1 / 51

Muhammad Aqla Fatriani Siti Hamidah Abdul Aziz Karim

Muhammad Aqla Fatriani Siti Hamidah Abdul Aziz Karim. MATEMATIKA II. ?!. Vektor & Matriks 6 + 9 = 8. Pengenalan Vektor Penjumlahan & Penggandaan Vektor Vektor dalam geometrik Vektor sebagai landasan ruang Norma Vektor Pengenalan suatu Matriks

denim
Download Presentation

Muhammad Aqla Fatriani Siti Hamidah Abdul Aziz Karim

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Muhammad AqlaFatrianiSiti HamidahAbdul Aziz Karim MATEMATIKA II ?! Vektor & Matriks 6 + 9 = 8

  2. Pengenalan Vektor Penjumlahan & Penggandaan Vektor Vektor dalam geometrik Vektor sebagai landasan ruang Norma Vektor Pengenalan suatu Matriks Penjumlahan & penggandaan matriks Putaran suatu matriks Teras suatu matriks Matriks sekatan Determinan suatu matriks Pangkat suatu matriks Kebalikan suatu matrks Vektor Jawab SAJIAN MATERI Vektor Matriks

  3. MATEMATIKA II • Vektor • Matriks • Determinan Suatu Matriks • Pangkat Suatu Matriks • Kebalikan Suatu Matriks • Vektor Jawab

  4. Susunan bilangan atau bilangan yang disusun ke dalam bentuk baris atau bentuk lajur 5 8 V E K T O R 2

  5. Bentuk susunan v11 v12 v13 v11 v21 Vektor Baris v31 Vektor Lajur

  6. Notasi Vektor vb = ( v11 v12 v13 ) Vektor baris v = (v11 v12 v13 ) 1 x 3 v’ = (v11 v12 v13 ) Vektor lajur vl = v = 3 x 1 v = v11 v21 v31 v11 v21 v31 v11 v21 v31

  7. Pengolahan Vektor Tambah  Penjumlahan Kurang Kali  Penggandaan Bagi

  8. v1 + v2 = v3 p x q r x s p x q p = r & q = s 1. Penjumlahan 2 buah vektor Jumlah baris vektor penjumlah samadengan jumlah baris vektor dijumlah Syarat penjumlahan : Jumlah lajur vektor penjumlah samadengan jumlah lajur vektor dijumlah

  9. CL V01 SL V1-01 Bila diketahui masing-masing vektor sbb : a = ( 5 u 2 ) 1 x 3 b = ( 1 8 5 ) 1 x 3 1. Tentukan penjumlahan dari : a. Vektor baris : (a + b) dan (a – b) b. Vektor lajur : (c + d) dan (c – d) c 3 x 1 d 3 x 1 = = 3 5 3 0 4 1

  10. Penyelesaian 1 : a. Penjumlahan vektor baris a + b = ( 5 u 2 ) + ( 1 8 5 ) = ( 6 u+8 7) (1 x 3) a – b = ( 5 u 2 ) − ( 1 8 5 ) = ( 4 u-8 -3) (1 x 3) b. Penjumlahan vektor lajur + = + = c + d = 3 x 1 c − d = 3 x 1 0 4 1 3 9 4 3 5 3 0 4 1 3 1 2 3 5 3

  11. CL V01 SL V1-01 Bila diketahui masing-masing vektor sbb : a = ( 5 u 2 ) 1 x 3 b = ( 1 8 5 ) 1 x 3 2. Tentukan pula penjumlahan dari : a. (c + a) dan b. (d + b) c 3 x 1 d 3 x 1 = = 3 5 3 0 4 1

  12. Penyelesaian 2 : a. Penjumlahan dari vektor lajur & vektor baris : • Tidak dapat dilakukan karena : • Jumlah baris vektor a ≠ jumlah baris vektor c • Jumlah lajur vektor a ≠ jumlah lajur vektor c ( 5 u 2 ) (c + a) = 1 x 3 3 x 1 b. Penjumlahan dari vektor baris & vektor lajur : • Tidak dapat dilakukan karena : • Jumlah baris vektor d ≠ jumlah baris vektor b • Jumlah lajur vektor d ≠ jumlah lajur vektor b ( 1 8 5 ) (b - d) = 1 x 3 0 4 1 3 5 3 3 x 1

  13. 2. Penggandaan 2 buah vektor Syarat umum penggandaan : vektor 1 x vektor 2 (baris 2 x lajur2) (baris 1 x lajur1) sama jumlahnya Hasil penggandaan : * vektor baris x vektor lajur = skalar * vektor lajur x vektor baris = st matriks  Matriks segi  Matriks tak segi

  14. skalar a x b = s 1 x q r x 1 1 x 1 (r = q)  Hasil penggandaan : “skalar” Jumlah lajur vektor pengganda samadengan jumlah baris vektor diganda Syarat penggandaan

  15. = (a11 a12 a13 ….. a1q) b11 b21 b31 . . . br1 a 1 x q b = r x 1 r = q = ( a11.b11 + a12.b21 + a13 .b31 +…..+ a1q.br1) a x b (1 x 1) = ( s11 + s11 + ….. + s11) CARA PENGGANDAAN

  16. CL V02A SL V02A SKALAR Bila diketahui b = 3x 1 1. Tentukan penggandaan vektor-vektor : a. (a x b) b. (c x b) 0 4 1 = ( 5 u 2 ) a 1 x 3 = (2 3) c 1 x 2

  17. Penyelesaian 1 : a. 0 4 1 ( 5 u 2 ) = x a 1 x 3 b 3 x 1 = (5 x 0) + (u x 4) + (2 x 1) = 4u +2 = ( 2 3 ) x 041 c 1 x 2 b 3 x 1 b. • Tidak dapat dilakukan karena : • Jumlah baris vektor b ≠ jumlah lajur vektor c

  18. b x a = M r x 1 1 x q r x q matriks  Hasil penggandaan : suatu “matriks” Jumlah lajur vektor pengganda samadengan jumlah baris vektor diganda Syarat penggandaan

  19. b x a = r x 1 1 x q ( a11 a12 a13 ….. a1q) b11 b21 b31 . . . br1 CARA PENGGANDAAN = b11.a11 b11.a12 b11.a13 …. b11.a1q b21.a11 b21.a12 b21.a13 ….b21.a1q b31.a11 b31.a12 b31.a13 ….b31.a1q . . . . . . . . . . . . br1.a11 br1.a12 br1.a13 ….br1.a1q

  20. HASIL PENGGANDAAN = ( a11 a12 a13 ….. a1q) x b11 b21 b31 . . . br1 a 1 x q = b r x 1 q = r atau q  r Matriks segi Matriks tak segi

  21. b x a = (r x r) m11 m12 m13 …. m1r m21 m22 m23 …. m2r m31 m32 m33 …. m3r . . . . . . . . . . . . mr1 mr2 mr3 ….mrr Bila q = r CARA PENGGANDAAN KHUSUS Matriks segi b x a = (r x q) m11 m12 m13 …. m1q m21 m22 m23 …. m2q m31 m32 m33 …. m3q . . . . . . . . . . . . mr1 mr2 mr3 ….mrq Bila q  r Matriks tak segi

  22. CL V02B SL V02B Bila diketahui b = 3x 1 1. Tentukan pula penggandaan vektor-vektor : a. (b x a) b. (b x c) 0 4 1 = ( 5 u 2 ) a 1 x 3 = (2 3) c 1 x 2

  23. Penyelesaian 1 : a. b x a = 3x1 1x3 ( 5 u 2 ) 0 4 1 = 0 0 0 20 4u 8 5 u 2 Matriks segi (3 x 3) b. = 0 0 8 12 2 3 (2 3) 0 4 1 b x c = 3x11x2 Matriks tak segi (3 x 2)

  24. Penggandaan skalar thd st vektorst vektor thd skalar Mengacu pada syarat penggandaan 2 buah vektor, diperoleh :  Skalar s x vektor baris x = s(vektor baris x) = sx11sx12sx13 ….. sx1l  Vektor lajur x x skalar s = (vektor lajur x)s = x11s x21s x31s . . xb1s “Dimensi hasil penggandaan tergantung dimensi vektornya”

  25. CL V02C SL V02C 5 X (1 3 5) = (5 15 25) • S x b = • 1x1 1x3 2 4 6 Diketahui bahwa : Skalar S = 5 • b x S = • 1x31x1 (1 3 5) x 5 = Tidak dapat dilakukan karena jumlah baris pada skalar s (= 1) ≠ jumlah lajur pada vektor b (= 3) Vektor baris b = (1 3 5) Vektor lajur l = 1. Tentukan penggandaan untuk : a. (S x b) b. (b x S) Penyelesaian 1 :

  26. CL V02C SL V02C Diketahui bahwa : Skalar S = 5 a. S x l = 1x13x1 5 X 2 4 6 2 4 6 2 4 6 Vektor baris b = (1 3 5) Vektor lajur l = 10 20 30 2. Tentukan penggandaan untuk : a. (S x l) b. (l x S) b. l x S = 3x1 1x1 X 5 = Penyelesaian 2 : = Tidak dapat dilakukan karena jumlah baris vektor l (= 3) ≠ jumlah lajur pada skalar s (= 1)

  27. Y P(x,y) y X x Vektor dalam geometrik • penyusunan kombinasi linier (x,y) = penjumlahan 2 buah vekor 0 ( x , y ) = (x , 0) + (0 , y) ( x , y ) = x (1 , 0) + y ( 0 , 1)

  28. 2 buah vektor sebagai Penyusun Salib-sumbu • Vektor penyusun salib sumbu Y V(5,3) 3 3(0,1) (5,3) = 5(1,0) + 3(0,1) X 0 5 5(1,0) Jadi koor. V merup. hsl penjumlahan vektor2 (5,0) dan (0,3)

  29. Y V3(x3,y3) y3 V2 y2 y1 V1 X 0 x3 x2 x1 Kaedah Jajaran genjang V3 = V1 + V2 V3 = {(X2,Y1) + (X1, Y2)} V1’ = (X2 , Y1) V3 = {(X1 + X2) , (Y1 + Y2)} V2’ = (X1 , Y2) V3 = (X3 , Y3)

  30. V3 = (X3 , Y3) Jadi vektor V3 diperoleh dari : * x3 kali vektor (1,0) yg berimpit dgn sumbu X * y3 kali vektor (0,1) yg berimpit dgn sumbu Y Vektor (1,0) & vektor (0,1) masing2 terbobot oleh kofaktor x sebesar x3 dan kofaktor y sebesar y3

  31. V3 5 4 Pengertian bebas linier tidak hanya “tidak searah & berlawanan arah”, tapi berarti pula “tidak selalu tegak lurus” V2 = (2 , 4) V1 = (5 , 1) 1 2 5 7 V1 = (5 , 1) V3 = (5 , 1) + (2 , 4) = {(5 +2) , (1 + 4)} = (7 , 5) V2 = (2 , 4)

  32. Pengembangan pada 3 dimensi Vektor (x,y,z) dapat pula berupa kombinasi linier dari 3 vektor yang bebas terhadap sesamanya (x,y,z) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1) (2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1)

  33. 4 (2,3,4) X 2 3 Z Sembarang vektor dpt dijadi-kan sbg “dasar SS” dengan ketentuan vektor2 tsb tidak searah atau berlawanan arah • Landasan penyusun salib-sumbu (SS) Bila 2 atau lebih vektor dpt digunakan sbg “landasan pe-nyusun st SS”, maka vektor2 tsb dinyatakan sbg “bebas linier thd sesamanya” (2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1) Y

  34. CL V03 SL V03 1. Koordinat titik P (5,3) dibentuk oleh vektor (5,0) dan (0,3). Bila unsur vektor (5,0) diubah menjadi (3,1) dan unsur vektor (0,3) diubah menjadi (2,2), tentukan : (5,3) = 5(1,0) + 3(0,1) (5,3) = (5,0) + (0,3) .. .. (5,3) = (3,1) + (2,2) (5,3) = x (3,1) + y (2,2) • Kofaktor masing-masing vektor yang baru • Buat ilustrasinya Penyelesaian 1 : a. Kofaktor masing-masing vektor

  35. (5,3) = 1 (3,1) + 1 (2,2) .. .. .. .. 3 = x + 2 y 5 = 3 x + 2 y .. .. .. 2 = 2 y 3 = x + 2 y .. .. 2 = 2 x y = 1 .. x = 1

  36. Y . . Y P(5,3) 3 . . X 1(2,2) 1(3,1) X 0 5 b. Ilustrasi ruang vektor (geometrik) (5,3) = (3,1) + (2,2)

  37. CL V03 SL V03 2. Koordinat titik P terhadap salib-sumbu berupa vektor (2,6). Tentukan koordinat titik P tsb (Kx dan Ky) terhadap vektor-vektor penyusun salib-sumbu yang baru (0,1) dan (2,4).

  38. Penyusunan 2 vektor atau lebih membentuk suatu matriks • Landasan ruang vektor Katakan saja ada 3 buah vektor yaitu (1 -1 2) (0 1 3) (1 1 3) • -1 2 • 0 1 3 • 1 1 3 ? Apakah ketiga tsb dapat digunakan sebagai landasan dalam membentuk ruang vektor Maksudnya ? matriks

  39. Maksudnya : Landasan : vektor yang dapat digunakan sebagai salib-sumbu dalam membentuk ruang vektor (geometrik). Vektor yang dapat digunakan sebagai landasan, bukan merupakan vektor nol. Ruangvektor dimaksud : bidang yang dibatasi 2 vektor (bidang datar; 2 dimensi), bidang yang dibatasi 3 vektor atau lebih (bidang ruang; 3 dimensi atau lebih). Tiga vektor atau lebih yang akan digunakan sebagai landasan, ada kemungkinan diantaranya merupakan vektor nol atau keseluruhannya merupakan vektor nol. Uraian lebih lanjut ditelaah dalam pengolahan matriks.

  40. Norma Vektor v’ = (v1 v2 v3 ….. vn) v’v = (v1 v2 v3 .…. vn) v1 v2 v3 . . vn = (v12 + v22 + v32 + …. + vn2)

  41. √ norma vektor √ || v || = (v12 + v22 + v32 + …. + vn2) = v’v bila || v || = 1 vektor satuan Harga norma vektor v merupakan pula panjang vektor v.

  42. Y V(V1,V2) V2 || v || = (v12 + v22) X 0 V1 Panjang vektor

  43. Sudut antara 2 vektor x’ y || x || || y || cos = = 900 jika x’y = 0 cos = 0 Jadi vektor x dan vektor y saling tegak-lurus maka sudut yang dibentuk sebesar 900

  44. CL V04- SL V04  Vektor-vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari absis dan ordinat. a. sebagai absis (-1,1) dan ordinat (1,3) b. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-1) c. sebagai absis (1,1) dan ordinat (-1,1) d. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-3)  Ilustrasikan masing-masing pasangan absis dan ordinat di atas.  Tentukan besar sudut yang dibentuknya

  45. Penyelesaian  : a. absis (-1,1) dan ordinat (1,3) 2 = x y = ( -1 1) = 2 || x || = (-1)2 + (1)2 1 3 || y || = (1)2 + (3)2 √ √ √ √ √ √ x y 10 10 = 3 y Cos α = 2 90°26”5”82 = || y || || x || 2 1 x 1 = 0,4472.. -1 63°26’ 5”82 α =

  46. b. absis (1,1) dan ordinat (1,-1) x y = (1 1) = 0 1 -1 x 1 1 90° Cos α = 0 -1 = 90° y

  47. Y X 1 -1 1 c. absis (1,1) dan ordinat (-1,1) x’ = (1 , 1) y’ = (-1 , 1) cos = 0 x’ y = (1 , 1) = 0 -1 1 = 900

  48. d. absis (1,1) dan ordinat (1,-3) x’ = (1 , 1) y’ = (1 , -3) x’ y = (1 , 1) = -2 1 -3 x’ x = (1 , 1) || x || = 2 = 2 1 1 y’ y = (1 , -3) || y || = 10 1 -3 = 10 x’ y || x || || y || cos =

  49. X 1 x’ y || x || || y || 1 cos = -2 2 10 = cos = - 0,4472… = 1160 33’ 54”18 -3 Y

  50.  Kedua vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari K1 = (2,3,6) dan K2 = (3,1,4)  Ilustrasikan vektor penyusun tsb  Tentukan besar sudut yang dibentuknya Penyelesaian  : k’1 = (2 , 3 , 6) k’2 = (5 , 2 , 3) k’1 k2 || k1 || || k2 || cos = ( 2 3 6 ) 5 2 3 cos = (22 + 32 + 62) (52 + 22 + 32)

More Related