určen směrem přímky, která je s tímto bodem incidentní, • všechny vzájemně rovnoběžné přímky se protínají v jediném nevlastním bodě, • každá vlastní rovina má jednu nevlastní přímku (je incidentní s nevlastní přímkou), • všechny vzájemně rovnoběžné roviny se protínají v jediné nevlastní přímce.

37. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Dělící poměr Zvolme na dané přímce p dva různé vlastní body A, B a kladný směr. Pak poloha libovolného dalšího bodu C je určena poměrem délek orientovaných úseček | AC | : | BC | = λ. Tento poměr nazýváme dělící poměr bodu C vzhledem k základním bodům A, B, značíme (ABC). (ABC) > 1 bod C leží vně úsečky AB, tak aby |AC|>|BC| 0 < (ABC) < 1 bod C leží vně úsečky AB, tak aby |AC| < |BC| (ABC) < 0 bod C leží uvnitř úsečky AB (ABC) = 0 bod C splývá s bodem A Hodnota dělícího poměru nezávisí na volbě orientace přímky. Dvojpoměrem čtyř bodů A, B, C, D (v tomto pořadí) na orientované přímce nazýváme poměr (ABC) : (ABD), t.j. podíl dělících poměrů bodů C a D vzhledem k základním bodům A, B; značíme (ABCD).

38. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Princip středového a rovnoběžného promítání • S ... střed promítání • s ... směr promítání • A´ ... průmět bodu • ρ ... průmětna • AA´ ... promítací paprsek • Definice: • Zobrazení, ve kterém obrazem bodu A v prostoru různého od bodu S je průsečík A´ přímky AS s rovinou ρ, se nazývá promítání. Bod S se nazývá střed promítání, rovina ρprůmětna, přímka ASpromítací přímka (promítací paprsek), bod A´ průmět bodu A, rovina procházející středem promítání promítací rovina. • Je-li střed S promítání vlastní bod, nazýváme promítání středové (centrální), je-li střed S promítání nevlastní bod, nazýváme promítání rovnoběžné (paralelní).

39. Průmětem bodu, různého od středu promítání, je bod. Průmětem přímky, která neprochází středem promítání, je přímka. Průmětem promítací přímky je bod, tj. její průsečík s průmětnou. Průmětem roviny, která neprochází středem promítání, je průmětna. Průmětem promítací roviny je přímka. Invariantem středového promítání je dvojpoměr čtyř bodů na přímce. Důsledek: a) průmětem rovnoběžných přímek nejsou rovnoběžky, b) průmět nevlastního bodu může být bod vlastní i nevlastní. Invariantem rovnoběžného promítání je dělící poměr tří bodů na přímce. Důsledek: a) průmětem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžky, b) průmět středu úsečky je střed průmětu úsečky, c) průmět vlastního bodu je bod vlastní. d) průmět nevlastního bodu je bod nevlastní. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Vlastnosti promítání Věta: Incidence prvků se promítáním zachovává. Poznámka: Metrické vlastnosti, tj. délky a úhly se obecně promítáním nezachovají.

40. Rovnoběžná promítání Kótované promítaní Mongeovo promítání Axonometrické promítání - pravoúhlé (ortogonální) - kosoúhlé (klinogonální) Středová promítání Obecné středové promítání Lineární perspektiva Stereoskopické promítání (anaglyfy) Reliéf Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Zobrazovací metody

41. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Perspektivní kolineace Je dána trojboká jehlanová plocha s vrcholem S a dvě různoběžné roviny ρ a ρ'. Rovina ρ protíná jehlanovou plochu v trojúhelníku ABC a rovina ρ' protíná jehlanovou plochu v trojúhelníku A'B'C'. Pokud ΔABC promítneme z bodu S do roviny ρ', získáme ΔA'B'C'. Máme zobrazení bodů a přímek roviny ρ do bodů a přímek roviny ρ', ve kterém platí stejně jako v afinitě, že odpovídající si přímky se protínají na průsečnici rovin ρ a ρ'.

42. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Perspektivní kolineace Definice: Nechť jsou dány dvě různé vlastní roviny ρ a ρ ' a vlastní bod S neležící v žádné z daných rovin. Středovým promítáním ze středu S se body a přímky roviny ρ zobrazí do bodů a přímek roviny ρ '. Toto zobrazení se nazývá perspektivní kolineace (dále jen kolineace) mezi rovinami ρ a ρ '. Průsečnice rovin ρ a ρ ' se nazývá osa kolineace, bod S se nazývá střed kolineace. Kolineace je jednoznačně určena středem S a rovinami ρ a ρ '. Základní vlastnosti kolineace: 1. Bodu (přímce) jedné roviny je přiřazen jediný bod (jediná přímka) druhé roviny. Bodu A ležícímu na přímce a v rovině ρ je přiřazen bod A' na přímce a' v rovině ρ ', přičemž a' je obrazem přímky a (incidence se zachovává). 2. Dvojice kolineárně sdružených bodů leží na přímkách procházejících středem kolineace (tyto přímky nazýváme paprsky kolineace). 3. Kolineárně sdružené přímky se protínají na ose kolineace. Osa kolineace je množina samodružných bodů.

43. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Perspektivní kolineace Označení: AA ' bude vyjadřovat, že obrazem bodu A je bod A '. AA ' bude vyjadřovat, že A a A ' jsou kolineárně sdružené body. pp ' bude vyjadřovat, že p a p ' jsou kolineárně sdružené přímky. Úběžník přímky - obraz nevlastního bodu, je to vlastní bod Úběžnice roviny - obraz nevlastní přímky roviny, je to množina úběžníků všech přímek roviny Orientovaná vzdálenost středu kolineace od úběžnice jedné roviny je rovna orientované vzdálenosti úběžnice druhé roviny od osy kolineace.

44. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Perspektivní kolineace Promítneme-li z nějakého bodu O, který neleží v žádné z rovin ρ a ρ ', kolineaci mezi rovinami ρ a ρ ' do libovolné roviny  (O ), získáme zobrazení nazývané perspektivní kolineace v rovině, dále jen kolineace.

45. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Poznámka: Kolineaci budete využívat při sestrojování rovinných řezů jehlanů a kuželů. Mezi podstavou a řezem je kolineární vztah, osou kolineace je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, středem kolineace je vrchol tělesa. Postup při sestrojení řezu jehlanu nebo kužele je následující: 1. Určíme jeden bod řezu jako průsečík libovolné površky (nebo osy tělesa) s rovinou řezu 2. Využitím vlastností kolineace určíme čáru řezu jako křivku kolineární ke křivce podstavy (osa kolineace: průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, pár odpovídajících si bodů: nalezený bod řezu a bod podstavy na téže povrchové přímce)

46. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Perspektivní afinita Je dána trojboká hranolová plocha, jejíž hrany a, b, c jsou rovnoběžné s daným směrem s. Dále jsou dány roviny ρ a ρ', které se protínají v přímce o. Rovina ρ protíná hranolovou plochu v ΔABC, rovina ρ' protíná hranolovou plochu v ΔA'B'C' , a (A, A' ) || b (B, B' ) || c (C, C' ) || s. α (a,b) je rovina stěny hranolové plochy. V této rovině leží jak přímka AB =  ρα, tak přímka A'B' =  ρ' α. Průsečík přímek AB a A'B' (na obrázku označen I ) musí ležet na průsečnici o rovin ρ a ρ', protože je to společný bod tří rovin ρ, ρ', α. Můžeme také říci, že ΔA'B'C' vznikl promítnutím ΔABC směrem s do roviny ρ'.

47. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Perspektivní afinita • Definice: • Nechť jsou dány dvě různé vlastní roviny ρ a ρ ' a směr promítání s, který není rovnoběžný s žádnou z daných rovin. Rovnoběžným promítáním ve směru s se body a přímky roviny ρ zobrazí do bodů a přímek roviny ρ '. Získáme tak geometrické zobrazení v prostoru nazývané perspektivní afinita (dále jen afinita) mezi rovinami ρ a ρ '. • Průsečnice rovin ρ a ρ ' se nazývá osa afinity, směr s nazýváme směr afinity. • Označení: • AA ' bude vyjadřovat, že obrazem bodu A je bod A '. • AA ' bude vyjadřovat, že A a A ' jsou afinně sdružené body. • pp ' bude vyjadřovat, že p a p ' jsou afinně sdružené přímky. • Afinita je dána: • osou o a párem odpovídajících si bodů A, A '; směr afinity je pak určen přímkou AA '; • osou o, směrem s a párem odpovídajících si přímek p, p ' protínajících se na ose afinity; • třemi páry afinně sdružených bodů, kde AA ' || BB ' || CC '.

48. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Perspektivní afinita Základní vlastnosti afinity: 1. Bodu (resp. přímce) jedné roviny je přiřazen jediný bod (resp. jediná přímka) druhé roviny. Bodu A ležícímu na přímce a v rovině ρ je přiřazen bod A ' ležící na přímce a ' v rovině ρ ' , přičemž a' je obrazem a. (zkráceně: incidence se zachovává) 2: Dvojice afinně sdružených bodů leží na přímkách rovnoběžných se směrem afinity (tyto přímky budeme nazývat paprsky afinity). 3. Afinně sdružené přímky se protínají na ose afinity. Osa afinity je množina samodružných bodů. Další důležité vlastnosti: 4. Nevlastní přímce jedné roviny odpovídá nevlastní přímka druhé roviny. 5. Dvě rovnoběžné přímky se zobrazí do rovnoběžných přímek. 6. Průsečíku M různoběžných přímek p, q odpovídá průsečík M ' odpovídajících přímek p ', q '. 7. Afinita zachovává (jako každé rovnoběžné promítání) dělící poměr i dvojpoměr. 8. Středu S úsečky AB odpovídá střed S ' úsečky A 'B ' (důsledek vlastnosti 7).

49. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Perspektivní afinita Promítneme-li afinitu o směru s mezi rovinami ρ a ρ ' libovolným směrem s* různým od s (s* není rovnoběžný s ρ ani s ρ ') do libovolné roviny  (která není rovnoběžná se směrem s*), získáme geometrické zobrazení nazývané perspektivní afinita v rovině (dále jen afinita).

50. Jan Šafařík: První přednáška Deskriptivní geometrie BA03 Poznámka: Afinitu budete využívat při sestrojování rovinných řezů hranolů a válců. Mezi podstavou a řezem je afinní vztah, osou afinity je průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, směr afinity je směr povrchových přímek tělesa (všechny povrchové přímky hranolu, resp. válce jsou rovnoběžné). Postup při sestrojení řezu hranolu nebo válce je následující: 1. Určíme jeden bod řezu jako průsečík libovolné površky (případně boční hrany hranolu) nebo osy tělesa s rovinou řezu. 2. Využitím vlastností afinity určíme čáru řezu jako křivku afinní ke křivce podstavy (osa afinity: průsečnice roviny podstavy a roviny řezu, pár odpovídajících si bodů: nalezený bod řezu a bod podstavy na téže povrchové přímce).